2026年中考数学压轴题专项练习-费马点（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学压轴题专项练习-费马点（学生版+名师详解版），共63页。试卷主要包含了阅读证明，如图1，是锐角所在平面上一点等内容，欢迎下载使用。
A．B．C．6D．
2．（2025秋•大冶市期末）如图，是等边三角形外一点，连接，，，已知，，则当线段的长度最小时，
① ；
②的最小值是 ．
3．（2025秋•洪山区校级期中）如图，以等边的一边为底边作等腰，已知，，且，在内有一动点，则的最小值为 ．
4．（2025•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，，为的费马点，则 ；若，，，为的费马点，则 ．
5．（2025•荷塘区模拟）在中，若其内部的点满足，则称为的费马点．如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，，则的面积为 ．
6．（2025•碑林区校级模拟）如图，在边长为6的正方形中，点，分别为、上的动点，且始终保持．连接，以为斜边在矩形内作等腰，若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．
7．（2025春•沈阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别是轴，轴正半轴上的点，且，是等边三角形，且点在第二象限，为平分线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，．
（1）求证：；
（2）若点坐标为；
①当的值最小时，请直接写出点的坐标；
②当的值最小时，求出点的坐标，并说明理由．
8．（2024•路南区一模）已知抛物线的对称轴为，与交于点，与轴负半轴交于点，作平行四边形并将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．
（1）求抛物线的解析式和点、的坐标；
（2）求平行四边形和平行四边形重叠部分△的周长；
（3）若点为内一点，直接写出的最小值（结果可以不化简）以及直线的解析式．
9．（2024秋•汉阳区期中）（1）阅读证明
①如图1，在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离．
②如图2，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：．
（2）知识迁移
根据（1）的结论，我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图3，在的外部以为边长作等边及其外接圆；
第二步：在上取一点，连接，，，．易知 ；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出的费马点，线段 的长度即为的费马距离．
（3）知识应用
已知三村庄，，构成了如图4所示的（其中，，均小于，现选取一点打水井，使水井到三村庄，，所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．
10．（2024•遵义模拟）如图1，是锐角所在平面上一点．如果，则点就叫做费马点．
（1）当是边长为4的等边三角形时，费马点到边的距离为 ．
（2）若点是的费马点，，，，则的值为 ．
（3）如图2，在锐角外侧作等边，连接．求证：过的费马点．
11．（2025春•兰溪市校级月考）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．
【基础巩固】
（1）如图1，在等腰中，，为边上的高，已知上一点满足，，求 ；
【尝试应用】
（2）如图2，等边三角形边长为，为高线上的点，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，连接，请你在此基础上继续探究求出等边三角形的“最近值”；
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形中，过的中点作垂线交的延长线于点，连接、，已知，，求三角形 “最近值”的平方．
12．（2025春•周村区期末）如图①，为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
（1）如果点为锐角三角形的费马点，且．
①求证：；
②若，，求的长．
（2）已知锐角三角形，分别以、为边向外作正三角形和正三角形，和相交于点，连结，如图②．
①求的度数；
②求证：点为的费马点．
13．（2025•雁塔区校级模拟）【问题情境】
如图1，在中，，，，则的外接圆的半径值为 ．
【问题解决】
如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值．
【问题解决】
如图3，正方形是一个边长为的隔离区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动岗哨，到、的张角为，即，点、为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个岗哨的距离和最小，试求的最小值．（保留根号或结果精确到，参考数据，．
14．（2025•山西模拟）阅读下列材料，完成后面相应的任务：
费马，1601年8月17日年1月12日），生于法国南部图卢兹附近的波蒙德罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，（三个内角均小于的三条边的张角都等于，即满足的点，就是到点，，的距离之和最小的点，后来人们把这个点称为“费马点”．
下面是“费马点”的证明过程：如图2，将绕着点逆时针旋转得到△，使得落在外，则△为等边三角形，，于是，．
