重难点培优05 数列解答题题型全归纳（复习讲义）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

这是一份重难点培优05 数列解答题题型全归纳（复习讲义）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用），共23页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc16555" 题型一 裂项求和：基础型（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 3
\l "_Tc7141" 题型二 裂项求和：根式型（★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 4
\l "_Tc26803" 题型三 裂项求和：指数函数型（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 5
\l "_Tc13512" 题型四 裂项求和：等差裂和型（★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 6
\l "_Tc3897" 题型五 分组、并项求和（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 6
\l "_Tc326" 题型六 错位相减求和（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 7
\l "_Tc11957" 题型七 倒序相加求和（★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 8
\l "_Tc17557" 题型八 含奇偶项问题（★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 9
\l "_Tc28054" 题型九 数列中的增、减项及交、并项问题（★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 11
\l "_Tc8991" 题型十 数列与不等式（★★★★） PAGEREF _Tc8991 \h 13
\l "_Tc24465" 题型十一 数列新定义（★★★★★） PAGEREF _Tc24465 \h 15
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 17
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 17
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 21
1、求Sn的常用方法
（1）公式法：已知a1和d、已知a1和q、已知数列的某些项，求Sn..
（等差Sn=na1+nn−12d=na1+an2，等比）
（2）裂项相消法
①等差型裂项an=，an=，
an=，an=
②根式型裂项an=，an=，
an=
③指对数型裂项an=，
（3）错位相减法（通项公式为等差×等比，求Sn）
已知数列an为等差，数列bn为等比，数列an∙bn的前n项和为Sn，求Sn.
（4）分组求和法（通项公式为等差+等比，求Sn）
已知数列an为等差，数列bn为等比，数列an+bn的前n项和为Sn，求Sn.
（5）并项求和法（通项公式形如−1n×等差，求Sn）
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
一般分两步： = 1 \* GB3 ①找通项公式 = 2 \* GB3 ②由通项公式确定如何分组.
还有一种数列，单个项的一个一个看看不出什么名堂，但可以考虑几组固定数目的项合起来一起加或者乘了看看，或许会有所发现
例：已知，可推出Sn=3n2，n为偶−3n+12，n为奇
（6）倒序相加法
例：已知函数，若公比为等比数列满足，，
可推出1010


题型一 裂项求和：基础型
【技巧通法·提分快招】
1．已知数列的前n项和为，，且数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
2．（24-25高三下·山西大同·期末）已知数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式：
(2)若，，求．
3．（2025·广西北海·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求的通项公式；
(3)设，数列的前项和为，证明：．
4．在数列中，，.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
5．（2025·辽宁鞍山·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知且满足关系式，．
(1)求及数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．

题型二 裂项求和：根式型
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：.
2．记分别为数列的前项和，已知，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．

题型三 裂项求和：指数函数型
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·江西·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（25-26高三上·湖北·开学考试）记为数列的前项和，已知．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
3．已知正项数列的前n项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前n项和；
(3)若，求数列的前n项和．

题型四 裂项求和：等差裂和型
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
(1)求；
(2)设，求数列的前21项和．
2．已知正项数列的前n项之积为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求的前2n项和.
3．（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．

题型五 分组、并项求和
【技巧通法·提分快招】
1．已知正项数列的前n项和为，且满足．
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的前n项和．
2．数列中，，满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和.
3．已知数列的首项为1，前n项和为，数列满足，且是等差数列．
(1)若为等差数列，且，求的通项公式；
(2)设的前n项和为，求．
4．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和．
5．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
(1)求；
(2)设，求数列的前21项和．

题型六 错位相减求和
【技巧通法·提分快招】
1．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，.
(1)求的通项公式；
(2)当时，记，求数列的前项和.
2．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列的满足，.
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列，前n项和为，求.
3．已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，求，并证明：.

