苏科版（2024）七年级上册数学专题4.5 一元一次方程的应用45题（挑战压轴题练习）（含答案+解析）

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专题4.5 一元一次方程的应用45题（挑战压轴题）TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc21428" 高频考点1：配套问题（一元一次方程的应用) PAGEREF _Toc21428 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc18680" 高频考点2：工程问题（一元一次方程的应用） PAGEREF _Toc18680 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc12264" 高频考点3：销售盈亏（一元一次方程的应用） PAGEREF _Toc12264 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc12560" 高频考点4：比赛积分（一元一次方程的应用） PAGEREF _Toc12560 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc11548" 高频考点5：方案选择（一元一次方程的应用） PAGEREF _Toc11548 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc5663" 高频考点6：数字问题（一元一次方程的应用) PAGEREF _Toc5663 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc28818" 高频考点7：几何问题（一元一次方程的应用） PAGEREF _Toc28818 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc23028" 高频考点8：动点问题（一元一次方程的应用） PAGEREF _Toc23028 \h 26 HYPERLINK \l "_Toc18447" 高频考点9：和差倍分问题（一元一次方程的应用) PAGEREF _Toc18447 \h 32 HYPERLINK \l "_Toc427" 高频考点10：电费和水费问题（一元一次方程的应用) PAGEREF _Toc427 \h 41 HYPERLINK \l "_Toc256" 高频考点11：行程问题（一元一次方程的应用） PAGEREF _Toc256 \h 46 HYPERLINK \l "_Toc5814" 高频考点12：比例分配（一元一次方程的应用） PAGEREF _Toc5814 \h 50 HYPERLINK \l "_Toc4576" 高频考点13：日历问题（一元一次方程的应用） PAGEREF _Toc4576 \h 54 HYPERLINK \l "_Toc17713" 高频考点14：古代问题（一元一次方程的应用） PAGEREF _Toc17713 \h 58 HYPERLINK \l "_Toc28608" 高频考点15：其他问题（一元一次方程的应用） PAGEREF _Toc28608 \h 60高频考点1：配套问题（一元一次方程的应用)1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）北京时间2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功．随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，为提高生产量，在原有13名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人(1)求调入工人的人数；(2)调入工人后，车间内每名工人每天可以生产60个A部件或80个B部件，1个A部件和2个B部件组成一个模型，为使每天生产的A部件和B部件刚好配套组成模型，应该安排生产A部件和B部件的工人各多少名？【答案】(1)调入工人的人数为12人(2)10名工人生产A部件，15名工人生产B部件，可使每天生产的A部件和B部件刚好配套【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．（1）13+调入的人数=2×调入的人数+1，列方程，即可求解；（2）设y名工人生产A部件，则(25−y)名工人生产B部件，每天生产A部件的数量×2=每天生产B部件的数量，列方程，即可求解．【规范解答】（1）解：设调入工人的人数为x人，根据题意得：13+x=2x+1，解得x=12，所以调入工人的人数为12人．（2）解：调入12名工人后，车间有工人13+12=25（名），设y名工人生产A部件，则(25−y)名工人生产B部件，因为每天生产的A部件和B部件刚好配套，所以60y×2=80(25−y)，解得y=10，所以25−y=25−10=15，所以10名工人生产A部件，15名工人生产B部件，可使每天生产的A部件和B部件刚好配套．2．（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）石城是“中国白莲之乡”，某食品加工厂对白莲进行深加工做成即食罐头，需要用白铁皮做罐头盒．已知每张白铁皮可制盒身25个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有36张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？【答案】用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正好配套【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，设用x张制盒身，则用(36−x)张制盒底，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【规范解答】解：设用x张制盒身，则用(36−x)张制盒底，由题意，得2×25x=40(36−x)，解得x=16，∴36−x=36−16=20，答：用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正好配套．3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）小红和小军假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套．