任务：（1）材料中，判定△为等边三角形的依据是 ．
（2）请你完成剩余的部分．
（3）如图，为锐角三角形，以为一边作等边，是的外接圆，连接交于点，求证：是的费马点．
15．（2024秋•厦门期中）如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
如图（2），在锐角外侧作等边连接．
求证：过的费马点，且．
16．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点．现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点．例如：菱形，是对角线上一点，、是边和上的两点，若点满足与之和最小，则称点为类费马点．
（1）如图1，在菱形中，，点是上的类费马点
①为的中点，为的中点，则 ．
②为上一动点，为上一动点，且，则 ．
（2）如图2，在菱形中，，连接，点是的费马点，（即，，之和最小），①当时， ．
②当时，你能找到的费马点吗？画图做简要说明，并求此时的值．
17．（2025春•渠县校级期末）如图1，、、是等边三角形中不共线三点，连接、、，三条线段两两分别相交于、、．已知，．
（1）证明：；
（2）如图2，点是上一点，连接，以为边向右作，连接．若，，，证明：．
（3）如图3，在（2）的条件下，当点与点重合时，若，，请问在内部是否存在点使得到三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．
18．（2024秋•资中县期末）如图①，点为锐角三角形内任意一点，连接、、．以为一边向外作等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：；
（2）若的值最小，则称点为的费马点．若点为的费马点，试求此时、、的度数；
（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以的、为一边向外作等边和等边，连接、，设交点为，则点即为的费马点．试说明这种作法的依据．
19．（2024•温岭市模拟）（1）知识储备
①如图1，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：．
②定义：在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离．
（2）知识迁移
①我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法：
如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 的长度即为的费马距离．
②在图3中，用不同于图2的方法作出的费马点（要求尺规作图）．
（3）知识应用
①判断题（正确的打，错误的打
ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 ；
ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 ．
②已知正方形，是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的
边长．
20．（2024秋•沙坪坝区校级期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过点，与抛物线交于另一点，已知，．
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）如图1，若点是轴下方抛物线上一点，过点作于点，过点作轴交抛物线于点，过点作轴于点，为直线上一点，且，点为第四象限内一点，且在直线上方，连接、、，记，，当取得最大值时，求出点的坐标，并求出此时的最小值．
（3）如图2，将点沿直线方向平移13个长度单位到点，过点作轴，交抛物线于点，动点为轴上一点，连接、，再将沿直线翻折为（点、、、在同一平面内），连接、、，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
21．（2024•山西模拟）皮埃尔德费马，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”．1638年勒笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的函数问题，费马经过思考并由此提出费马点的相关结论．
定义：若一个三角形的最大内角小于，则在其内部有一点，可使该点所对三角形三边的张角均为，此时该点叫做这个三角形的费马点．例如，如图1，点是的费马点．
请结合阅读材料，解决下列问题：
已知：如图2，锐角．
（1）尺规作图，并标明字母．
①在外，以为一边作等边．
②作的外接圆．
③连接交于点．
（2）求证：（1）中的点是的费马点．
22．（2024秋•邗江区期末）背景资料：
在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．
这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．
如图①，当三个内角均小于时，费马点在内部，此时，此时，的值最小．
解决问题：
（1）如图②，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数．
为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ；
基本运用：
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
如图③，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并证明；
