初中数学浙教版（2024）八年级上册（2024）第2章 特殊三角形2.4 等腰三角形的判定定理精品练习

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级上册（2024）第2章 特殊三角形2.4 等腰三角形的判定定理精品练习，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个六边形的六个内角都是120°(如图)，连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
2.已知a、b、c为三角形的三边，若|a−b|+|a−c|2=0，则三角形的形状为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
3.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠DAB=50°，∠CBA=70°，P，M，N分别是AB，AC，BD的中点．若BC=8，则△PMN的周长是( )
A. 10B. 12C. 16D. 18
4.如图，在ABC中，∠A=60°，BC=AC，BD⊥AC，垂足为点D，延长BC至点E，取CE=CD.若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长是( )
A. 9+a
B. 12+a
C. 9+2a
D. 12+2a
5.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是( )
A. 6B. 9C. 12D. 15
6.如图，△ABC中，AC=8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB=AD，EF=EC，则EF的长是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )
A. 15°B. 25°C. 35°D. 45°
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，分别以点A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD.以下结论不正确的是( )
A. ∠BDA=72°B. BD=2AEC. CDCB= 5−12D. CA2=CD⋅CB
9.如图，在△ABC中，AB=AC=4 3，∠C=60°，AD平分∠BAC，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则EB+EF的最小值是( )
A. 3 3
B. 6
C. 4 3
D. 3+2 3
10.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E是边AB上一点(不与点A，B重合)，作∠EDF交BC于点F，且∠EDF=60°，连接EF.关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是( )
结论Ⅰ：连接BD，△ABD是等边三角形；
结论Ⅱ：△DEF的周长的最小值是3．
A. 只有结论Ⅰ正确B. 只有结论Ⅱ正确
C. 结论Ⅰ、Ⅱ都正确D. 结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
11.如图，在菱形ABCD中，∠C=120°，点P从点B出发，沿折线B−C−D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP.在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是( )
A. ①③②③B. ③②①③C. ①③②①D. ③②③①
12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE：∠DCE=2：1，则∠ACE为( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在▵ABC中，∠B=50∘，∠C=90∘。在射线BA上找一点D，使▵ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 。
14.如图，▵ABC中，BF，CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE//BC交AB于点D，交AC于点E.那么下列结论：①▵BDF和▵CEF都是等腰三角形；②∠DFB=∠EFC；③▵ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF.其中正确的是 .(填序号)
15.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△BCE沿BE翻折至△BFE，BF，CF的延长线分别交AD于H，G两点，若CEDE=23，则GHAD的值为______．
16.如图，平面直角坐标系中，直线y=− 3x+ 3与x轴交于点A、与y轴交于点B，P(3,2 3)，点E在线段AB上，点F在A右侧的x轴上，且∠EPF=60°，则∠PAF= °；连接EF，则EF的最小值= ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
(1)求证：AD⊥BC．
(2)若∠BAC=75°，求∠B的度数．
18.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，DE//BC，交AB于点D，交AC于点E．