题型七 倒序相加求和
【技巧通法·提分快招】
1．已知函数.
(1)求证为定值；
(2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和；
2．已知数列满足：，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
3．已知函数，数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求证：．

题型八 含奇偶项问题
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·云南·月考）已知正项等差数列的公差为2，的前n项和为，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和．
2．已知数列满足．记（）．
(1)计算，并证明数列为等比数列；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列满足，记．
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
5．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若为的前项和，求时的最小值.
6．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．

题型九 数列中的增、减项及交、并项问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．
2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.
3．已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列.
(1)求与的通项公式；
(2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和.
4．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求.
5．已知正项等差数列，为数列的前项和，且满足，，设数列满足.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.
6．（24-25高三下·江苏常州·月考）已知和分别为正项等比和等差数列，且．
(1)求的前n项和．
(2)将数列与去除公共项后从小到大排列为，记表示去除项在原数列中的项数n，设．求和的通项公式以及．
7．已知数列的各项均为正数，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由．
(3)设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．
8．已知数列为公差不为的等差数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)设数列是以为首项，为公比的等比数列，若数列和的公共项为，记从小到大构成数列，求的前项和.

题型十 数列与不等式
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·上海·月考）已知数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由.
2．已知数列满足．记（）．
(1)计算，并证明数列为等比数列；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
3．已知在正项数列中，，其前项和满足．
(1)求与；
(2)令，数列的前项和为，求证：对于任意的，都有．
4．已知，，是等差数列，且．
(1)求，；
(2)求证：．
5．已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式及；
(2)记，，当时，比较与的大小；
(3)是否存在实数，使得对任意的正整数，，都有成立？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由．
6．已知数列中，，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，数列的前项和为．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
7．已知数列和满足，且．
(1)当时，求数列的通项公式；
(2)若，求证：数列是等差数列；
(3)若，，求证：．

题型十一 数列新定义
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”.
(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由；
(2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求；
2．（24-25高三下·河北沧州·月考）设是整数数列，m是某个取定的正整数，若是除以m的余数，则称数列是关于m的模数列，记作．斐波那契数列是常见的整数数列，满足．
(1)写出数列的第3项、第4项和第5项；
(2)斐波那契数列有许多非常好用的性质，比如：，请利用这个性质解决以下问题：
（i）证明数列是周期为8的周期数列；
（ii）求的个位数字．
参考数据：．
3．（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为．
(1)求和；
(2)求和．
(3)求数列的前项积．
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的各项互不相同，且 ， 若对任意，都有则称数列A具有性质P；若对任意， 都有则称数列A具有性质T.
(1)若，写出所有具有性质T的数列A；
(2)证明：具有性质P的数列A一定具有性质T；
(3)记所有具有性质T的数列A的个数为，证明：数列是等比数列.
5．（2025·河北·模拟预测）设，，，若各项均为正数的数列满足，则称数列具有性质“”．
(1)已知数列的前n项和为，且，试判断数列是否具有性质“”，并说明理由；
(2)若数列满足，且．
（i）证明：数列具有性质“”；
（ii）记数列的前n项和为，证明：．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)若，求数列的前项和.
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求的前项和．
3．（2025·辽宁·二模）记数列的前项和为，已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
4．（2025·安徽合肥·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
5．（2025·四川成都·三模）已知正项数列的前项的和为，且.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项的和.
6．已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
7．（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列满足是关于的方程的两个根.
(1)求.
(2)求数列的通项公式.
(3)设，求数列的前项和.
8．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
9．已知数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
10．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
11．（2022·湖北十堰·三模）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和.
12．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
13．（24-25高三下·山西晋中·月考）已知数列的前n项和为，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和.
14．已知数列满足，
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若将数列中满足的项，称为数列中的相同项，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，求数列的前40项中余下项的和.
15．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且.
(1)求和的通项公式和的前n项和；
(2)若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证:.
16．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
17．已知数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求证：．
18．已知函数.
(1)若，求实数k的取值范围；
(2)证明：.
19．已知数列满足，且；数列的前n项和为，满足．
(1)求与的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立．求实数的取值范围．
20．（24-25高三上·云南·月考）对于数列，若存在正整数，使得对任意的，都有（为常数），则称数列从第项起为 “等差比数列”.
(1)已知数列满足，试判断数列是否为 “等差比数列”，若是，求出的值；若不是，请说明理由.
(2)若数列从第项起为 “等差比数列”，，，求数列的通项公式.
(3)在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围.
21．（2025·重庆九龙坡·三模）已知数列的前项和为 .
(1)求数列的通项公式;
(2)若无穷的非常数数列 同时满足两个性质: ①对于中任意两项 ，在中都存在一项，使得 ; ②对于中任意一项 ，在中都存在两项 ，使得 . 则称数列为数列.
(i)判断数列是否为数列，并说明理由；
(ii)若数列是数列且为单调递增数列，证明:数列是等差数列.