能力提升：
（3）如图④，在中，，，，点为的费马点，连接，，，求的值．
23．（2024春•安徽月考）如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
（1）如点为锐角的费马点．且，，，求的长．
（2）如图（2），在锐角外侧作等边连接．求证：过的费马点，且．
（3）已知锐角，，分别以三边为边向形外作等边三角形，，，请找出的费马点，并探究与的和，与的和是否相等．
24．（2024•宝坻区二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，，为的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点在的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边的顶点、在线段上，求及的长；
（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值，以及取得最小值时，线段的长．
25．（2010•鄞州区模拟）如图是所在平面上一点．如果，则点就叫做费马点．
（1）当是等边三角形时，作尺规法作出费马点．（不要求写出作法，只要保留作图痕迹）
（2）已知：是等腰直角三角形，，．四边形是正方形，在上，在上，是的费马点．求：点到的距离．
（3）已知：锐角，分别以，为边向外作正和正，和相交于点．
①求的度数；
②求证：点为的费马点．
26．（2009•湖州）自选题：若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
（1）若点为锐角的费马点，且，，，则的值为 ；
（2）如图，在锐角外侧作等边连接．求证：过的费马点，且．
27．已知中，，，，是内一点，求的最小值．
1．（2024秋•义乌市月考）已知点是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则点叫的费马点．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．若点是腰长为的等腰直角三角形的费马点，则
A．B．C．6D．
【解答】解：如图：过点作于点，在内部过、分别作，则，点就是费马点，
在等腰中，，，
，
故，
解得：，则，
故，同法可得
则．
故选：．
二．填空题（共5小题）
2．（2025秋•大冶市期末）如图，是等边三角形外一点，连接，，，已知，，则当线段的长度最小时，
① ；
②的最小值是 ．
【解答】解：如图所示，以为边向外作等边三角形，连接，
，均为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，
当，，三点共线时，有最小值，
，
的最小值为5，此时．
故答案为：①；②5．
3．（2025秋•洪山区校级期中）如图，以等边的一边为底边作等腰，已知，，且，在内有一动点，则的最小值为 ．
【解答】解：如图，将绕点逆时针旋转后，得到△，连接、，
根据旋转的性质得，，，，
为等边三角形，
，
，
，
当、、、四点共线时，有最小值，
为等边三角形，
，
为等腰三角形，，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得．
的最小值为．
故答案为：．
4．（2025•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，，为的费马点，则 5 ；若，，，为的费马点，则 ．
【解答】解：如图，过作，垂足为，
过，分别作，则，为的费马点，
，，
，
，
，
，
，
；
②如图：
，，，
，，
，，
，
，
将绕点逆时针旋转，
由旋转可得：△，
，，，，
是等边三角形，
，
为的费马点，
即，，，四点共线时候，，
，
故答案为：5，．
5．（2025•荷塘区模拟）在中，若其内部的点满足，则称为的费马点．如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，，则的面积为 ．
【解答】解：如图，延长交于，
，
，，
为的费马点，
，
，
，
，
中，，
，，
，
，
中，，
，
，
的面积为．
故答案为：．
6．（2025•碑林区校级模拟）如图，在边长为6的正方形中，点，分别为、上的动点，且始终保持．连接，以为斜边在矩形内作等腰，若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．
【解答】解：设，则，
，
，
当时，最小，
此时点离最近，
，
点是和的交点，
，
过点作于点，在内部过、分别作，则，点就是费马点，此时最小，
在等腰中，，，
，
故，
解得：，则，
故，同法可得，
则，
点到点、点、点的距离之和的最小值为，
故答案为．
三．解答题（共21小题）
7．（2025春•沈阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别是轴，轴正半轴上的点，且，是等边三角形，且点在第二象限，为平分线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，．
（1）求证：；
（2）若点坐标为；
①当的值最小时，请直接写出点的坐标；
②当的值最小时，求出点的坐标，并说明理由．
【解答】（1）证明：平分，
，
由旋转的意义可知：，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：点的坐标为，理由如下：
点为平分线上的动点，
当为最小时，点、、在同一条直线上，
当点、、在同一条直线上时，
点的坐标为，，
，
平分，
点为为的中点，
点的坐标为．
（3）解：点的坐标为，理由如下：
连接，过点作轴于点，作线段的垂直平分线交轴于点，
则，