(1)求证：BD=DE．
(2)若∠DEB=30∘且DE=3，求AD的长度．
19.(本小题8分)
上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向AN航行，上午10时到达海岛B处.从A，B望海岛C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°(如图所示)．
(1)求海岛B到海岛C的距离；
(2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？
(3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里(记为点D处)出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号.接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？
20.(本小题8分)
如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=200m.问：这名滑雪运动员的高度下降了多少米？
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AB上一点，连接AD、CE交于点F，若∠ACE=∠BCE=∠B，且AD⊥CE．
(1)当AB=2时，求CF的长；
(2)当EF=3x，CF=8x时，求BDCD的值．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连接DE交BC于点F．
(1)猜想DE与EF的大小关系；
(2)请证明你的猜想．
23.(本小题8分)
已知a，b，c分别是▵ABC的三边长，且a，b满足关系式a−3+ b−4=0．
(1)求a，b的值；
(2)若c是方程x−2=1的解，判断▵ABC的形状？并说明理由．
24.(本小题8分)
如图，已知△ABC．
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出各点的坐标：A1______；B1______；C1______．
(2)若点M(m−1,3)与点N(−2,n+1)关于y轴对称，直接写出(m+n)2024=______．
(3)格点△ABP是以AB为底边的等腰三角形，并且格点P在第四象限，写出点P的坐标为______．
25.(本小题8分)
如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB的平分线与BC交于点D，点E为AD上任意一点，过点E作EF⊥AD交AC于点F，作EG/​/AB交AC于点G.求证：△GEF是等腰三角形．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】如图所示，直线AB，CD，EF两两相交，它们交于点G，H，I. 因为六边形ABCDEF的六个内角都是120°， 所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°， 所以△AFI，△BGC，△DHE，△GHI都是等边三角形， 所以AI=AF=3，BG=BC=1， 所以GH=GI=AI+AB+BG=3+3+1=7，DE=DH=HE=HI−EF−FI=7−2−3=2，CD=HG−CG−HD=7−1−2=4. 所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3=15．
2.【答案】C
【解析】解：∵|a−b|+|a−c|2=0，|a−b|≥0，|a−c|2≥0，
∴a−b=0，a−c=0，
∴a=b，a=c，
∴a=b=c，
∴三角形的形状为等边三角形，
故选：C．
先根据绝对值，平方数的非负性，求出a=b=c，再根据等边三角形的概念进行判断即可．
本题主要考查了等边三角形的判定以及非负数的性质，等边三角形的判定和非负数的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
3.【答案】B
【解析】∵P，N分别是AB，BD的中点，AD=BC，BC=8，∴PN=12AD=12×8=4，PN//AD，∴∠NPB=∠DAB=50°.同理，PM=4，∠MPA=∠CBA=70°.∴PM=PN，∠MPN=180°−50°−70°=60°，∴△PMN是等边三角形．∴MN=PM=PN=4，∴△PMN的周长是12.故选B．
4.【答案】C
【解析】解：由提交可知△ABC是等边三角形，
∵△ABC的周长为18，
∴BC=AC=18÷3=6，
由提交可知BD是高线也是AC边上的中线、∠ABC的平分线，
∴CD=12AC=12×6=3，∠CBD=12∠ABC=30°，
∵CE=CD=3，
∴∠E=∠CDE=12∠ACB=30°，
∴∠CBD=∠E，
∴BD=DE，
∴△BDE的周长为：BD+DE+BE=BD+DE+BC+EC=2a+6+3=9+2a，
故选：C．
证明△ABC是等边三角形，结合BD⊥AC，得BD三线合一，所以CD=3，∠CBD=30°，由CE=CD得∠E=∠CDE，所以∠CBD=∠E，得BD=DE=a，再根据三角形的周长公式即可求解．
本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，
即BC=5，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
如图，即BP′⊥AC，BP′=3，
