第01讲 数列的基本知识与概念（复习讲义）（全国通用）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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01TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29780"
\l "_Tc22182" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc22182 \h 3
\l "_Tc3342" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc3342 \h 4
\l "_Tc2157" 知能解码 PAGEREF _Tc2157 \h 4
\l "_Tc22142" 知识点1 数列的有关概念 PAGEREF _Tc22142 \h 4
\l "_Tc6130" 知识点2 数列的表示方法 PAGEREF _Tc6130 \h 4
\l "_Tc19469" 知识点3 数列的分类 PAGEREF _Tc19469 \h 5
\l "_Tc5127" 知识点4 与的关系 PAGEREF _Tc5127 \h 5
\l "_Tc26156" 题型破译 PAGEREF _Tc26156 \h 5
\l "_Tc11437" 题型1 数列的周期性 PAGEREF _Tc11437 \h 5
【方法技巧】列举项判断周期
\l "_Tc12489" 题型2 数列单调性 PAGEREF _Tc12489 \h 6
【方法技巧】判断数列单调性方法
\l "_Tc12877" 题型3 数列最大最小项 PAGEREF _Tc12877 \h 7
【方法技巧】判断数列最大（小）项方法
\l "_Tc1576" 题型4 数列中的规律问题 PAGEREF _Tc1576 \h 8
\l "_Tc15245" 题型5 递推数列问题 PAGEREF _Tc15245 \h 9
\l "_Tc6639" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc6639 \h 9
\l "__x0001__6" 05课本典例·高考素材 \l "_Tc3786" PAGEREF _Tc3786 \h 10
\l "_Tc25045" 知识点1 数列的有关概念
自主检测已知数列an中，a1=13，an+1=1−1an，则a5=（ ）
A．−2B．13C．32D．2
\l "_Tc25045" 知识点2 数列的表示方法
（1）列表法
列出表格来表示序号与项的关系．
（2）图象法
数列的图象是一系列孤立的点．
（3）公式法
①通项公式法：把数列的通项用公式表示的方法，如．
②递推公式法：使用初始值和或，和来表示数列的方法．
自主检测1．数列1,−1,1,−1,⋯n∈N*的一个通项公式为（ ）
A．(−1)n+2B．csn−1π
C．1−(−1)n2D．sin2n+1π2
\l "_Tc25045" 知识点3 数列的分类
自主检测（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）．
A．1，12，13，14，…，1n，…
B．−1，−12，−14，−18，…，−12n−1，…
C．sinπ7，sin2π7，sin3π7，…，sinnπ7，…
D．1，2，3，…，n，…
\l "_Tc25045" 知识点4 与的关系
若数列的前项和为，则．
自主检测已知数列an的前n项和为Sn，且3Sn=2an+1，则a2=（ ）
A．1B．2C．−1D．−2
题型1 数列的周期性
例1-1已知数列an满足an+1=2−an1−an−1，且a1=−1，则a2025=（ ）
A．2B．12C．−1D．1
例1-2若数列an满足an+1=2an,0≤an≤122an−1,12a1”是“an为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练2-2】在数列an中，已知an=n2+λnn∈N*，则“a12,3−an+2,n≤2n∈N*，若数列cn单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．2,3B．1,3C．1,2D．2,3
题型3 数列最大最小项
例3-1若数列an的通项公式为an=n−2025n−2026，则该数列中的最大项是（ ）
A．a1B．a44C．a45D．a46
例3-2数列n+389n的最大项为第k项，则k= .
方法技巧 判断数列最大（小）项方法
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项．
（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项．
（3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为．
【变式训练3-1】已知数列an的通项公式为an=2n−22n−15，则an取到最小值时n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式训练3-2】已知数列bn的通项公式为bn=32n(n+1)2，则当bn取得最小值时，n=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式训练3-3】数列bn满足bn=3n−72n−1，则当n= 时，bn取最大值为 ．
题型4 数列中的规律问题
例4-1数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列an，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列bn，则b6=（ ）
A．5B．6C．7D．8
例4-2传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,4,9,16称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（ ）
A．22B．26C．35D．51
【变式训练4-1】如图是用◆摆放而成的图案，其中第①个图中有2个◆，第②个图中有5个◆，第③个图中有10个◆，第④个图中有17个◆，……按此规律排列下去，则第⑦个图案中◆的个数为（ ）
A．35B．48C．50D．64
【变式训练4-2】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类.如图，第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,5,12,22称为五边形数，则三角形数的第20项为 ，五边形数的第24项为 .