由（1）可知：，
，
由转转的性质可知：，，
为等边三角形，
，
，
当的值最小时，就是的值为最小，
当的值为最小时，点，，，在同一条直线上，
，
平分，
，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
，
即：，
解得：，
点的坐标为．
8．（2024•路南区一模）已知抛物线的对称轴为，与交于点，与轴负半轴交于点，作平行四边形并将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．
（1）求抛物线的解析式和点、的坐标；
（2）求平行四边形和平行四边形重叠部分△的周长；
（3）若点为内一点，直接写出的最小值（结果可以不化简）以及直线的解析式．
【解答】解：（1）由已知得，，则，抛物线的解析式为，
，令，得，
，，
；
（2）在中，，则，
，，
，，
△，
，
的周长为，
△的周长为；
（3）此点位费马点，设三角形的三边为，，，
，，，
．
直线解析式为．
9．（2024秋•汉阳区期中）（1）阅读证明
①如图1，在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离．
②如图2，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：．
（2）知识迁移
根据（1）的结论，我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图3，在的外部以为边长作等边及其外接圆；
第二步：在上取一点，连接，，，．易知 ；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出的费马点，线段 的长度即为的费马距离．
（3）知识应用
已知三村庄，，构成了如图4所示的（其中，，均小于，现选取一点打水井，使水井到三村庄，，所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．
【解答】解：（1）如图2，延长至，使．
在等边中，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
．
；
（2）由（1）得出：第一步：如图3，在的外部以为边长作等边及其外接圆；
第二步：在上取一点，连接，，，．易知；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出的费马点，线段的长度即为的费马距离．
故答案为：；．
（3）如图4，以为边在的外部作等边，连接．
的长就是的费马距离．
可得
．
输水管总长度的最小值为5千米．
10．（2024•遵义模拟）如图1，是锐角所在平面上一点．如果，则点就叫做费马点．
（1）当是边长为4的等边三角形时，费马点到边的距离为 ．
（2）若点是的费马点，，，，则的值为 ．
（3）如图2，在锐角外侧作等边，连接．求证：过的费马点．
【解答】（1）解：延长，交于，
，，
为三角形的内心，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：（1），
，
，
又，
，
，
，即，
故答案为：．
（3）证明：在上取点，使
连接，再在上截取，连接．
，
，
为正三角形．
，，
为正三角形，
，
，，
△，
，，
，
为的费马点．
过的费马点．
11．（2025春•兰溪市校级月考）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．
【基础巩固】
（1）如图1，在等腰中，，为边上的高，已知上一点满足，，求 ；
【尝试应用】
（2）如图2，等边三角形边长为，为高线上的点，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，连接，请你在此基础上继续探究求出等边三角形的“最近值”；
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形中，过的中点作垂线交的延长线于点，连接、，已知，，求三角形 “最近值”的平方．
【解答】解：（1），，，
，
，
，
，，
；
故答案为：；
（2）由题意可得：，，
为等边三角形，
，
，
、两点均为定点，
当、、、四点共线时，最小，
，，
，
此时点为等边的中心，
，
故等边三角形的“最近值”为12；
（3）如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
与均为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
设为上一点，由（2）得：时，最小，
此时：，
，，
，
，
三角形 “最近值”的平方为．
12．（2025春•周村区期末）如图①，为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
（1）如果点为锐角三角形的费马点，且．
①求证：；
②若，，求的长．
（2）已知锐角三角形，分别以、为边向外作正三角形和正三角形，和相交于点，连结，如图②．
①求的度数；
②求证：点为的费马点．
【解答】（1）①证明：点为锐角三角形的费马点，
，
，
，
，
，
又，
，
②解：，
，
又，，
，
；
（2）①解：设与的交点于，
如图，与都为等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
；
②证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为的费马点．
13．（2025•雁塔区校级模拟）【问题情境】
如图1，在中，，，，则的外接圆的半径值为 5 ．
【问题解决】
如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值．