∴由勾股定理可知：P′C=4，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∵图象右端点函数值为5，
∴AB=BC=5，
∴P′A=P′C=4，
∴AC=8，
∴△ABC的面积为：12AC⋅BP′=12×8×3=12．
故选：C．
根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．
本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的判定和三角形的面积．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
6.【答案】B
【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接AF，可得AF⊥BD，再利用等角的余角相等，证明∠EAF=∠EFA，从而得EA=EF，即可解答．
【详解】解：连接AF，
∵AB=AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
∴∠AFD=90 ∘，
∴∠EAF+∠C=90 ∘，∠AFE+∠EFC=90 ∘，
∵EF=EC，
∴∠EFC=∠C，
∴∠EAF=∠AFE，
∴EA=EF，
∴EF=EA=EC=12AC=4，
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出CD=BD，进而得到∠B=∠DCB=55∘，再根据∠ACB=90∘，即可得出∠ACD的度数．
【解答】
解：∵△ABC中，∠ACB=90∘，点D是斜边AB的中点，
∴CD=BD=12AB，
∴∠B=∠DCB=55∘，
又∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD=90∘−55∘=35∘，
故选C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的概念及其性质，解题的关键是理解题意，利用特殊图形的性质解决问题．
根据AB=AC，∠BAC=108°，可计算∠B=∠C=36°，再计算∠DAC=36°，即可判断A选项；
通过计算∠BAD发现∠BDA=∠BAD，则可判断B选项；
证明△CAB∽△CDA，即可判断D选项；
根据△CAB∽△CDA，设AB=AC=1，CD=x，解出x即可判断C选项．
【解答】
解：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=180°−108°2=36°，
由题意知：MN垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠C=∠DAC=36°，
∴∠BDA=72°，A选项正确；
∵∠BAD=108°−36°=72°，
∴∠BDA=∠BAD，
∴AB=BD=AC=2AE，B选项正确；
∵∠DAC=∠B=36°，∠C=∠C，
∴△CAB∽△CDA，
∴CACD=CBCA，即CA2= CD·CB ，D选项正确；
设AB=AC=1，CD=x，
∴1x=1+x1，
解得：x= 5−12(负值舍去)，
CB=1+ 5−12= 5+12，
∴CDCB= 5−12 5+12=3− 52，C选项错误，
故选C．
9.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC=4 3,∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=4 3．
∵AD平分∠BAC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点B，C关于AD对称，
∴BE+EF=CE+EF．
根据“两点之间线段最短”，连接CF，交AD于点E，此时EB+CF最小，即CF，
在△ABC中，点F是AB的中点，
∴BF=12AB=12×4 3=2 3，∠BFC=90°．
根据勾股定理，得CF= BC2−BF2=6，
所以EB+EF的最小值是6．
故选：B．
先判断△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可知点B，C关于AD对称，可得BE+EF=CE+EF，根据“两点之间线段最短”，连接CF，交AD于点E，此时EB+CF最小，即CF，然后根据勾股定理求出答案即可．
本题主要考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，关键是相关性质的熟练掌握．
10.【答案】A
【解析】解：结论Ⅰ：连接BD、AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AC⊥BD，∠DAO=12∠DAB=30°．
∵AD=AB，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∵∠ADE+∠EDB=60°，∠FDB+∠EDB=60°，
∴∠ADE=∠FDB，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠DBF=12∠ABC=12．
∴∠DAE=∠DBF．
在△DAE和△DBF中，
∠ADE=∠BDFAD=DF∠DAE=∠DBF，
∴△DAE≌△DBF．
∴DE=DF．
又∵∠EDF=60°，
∴△EDF为等边三角形；故结论Ⅰ正确；
结论Ⅱ：∵△EDF为等边三角形，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=3DE，
∴当DE最小时，△DEF的周长最小，
∴当DE⊥AB时，DE的值最小，