检测Ⅱ组 创新能力提升
一、解答题
1．已知首项为3的正项数列的前n项积为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
2．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式以及 ；
(2)若 ，求
3．（24-25高三上·安徽·月考）已知数列满足，且，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
4．（24-25高三下·天津宝坻·月考）已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，求；
(3)设数列满足，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值.
5．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）设数列的前项和为，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，求证：
6．（2025·河南安阳·三模）若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”.
(1)试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”；
(2)设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数k的最大值；
(3)设数列满足，，试判断数列是否是“倍增数列”，并说明理由.
7．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，．
（i）求数列的通项公式；
（ii）设数列满足求数列的前项和．
8．（2025·云南昆明·一模）已知数列，，，是的前项和.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求；
(3)若，记数列的前项和为，证明：．
参考数据：.
基础原理：，如：；
基本题型：①；②；
注意（避免掉坑）
①分母分解因式：；
②系数不相同就提系数：；
③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的时首尾项（或正负项）对应.
（1）；
（2）；
（3）；
分式型分子裂差法
形如型，如果，则可以分子裂差：
（1）
（2）
（3）
等差裂和型
形如型，如果，则可以分子裂差：
并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
1、对于通项公式分奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1.
2、含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和.
3、（1）当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，其中奇数项、偶数项各有n2项，可直接利用分组求和Sn＝(a1＋a3＋…＋an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an－2＋an).
（2）当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an⇒Sn＝Sn－1＋an，其中Sn－1可利用上述结论代入，然后再快速求解Sn＝Sn－1＋an.
1、数列插项问题
（1）插项的核心：插入的项数与插入的数据类型.
（2）常见插项问题
= 1 \* GB3 ①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，
记这个等差数列的公差为，则，整理的.
= 2 \* GB3 ②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，
记这个等比数列的公比为，则，整理的.
= 3 \* GB3 ③在和之间插入个，组成新数列
求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和.
2、求解两个数列公共项的常用方法
（1）不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式.
（2）周期法：即寻找下一项.通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式.
常见放缩公式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
（7）；
（8）．
1、新定义问题的方法和技巧
（1）解决新定义问题的基本方法
= 1 \* GB3 ①仔细阅读定义：逐字逐句理解题目给出的新定义，确保不遗漏任何细节
= 2 \* GB3 ②寻找熟悉元素：将新定义与已有知识建立联系，寻找相似结构
= 3 \* GB3 ③具体化理解：通过举例或特例来验证对新定义的理解是否正确
= 4 \* GB3 ④分步验证：按照定义的步骤逐步操作，确保每一步都符合要求
（2）实用技巧
= 1 \* GB3 ①符号标记法：用不同符号或颜色标记定义中的关键条件
= 2 \* GB3 ②类比思维：思考类似概念在传统知识中是如何处理的
= 3 \* GB3 ③逆向验证：从结论反推，检查是否符合新定义的要求
= 4 \* GB3 ④边界测试：考虑极端情况或边界条件是否满足定义