【问题解决】
如图3，正方形是一个边长为的隔离区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动岗哨，到、的张角为，即，点、为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个岗哨的距离和最小，试求的最小值．（保留根号或结果精确到，参考数据，．
【解答】解：（1）如图1，作的外接圆，作直径，连接，
，
，，
，
是等边三角形，
，
设与交于点，，
在直角三角形中，
，
，
，
，
故答案为：5；
（2）如图2，
，
点在以为直径的圆上，设圆心为点，
则，
，，三点线时最小，
在直角三角形中，
，
，
的最小值为：；
（3）如图3，设所在圆的圆心为点，根据（1）可得所在圆的半径为，以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，当，，，，共线时，最小，过点作交的延长线于点，连接，则是等边三角形，过点作于交于点，连接，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，，
是等边三形，且，，
，
，，
，，
，
最小值为：．
14．（2025•山西模拟）阅读下列材料，完成后面相应的任务：
费马，1601年8月17日年1月12日），生于法国南部图卢兹附近的波蒙德罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，（三个内角均小于的三条边的张角都等于，即满足的点，就是到点，，的距离之和最小的点，后来人们把这个点称为“费马点”．
下面是“费马点”的证明过程：如图2，将绕着点逆时针旋转得到△，使得落在外，则△为等边三角形，，于是，．
任务：（1）材料中，判定△为等边三角形的依据是 顶角为等腰三角形是等边三角形 ．
（2）请你完成剩余的部分．
（3）如图，为锐角三角形，以为一边作等边，是的外接圆，连接交于点，求证：是的费马点．
【解答】解：（1）由题知判定依据的是顶角为等腰三角形是等边三角形；
（2）补充如下：
当，，，四点在同一直线上时有最小值为的长度，
，，
△为等边三角形，
则当，，，四点在同一直线上时，
，
，
，
满足的点，就是到点，，的距离之和最小的点；
（3）如图，连接，，
为等边三角形，
，
又是的外接圆，
，
，
同理可得，
，
即点是的“费马点”．
15．（2024秋•厦门期中）如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
如图（2），在锐角外侧作等边连接．
求证：过的费马点，且．
【解答】证明：在上取点，使，
连接，再在上截取，连接，
，
，
为正三角形，
，，，
为正三角形，
，，
，
，
△，
，，
，
为的费马点，
过的费马点，且．
16．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点．现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点．例如：菱形，是对角线上一点，、是边和上的两点，若点满足与之和最小，则称点为类费马点．
（1）如图1，在菱形中，，点是上的类费马点
①为的中点，为的中点，则 4 ．
②为上一动点，为上一动点，且，则 ．
（2）如图2，在菱形中，，连接，点是的费马点，（即，，之和最小），①当时， ．
②当时，你能找到的费马点吗？画图做简要说明，并求此时的值．
【解答】解：（1）①取的中点，连接，
四边形是菱形，
，，
点，分别是，的中点，
，
在和△中，
，
△，
，
，
当、、三点共线时，最小值为的长，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：4；
②由①知，若、为动点，则的最小值为与之间的距离，
过点作于，
在中，
，
，
点是上的类费马点
的最小值为；
故答案为：；
（2）①如图2，将绕点顺时针旋转得△，连接，
，，，
是等边三角形，
，
，
当、在线段上时，最小值为的长，
连接，与的交点为点，
，，
，，
，
同理，
；
故答案为：；
②如图3，将绕点顺时针旋转得△，连接，
，，，，
是等边三角形，
，
，
当、在线段上时，最小值为的长，
且点是内部的费马点，
，，
，
此时的最小值为．
17．（2025春•渠县校级期末）如图1，、、是等边三角形中不共线三点，连接、、，三条线段两两分别相交于、、．已知，．
（1）证明：；
（2）如图2，点是上一点，连接，以为边向右作，连接．若，，，证明：．
（3）如图3，在（2）的条件下，当点与点重合时，若，，请问在内部是否存在点使得到三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．
【解答】（1）证明：如图1，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，
由（1）知，
，，
是等边三角形，
，
在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
（3）解：如图3，
由（1）（2）知，
和是等边三角形，
，，
，
，
，
将绕点顺时针旋转至，连接，
，，
是等边三角形，
，
，
当、、、共线时，最小，
作于，
在中，
，
，
，
，
的最小值是．
18．（2024秋•资中县期末）如图①，点为锐角三角形内任意一点，连接、、．以为一边向外作等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：；
（2）若的值最小，则称点为的费马点．若点为的费马点，试求此时、、的度数；
（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以的、为一边向外作等边和等边，连接、，设交点为，则点即为的费马点．试说明这种作法的依据．