∵AD=AB=2，∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD=BD，
∴AE=12AB=1，
∴DE= AB2−AE2= 3，
∴△DEF的周长的最小值是3 3，故结论Ⅱ错误．
故选：A．
结论Ⅰ：连接BD、AC.根据菱形的性质得到AD=AB，AC⊥BD，∠DAO=12∠DAB=30°.根据等边三角形的性质得到AD=BD，∠ADB=60°，求得∠ADE=∠FDB，得到∠DAE=∠DBF.根据全等三角形的性质得到DE=DF.求得△EDF为等边三角形；故结论Ⅰ正确；
结论Ⅱ：根据三角形周长公式得到△DEF的周长=DE+DF+EF=3DE，当DE最小时，△DEF的周长最小，当DE⊥AB时，DE的值最小，根据勾股定理得到DE= AB2−AE2= 3，于是得到△DEF的周长的最小值是3 3，故结论Ⅱ错误．
本题主要考查的是轴对称−最短路径问题，菱形的性质，解答本题需要同学们熟练掌握菱形的性质和全等三角形的性质和判定，证得△DAE≌△DBF是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：作AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，连接BD、AC、DF，则∠AED=∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴CD=AD=AB=BC，AB/​/CD，∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠ADC=∠ABC=180°−∠BCD=60°，
∴△ADC和△ABC都是等边三角形，
∵∠BAF=90°−∠ABC=30°，
∴∠DAF=∠BAD−∠BAF=90°，
∴当点P与点B重合时，△DAP为等腰三角形；
当点P与点F重合时，△DAP为直角三角形；
当点P与点C重合时，△DAP为等边三角形；
当点P与点E重重时，△DAP为直角三角形，
故选：A．
作AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，连接BD、AC、DF，则∠AED=∠AFB=90°，由菱形的性质得CD=AD=AB=BC，AB/​/CD，∠BAD=∠BCD=120°，则∠ADC=60°，所以△ADC和△ABC都是等边三角形，求得∠BAF=30°，则∠DAF=90°，当点P与分别与点B、F、C、E重合时，△DAP依次为等腰三角形、直角三角形、等边三角形、直角三角形，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BCE：∠DCE=2：1，
∴∠BCD=90°，AC=BD，OD=OC，∠BCE=2∠DCE，
∴∠BCE+∠DCE=2∠DCE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=30°，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC=90°，
∴∠EDC=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DCO=60°，∠DCE=∠OCE，
∵∠ACE+∠DCE=60°，
∴∠ACE=30°．
故选：C．
则∠BCD=90°，OD=OC，根据∠BCE：∠DCE=2：1，求出∠DCE=30°，根据题意，则∠DEC=90°，求出∠EDC，得到△ODC是等边三角形，即可求出∠ACE．
本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质．
13.【答案】70∘或40∘或20∘
【解析】∵∠B=50∘，∠ACB=90∘，∴∠BAC=40∘.如图，有三种情形：①当AC=AD时，∠ACD=12×180∘−40∘=70∘.②当CD′=AD′时，∠ACD′=∠D′AC=40∘.③当AC=AD′′时，∠ACD′′=∠AD′′C=12∠BAC=20∘.综上所述，∠ACD的度数为70∘或40∘或20∘
14.【答案】①③
【解析】略
15.【答案】58
【解析】解：分别过点D，E作RD⊥BC的延长线，EW⊥BC的延长线，且过F作ZN⊥BC分别交BC，AD于点N，Z，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD/​/BC，AB/​/CD，BC=CD，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCR=60°，
设BC=CD=5r，
∴在Rt△CDR中，sin∠DCR=DRCD，
即 32=DR5r，
∴DR=5 3r2，
∵AD/​/BC，RD⊥BC的延长线，EW⊥BC的延长线，
∴ZN=DR=5 3r2，
∵CEDE=23，
∴CE=23+2CD=2r，DE=33+2CD=3r，
∴在Rt△CEW中，sin∠DCR=EWCE，cs∠DCR=CWCE，
即 32=EW2r,12=CW2r，
∴EW= 3r，CW=r，
在Rt△BEW中，BW=5r+5r=6r，
则BE= BW2+EW2= 39r，
∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，BF，CF的延长线分别交AD于H，G两点，
∴FC⊥BE，BF=BC=5r，EF=CE=2r，FO=OC，
∴BF2−BO2=FO2=EF2−OE2，
即BF2−(BE−OE)2=EF2−OE2，
∴25r2−( 39r−OE)2=4r2−OE2，
解得OE=3 39r13，