(1)现有21张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答）(2)现有33张白板纸，问最多可做几个包装盒？为了解决这个问题，小红和小军各设计了一种解决方案：小红：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖；小军：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖．请探究：小红和小军设计的方案，谁做出的包装盒最多？【答案】(1)用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒(2)小军做出的包装盒更多，理由见解析【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是列方程的关键（1）设x张白纸做盒身，则有21−x张做盒盖，根据一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒列出方程即可解答；（2）分别按小红和小军设计的方案列出方程解答，然后比较即可得出答案．【规范解答】（1）解：设x张白纸做盒身，则有21−x张做盒盖，根据题意得：2x×2=321−x，解得：x=9，则21−x=12，2x=18答：用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒；（2）解：小红的方案，设y张做盒身，则有33−y张做盒盖，根据题意得：2y×2=3×33−y，解得：y=997=1417≈14；2y=28小军的方案，设余下的纸板z张做盒身，根据题意得：22z+1=333−z+1，解得：z=14，∴14×2+1=28+1=29，29>28则小军做出的包装盒更多．高频考点2：工程问题（一元一次方程的应用）4．（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、有现代科学理念和架构的“综合性文物医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以“延年益寿”．文物修复师们计划用36个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物﹐需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由10名文物修复师一起修复了12个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？【答案】还需要增加15名文物修复师才能按时完成修复工作【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作，根据每名文物修复师的工作效率相同，先由10名文物修复师一起修复了12个月，把完成某件文物的修复工作看作“1”．列出一元一次方程，解方程即可．【规范解答】解：设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作，由题意得：1720×10×12+1720×10+x×36−12=1解得：x=15，答：还需要增加15名文物修复师才能按时完成修复工作．5．（24-25七年级上·河北保定·开学考试）某工程队修一条公路，原计划每天修100米，60天完成任务，由于在实际施工中改进了技术提高了工作效率，结果比原计划每天多修25米，这样可以提前多少天完成任务？小亮解决这个问题时是这样考虑的：设提前x天完成任务，并结合题意画出下面的图形帮助分析题目中的数量关系，并列出方程解决了问题．图中一共有五个矩形，分别记作：矩形ABCD，矩形ABHG，矩形CDGH，矩形BEFH，矩形AEFG．(1)线段AB的意义为________；线段AG的意义为________．矩形ABCD面积的意义为________．(2)以上五个矩形有没有面积相等的，如果有请全部找出来．(3)结合以上的分析，请帮小亮列出相应的方程解决这个问题．【答案】(1)为原计划每天的工作量；实际修路的天数；总的工作量(2)矩形ABCD的面积等于矩形AEFG的面积，矩形CDGH的面积等于矩形BEFH的面积(3)12天【思路引导】（1）根据题意及图形解答即可；（2）根据矩形的边长代表的意义解答即可；（3）根据（2）所得结果列出方程解答即可；本题考查了代数式的意义，一元一次方程的应用，看懂题意是解题的关键．【规范解答】（1）解：线段AB的意义为原计划每天的工作量；线段AG的意义为实际修路的天数；矩形ABCD面积的意义为总的工作量；故答案为：为原计划每天的工作量；实际修路的天数；总的工作量；（2）解：矩形ABCD的长AB代表原计划每天的工作量，宽AD=60−x+x=60代表原计划完成的时间，所以矩形ABCD的面积代表总的工作量；矩形AEFG的长AE=100+25=125代表原实际每天的工作量，宽AG代表实际完成的时间，所以矩形AEFG的面积代表总的工作量；所以矩形ABCD的面积等于矩形AEFG的面积，因为矩形ABCD的面积−矩形ABHG的面积=矩形AEFG的面积−矩形ABHG的面积，所以矩形CDGH的面积等于矩形BEFH的面积，综上，矩形ABCD的面积等于矩形AEFG的面积，矩形CDGH的面积等于矩形BEFH的面积；（3）解：因为矩形ABCD的面积等于矩形AEFG的面积，所以100×60=125×60−x，解得x=12，答：提前12天完成任务．6．（24-25七年级下·全国·假期作业）A、B两市相距176千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的124．(1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的32倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？(2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？【答案】(1)甲队：50千米/小时，乙队：30千米/小时(2)11小时【思路引导】本题主要考查工程问题，掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键．（1）设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是32x+5千米/小时．从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了2.5小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和=两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可．