【解答】解：（1）证明：为等边三角形，
，．
而，
．
在与中，
，
．
（2）连接．由（1）知，．
，，
为等边三角形．
．
．
当、、、四点共线时，的值最小．
此时，；
；
．
（3）由（2）知，的费马点在线段上，同理也在线段上．
因此线段与的交点即为的费马点．
19．（2024•温岭市模拟）（1）知识储备
①如图1，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：．
②定义：在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离．
（2）知识迁移
①我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法：
如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 的长度即为的费马距离．
②在图3中，用不同于图2的方法作出的费马点（要求尺规作图）．
（3）知识应用
①判断题（正确的打，错误的打
ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 ；
ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 ．
②已知正方形，是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的
边长．
【解答】（1）①证明：在上取一点，使，连接，
是等边三角形，
，
又，
是正三角形，
，，
，
又，，
，
，
；（4分）
（2）①如图2，得：，
当、、共线时，的值最小，
线段的长度即为的费马距离，
故答案为：；（6分）
②过和分别向外作等边三角形，连接，，交点即为．（过或作外接圆视作与图2相同的方法，不得分）．（8分）
（3）①ⅰ．；
ⅱ．当三角形有一内角大于或等于时，所求三角形的费马点为三角形最大内角的顶点（10分）
故答案为：，，，；
②解：将沿点逆时针旋转到△，
如图5，过作，交的延长线于，连接，
易得：，，，，
，，
△是正三角形，
，
的最小值为，
的最小值为，
，，，在同一直线上，即，（12分）
设正方形的边长为，
，，
，
在△中，，，
得：，，
在△中，由勾股定理得：，
解得：（舍去）
正方形的边长为2．（14分）
20．（2024秋•沙坪坝区校级期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过点，与抛物线交于另一点，已知，．
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）如图1，若点是轴下方抛物线上一点，过点作于点，过点作轴交抛物线于点，过点作轴于点，为直线上一点，且，点为第四象限内一点，且在直线上方，连接、、，记，，当取得最大值时，求出点的坐标，并求出此时的最小值．
（3）如图2，将点沿直线方向平移13个长度单位到点，过点作轴，交抛物线于点，动点为轴上一点，连接、，再将沿直线翻折为（点、、、在同一平面内），连接、、，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
【解答】解（1）与轴的交点为，令，
点
，
，
，，
将点代入直线解析式可得
解得
将点和点代入抛物线中
解得，
（2）设点的坐标为
抛物线的对称轴为直线
点
如图1所示，延长交直线于点，则
，
直线解析式为，令，．
根据勾股定理得
当时，取最大值此时点
，
如图2所示，连接，以为边向下做等边三角形，连接，在取，
使，以为边做等边三角形，连接
，，
，此时最小
过点作垂直于
，根据勾股定理得
在中，，，根据勾股定理得
的最小值为
（3）设与轴交于点
，
，根据勾股定理得
，
当时，代入抛物线中，可得
，
在中，根据勾股定理得
点为轴上的动点，根据翻折，，所以点在以为圆心，13个单位长度为半径的圆上运动，如图3所示
①当落在的垂直平分线上时
，
，根据勾股定理得
为的角平分线
，
也为角平分线
根据射影定理得
，
②当时
与点重合
为角平分线
，
综上所述，，，，，，．
21．（2024•山西模拟）皮埃尔德费马，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”．1638年勒笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的函数问题，费马经过思考并由此提出费马点的相关结论．
定义：若一个三角形的最大内角小于，则在其内部有一点，可使该点所对三角形三边的张角均为，此时该点叫做这个三角形的费马点．例如，如图1，点是的费马点．
请结合阅读材料，解决下列问题：
已知：如图2，锐角．
（1）尺规作图，并标明字母．
①在外，以为一边作等边．
②作的外接圆．
③连接交于点．
（2）求证：（1）中的点是的费马点．
【解答】解：根据作图步骤，作出图形，如图1所示：
（2）如图2，
连接，，
由作图知，，
是等边三角形，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
点是的费尔马点．
22．（2024秋•邗江区期末）背景资料：
在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．
这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．
如图①，当三个内角均小于时，费马点在内部，此时，此时，的值最小．
解决问题：
（1）如图②，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数．
为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ；