∴FO2=EF2−OE2=4r2−81r239=7539r2=2513r2，
∴FO=OC=5 1313r，
∴FC=10 1313r，
∵ZN⊥BC，
∴BF2−BN2=FN2=CF2−NC2，
即BF2−BN2=CF2−(BC−BN)2，
∴25r2−BN2=100r213−(5r−BN)2，
∴BN=5513r，
则FN2=BF2−BN2=25r2−3025169r2=1200169r2，
∴FN=20 313r，
∴ZF=ZN−FN=5 3r2−20 313r=25 3r26，
∵AD/​/BC，
∴△GHF∽△CBF，
∴GHAD=FZFN=25 3r2620 313r=58，
故答案为：58．
先根据菱形的性质以及解直角三角形分别求出DR=5 3r2，EW= 3r，CW=r，再结合勾股定理得BE= BW2+EW2= 39，因为折叠，得FC⊥BE，BF=BC=5r，EF=CE=2r，FO=OC，运用勾股定理得出OE=3 39r13，FO2=EF2−OE2=2513r2，FC=10 1313r，BN=5513r，再证明△GHF∽△CBF，运用两个相似三角形的高的比等于相似比列式化简，即可作答．
本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形的性质，勾股定理，难度大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
16.【答案】60
2 3

【解析】解：过点P作PH⊥x轴于点H，连接PB，则∠AHP=90°，
由条件可知H(3,0)，
∴PH=2 3，
对y=− 3x+ 3，
令y=0，
则− 3x+ 3=0，
解得x=1，
∴A(1,0)，
∴AH=3−1=2，
∴tan∠PAF=PHAH= 3，
∴∠PAF=60°；
对y=− 3x+ 3，
令x=0，
则y= 3，
∴B(0, 3)，
∴OB= 3，
∴tan∠BAO=OBOA= 3，
∴∠BAO=60°，
∴∠BAP=180°−∠BAO−∠PAF=60°，
∴∠BAP=∠PAF=60°，
∵AB= OA2+OB2=2，
∴AB=AH，
∵AP=AP，
∴△ABP≌△AHP(SAS)，
∴PB=PH，∠ABP=∠AHP=90°，
∴∠ABP+∠AHP=180°，
∴∠BAH+∠BPH=180°，
∴∠BPH=∠BAO=60°，
∴∠BPH=∠EPF=60°，
∴∠BPE+∠EPH=∠HPF+∠EPH=60°，
∴∠BPE=∠HPF，
∴△PBE≌△PHF(ASA)，
∴PE=PF，
∴△PEF是等边三角形，
∴EF=PF，
∵PF≥PH=2 3，
∴EF的最小值为2 3．
故答案为：60；2 3．
过点P作PH⊥x轴于点H，连接PB，求出PH=2 3，AH=3−1=2，得tan∠PAF=PHAH= 3，∠PAF=60°；求出OB= 3，得tan∠BAO=OBOA= 3，∠BAO=60°，证明△ABP≌△AHP(SAS)，得PB=PH，∠ABP=∠AHP=90°，∴证明△PBE≌△PHF(ASA)，得PE=PF，△PEF是等边三角形，得EF=PF，由PF≥PH=2 3，得EF的最小值为2 3．
本题考查了一次函数综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题，构建方程解决问题．
17.【答案】【小题1】
证明：如图，连接AE．
∵AB的垂直平分线EF交BC于点E，
∴AE=BE，
∵BE=AC，
∴AE=AC，
又∵D为线段CE的中点，
∴AD⊥BC．
【小题2】
解：如图：
由(1)知AE=BE=AC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∴∠C=∠2=∠1+∠B=2∠B，
∵∠BAC=75°，
∴∠B+∠C=180°−∠BAC=180°−75°=105°，
∴∠B+2∠B=3∠B=105°，
∴∠B=35°．

【解析】1. 略
2. 略
18.【答案】【小题1】
因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC.因为DE//BC，所以∠DEB=∠EBC，所以∠DBE=∠DEB，所以BD=DE．
【小题2】
因为∠DEB=∠DBE=30∘=∠EBC，所以∠ABC=60∘.因为AB=AC，所以▵ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=∠A=60∘.因为DE//BC，所以∠ADE=∠ABC=60∘，∠AED=∠C=60∘，所以▵ADE是等边三角形，所以AD=DE=3．

【解析】1. 略
2. 略
19.【答案】海岛B到海岛C的距离为30海里；
上午11时，小船与灯塔C的距离最短；
C救援队先到
【解析】(1)由题意得：AB=15×2=30海里；
由条件可得∠ACB=∠NBC−∠NAC=30°，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BC=AB=30海里；
答：海岛B到海岛C的距离为30海里；
(2)过C作CH⊥AN于点H，
又∵∠NBC=60°，
∴∠BCH=90°−∠NBC=30°，
∴BH=12BC=15(海里)，
∴从B处到H处需要15÷15=1小时，
∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午10+1=11时；
(3)由题意：BD=30海里，
由(1)知BC=30海里，
∴BD=BC，
由条件可得△BCD为等边三角形，
∴CD=30海里，
∴B救援队所用时间为30÷20=1.5(小时)，
C救援队所用时间为30÷25+1060=4130≈1.4(小时)，
∵1.4