（2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作0.5小时，完成了总量的124，根据工作效率=工作总量÷工作时间，用124÷0.5求出甲的效率．设乙的效率为y，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：6−0.5=5.5（小时），根据工作效率×工作时间=工作总量，甲队工作量＋乙队工作量=1，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间．【规范解答】（1）解：设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是32x+5千米/小时，9:00−7:00=2（小时），2小时+0.5小时=2.5小时，2×32x+5+2.5x=176−12×32x+2×5+2.5x=1753x+10+2.5x=1755.5x=175−105.5x=165x=165÷5.5x=30，32×30+5=45+5=50（千米/小时），答：甲队的行进速度是50千米/小时，乙队的行进速度是30千米/小时．（2）124÷0.5=124÷12=124×2=112，根据题意，设乙的工作效率为y，112×6+6−0.5y=10.5+5.5y=15.5y=1−0.55.5y=0.5y=0.5÷5.5y=1111÷111=11（小时），答：乙队单独疏通这条公路的效率是11小时．高频考点3：销售盈亏（一元一次方程的应用）7．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）某商场经销A、B两种商品，A种商品每件进价40元，售价50元；B种商品每件售价80元，利润率为60%．(1)每件A种商品利润率为 ，每件B种商品进价为 ；(2)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？(3)在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额．【答案】(1)25%；50(2)20件(3)750元或850元【思路引导】（1）根据题意，每件A种商品利润率为50−4040×100%=25%，设每件B种商品进价为x元，根据题意，得80−x=60%x，解方程即可；（2）设购进A种商品y件，B种商品共50−y件，根据题意，得40y+5050−y=2300，解方程即可； （3）根据小华一次性购买A、B商品实际付款675元，说明购物费用超过了500元，设本次购物打折前的费用为m元，当500800时，根据题意，得800×0.8+0.7m−800=675，解答即可；本题考查了利润率，一元一次方程的应用，打折问题，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．【规范解答】（1）解：根据题意，每件A种商品利润率为50−4040×100%=25%，设每件B种商品进价为x元，根据题意，得80−x=60%x，解得x=50；故答案为：25%；50．（2）解：设购进A种商品y件，B种商品共50−y件，根据题意，得40y+5050−y=2300，解得y=20，故购进A种商品20件．（3）解：根据小华一次性购买A、B商品实际付款675元，说明购物费用超过了500元，设本次购物打折前的费用为m元，当500800时，根据题意，得800×0.8+0.7m−800=675，解得m=850，小华此次购物打折前的总金额为750元或850元．8．（24-25七年级下·全国·假期作业）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？【答案】70元【思路引导】本题考查了列方程解决问题的方法，抓住降价前后利润的变化，找到等量关系是解题的关键．根据题意，把商品原来每件的定件100元看作单位“1”，若减价5%，即每件商品减少的钱数占原来每件定价的5%，则每件减少了100×5%=5元；已知每降价1元，就多订购4件，那么减少的5元就多订了20件，加上原来订购的80件，现在一共订购100件；根据“获得的利润反而比原来多100元”可得出等量关系：降价后每件商品的利润×降价后订购的件数−原来每件商品的利润×原来订购的件数=降价后比原来多的利润，据此列出方程，并求解；最后用原来每件的定价减去原来每件商品的利润，即是这种商品的成本价．【规范解答】解：根据题意得，减价：100×5%=100×0.05=5（元），多订购的件数：5÷1×4=20（件），降价后共订购：80+20=100（件），设原来每件商品的利润为x元，则这种商品的成本是100−x元，x−5×100−80x=100100x−500−80x=10020x−500=10020x=100+50020x=60020x÷20=600÷20x=30（元），100−30=70（元），答：这种商品的成本是70元．9．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）过年了，武汉某两商场A、B为庆贺新年，全场商品按如下方式优惠：(1)芳姐去商场A置办年货，打折后需付款945元，则她购买商品的原价是_____________．(2)芳姐又在商场B看中了一套850元的衣服，服装类商品按原价先打折，再按打折后的价格参加优惠．芳姐正准备付款，却发现该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了15元，试求该衣服打了几折．(3)过了几天，芳姐和老贾先后去商场A给学生购买新年礼物，已知礼物一份单价20元，两人共购买了80份，一共花了1374元，已知芳姐买的比老贾多，问两人分别买了多少份礼物？【答案】(1)1190(2)该衣服打了9折或13317折；(3)芳姐购买了51份礼物，老贾购买了29份礼物【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，（1）结合题意算出当原价为1000元时，在商场A应付费用，推出芳姐购买商品的原价大于1000，设她购买商品的原价为x元，根据“打折后需付款945元，”建立方程求解，即可解题；（2）根据题意得到直接参加优惠付款费用，设衣服打了y折，分情况当打折后能优惠300元，当打折后能优惠200元，当打折后能优惠100元，结合“该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了15元，”建立方程求解并讨论，即可解题；（3）设芳姐购买礼物m份，则老贾购买礼物80−m份，分以下几种情况：当800