基本运用：
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
如图③，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并证明；
能力提升：
（3）如图④，在中，，，，点为的费马点，连接，，，求的值．
【解答】解：（1），
、、，
由题意知旋转角，
为等边三角形，
，，
易证△为直角三角形，且，
；
故答案为：；
（2），理由如下：
如图2，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，，，，，
，
，
，
在和△中，
，
△，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，即．
（3）如图④，将绕点顺时针旋转至△处，连接，
在中，，，，，
，
绕点顺时针方向旋转，△如图所示；
，
，
绕点顺时针方向旋转，得到△，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
、、、四点共线，
在△中，，
．
23．（2024春•安徽月考）如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
（1）如点为锐角的费马点．且，，，求的长．
（2）如图（2），在锐角外侧作等边连接．求证：过的费马点，且．
（3）已知锐角，，分别以三边为边向形外作等边三角形，，，请找出的费马点，并探究与的和，与的和是否相等．
【解答】解：（1），
，
，
又，
，
，
；
（2）证明：在上取点，使．连接，再在上截取，连接．
，
，
为正三角形，
，，．
为正三角形，
，，
，
，
△，
，，
，
为的费马点．
过的费马点，且．
（3）如图，
作平分，交的垂直平分线于点，点就是费马点；
证明：过作交于，连接、，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，且，
在与中，
，，，
，
在和中
，，
故，
在上截取，使，
再连接、、 （辅助线这样做就是等边三角形了，后边证明更简便）
易证为等边三角形，
在与中，
，，，
，
，，
又，
，
，
，
，
，
即得到与平行且相等，故四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
即．
24．（2024•宝坻区二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，，为的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点在的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边的顶点、在线段上，求及的长；
（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值，以及取得最小值时，线段的长．
【解答】解：（1）过作于（1分）
，，
，
点，，
可得，；
为中点，
，
点的坐标为（2分）
抛物线经过、两点，
，
可得；
抛物线的解析式为；（3分）
（2）抛物线与轴相交于、，在的左侧，
点的坐标为
，
在中，，（4分）
过点作于，
可得
是等边三角形，
；
，或；（6分）
（写出一个给1分）
（3）如图；
以为边做等边三角形，以为边做等边三角形；
易证，，则是等边三角形；
连接、、，它们的交点即为最小时，点的位置（即费马点）；
，，，
△；
；
，而，
，
为等边三角形，
，
；
即；
如图；作正的外接圆，
根据费马点的性质知，则，而；
，；
即、、、四点共圆；
易求得，，则，；
；
由割线定理得：，
即：．
故：可以取到的最小值为
当取得最小值时，线段的长为．
（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）
25．（2010•鄞州区模拟）如图是所在平面上一点．如果，则点就叫做费马点．
（1）当是等边三角形时，作尺规法作出费马点．（不要求写出作法，只要保留作图痕迹）
（2）已知：是等腰直角三角形，，．四边形是正方形，在上，在上，是的费马点．求：点到的距离．
（3）已知：锐角，分别以，为边向外作正和正，和相交于点．
①求的度数；
②求证：点为的费马点．
【解答】解：（1）费马点如图所示：
（2）连接，，并延长交于点．
是费马点，
．
四边形是正方形，
．
，
．
．
．
，
．
．
是等腰直角三角形，
．
，
．
（3）①，
，
，
．
②，
．
，
．
．
．
．
．
点为的费马点．
26．（2009•湖州）自选题：若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
（1）若点为锐角的费马点，且，，，则的值为 ；
（2）如图，在锐角外侧作等边连接．求证：过的费马点，且．
【解答】解：（1），
，
，
又，
，
，
，
；
（2）证明：在上取点，使．连接，再在上截取，连接．
，
，
为正三角形，
，，．
为正三角形，
，，
，
，
△，
，，
，
为的费马点．
过的费马点，且．
27．已知中，，，，是内一点，求的最小值．
【解答】解：（1）若每个角小于时，只需将绕点按逆时针旋转得到△，易知此时有，，
从而，
当、、、四点共线时取等号，最小值为；
（2）若有一个角大于时，此时以该点为中心，以减去该角大小为旋转角进行旋转，
①时，当点与重合时，最小，最小值为；
②时，当点与重合时，最小，最小值为．
故答案为：或．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/11 23:27:18；用户：微信用户；邮箱：rFmNt0ALlhXWmlRPd3BByUm_TL4@；学号：47883804