【变式训练4-3】已知an=2n−1n∈N∗，把数列an的各项排成如右图所示的三角数阵，记Sm,n表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S10,6对应数阵中的数是 .
题型5 递推数列问题
例5-1已知数列an满足a1=2，an+1=3an−n，则a3=（ ）
A．14B．13C．12D．11
例5-2已知数列an满足a1=a2=12，若an+2=1an+an+1−2，则a4=（ ）
A．−4B．−2C．0D．4
【变式训练5-1】已知数列an满足：a1=3，an+1=an2,当an为偶数时3an+1,当an为奇数时，则a1+a2+a3+a4+a5=（ ）
A．34B．42C．46D．64
【变式训练5-2】数列an满足：an=an+1+an−1n∈N,n≥2，若a1=2，a5=3，则a2025=（ ）
A．1B．－1C．5D．－5
【变式训练5-3】已知Sn为数列an的前n项和，a1=1，an+1+2Sn=2n+1，则S2024= ．
1．（2025·重庆·三模）数列an满足an+3=an+an+1−an+2n≥1，n∈N，又a1=1，a2=1，a3=2，则（ ）
A．a2024=−1011B．a2024=−1012
C．a2025=1013D．a2025=1014
2．（2025·河北·二模）某厂家对其软件进行加密升级，现对软件程序中的某序列A=a1,a2,a3,⋯重新编辑，编辑新序列为A*=a2a1,a3a2,a4a3,⋯，它的第n项为an+1an.若序列A**的所有项都是3，且a2=1，a5=27，则a1=（ ）
A．13B．19C．3D．9
3．（2025·吉林·模拟预测）设数列an为常数列，定义bn=an2，则“an是常数列”是“bn是常数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2025·山东济南·二模）对于n∈N*，将n表示为n=ak×2k+ak−1×2k−1+⋯+a1×21+a0×20k∈N*，其中ak=1，当0≤i≤k−1k∈N*时，ai为0或1，定义φn为正整数n的表达式中ai=1i=0,1,2,⋯,k,k∈N*的个数，则φ63=（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．（2025·山东·一模）若数列an满足a1=1，an+1=−1n+1an+1，则an的前2025项的和为 ．
1．(人教A版选择性必修第二册P5练习第3题)除数函数(divisrfunctin)y=dn(n∈N∗)的函数值等于n的正因数的个数，例如d1=1，d4=3.写出数列d1，d2，…，dn，…的前10项.
2．(人教A版选择性必修第二册P5练习第1题)写出下列数列的前10项，并绘出它们的图像：
（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；
（2）欧拉函数φn(n∈N)的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.
3．(人教A版选择性必修第二册P9综合运用第4题)已知数列an的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an−1+an−2n>2给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用数列an，通过公式bn=an+1an构造一个新的数列bn，试写出数列bn的前5项.
4．(人教A版选择性必修第二册P9综合运用第5题)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数､正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.
5．(人教A版选择性必修第二册P9综合运用第6题)假设某银行的活期存款年利率为0.35%某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用an表示第n年到期时的存款余额，求a1、a2、a3及an.
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）数列的概念
（2）数列的分类
（3）数列的性质
单选题
多选题
填空题
解答题
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北京卷T10（4分）
考情分析：
高考对数列概念的考查相对较少，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是数列与函数结合考查单调性、周期性、最值性.
复习目标：
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
（2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列的第项
通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系能用公式表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列中，叫做数列的前项和
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
其中
递减数列
常数列
作差比较法
根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据与1的大小关系进行判断
数形结合法
结合相应函数的图象直观判断