人教A版 (2019)双曲线同步训练题

这是一份人教A版 (2019)双曲线同步训练题，文件包含人教A版选择性必修一高二数学上册同步学案+分层练习322第1课时双曲线的简单几何性质答案版docx、人教A版选择性必修一高二数学上册同步学案+分层练习322第1课时双曲线的简单几何性质原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
【自主学习】
一．双曲线的几何性质
思考1：椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？
思考2：若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？
二．双曲线的中心和等轴双曲线
1.双曲线的 叫做双曲线的中心．
2. 的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝ .
【小试牛刀】
1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．( )
(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝eq \r(2).( )
(3)共渐近线的双曲线的离心率相同．( )
(4)双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.( )
2.中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)－eq \f(x2,9)＝1
C.eq \f(x2,100)－eq \f(y2,36)＝1 D.eq \f(x2,100)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,100)－eq \f(x2,36)＝1
【经典例题】
题型一 根据双曲线方程研究几何性质
点拨：由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
1.把双曲线方程化为标准形式；
2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
3.由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
【跟踪训练】1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±eq \f(n,m)x的双曲线方程可设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ＞0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
(4)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)．
例2 根据以下条件，求双曲线的标准方程．
(1)过点P(3，－eq \r(5))，离心率为eq \r(2)；
(2)与双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1有共同渐近线，且过点(－3,2eq \r(3))．
【跟踪训练】2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±eq \f(3,2)x.
题型三 求双曲线的离心率
点拨：求双曲线离心率的方法
1.若可求得a，c，则直接利用e＝eq \f(c,a)得解．
2.若已知a，b，可直接利用e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))得解．
3.若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
例3 如图所示，F1和F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
【跟踪训练】3 已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________．
【当堂达标】
1.（多选）设中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的虚轴长为4，一条渐近线为，则双曲线的标准方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
2.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是（ ）
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
3.已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2eq \r(5)，0)，且离心率为e＝eq \f(\r(5),2)，则双曲线的标准方程为________．
4.已知点(2,3)在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
5.求过点(2，－2)且与eq \f(x2,2)－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程．
3.2.2 第2课时 直线与双曲线的位置关系
【学习目标】
【经典例题】
题型一 直线与双曲线的位置关系
点拨：直线与双曲线位置关系的判定方法
通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，
1.在a≠0的情况下考查方程的判别式．
①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
③Δ0，b>0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是( )
A．(1，2) B．(1，2] C．(1，eq \r(5)) D．(1，eq \r(5)]
题型二 弦长问题
点拨：求弦长的两种方法
1.距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
2.弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|或
|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|.
注意：当直线经过双曲线的焦点且斜率不存在时，不能利用弦长公式求解，此时的弦是双曲线的通径，可以直接利用通径公式求解．
例2 已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．
【跟踪训练】2 斜率为2的直线l与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1相交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为________．
题型三 中点弦问题
点拨：中点弦问题解决方法
方法1：可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；
方法2：可以用点差法和中点坐标公式求解．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2)－\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2)＝1，,\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,a2)－\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,b2)＝1.)) 两式相减可得 eq \f(y1－y2,x1－x2) · eq \f(y1＋y2,x1＋x2) ＝ eq \f(b2,a2) ，
即kAB· eq \f(y0,x0) ＝ eq \f(b2,a2) .
例3 过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为 ．
【跟踪训练】3 已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
【当堂达标】
1.过双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2.过双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左焦点F1，作倾斜角为eq \f(π,6)的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝________.
3.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，求实数k的取值范围．
4.过点P(eq \r(7)，5)且与双曲线eq \f(x2,7)－eq \f(y2,25)＝1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程.
5.已知双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
6.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为eq \r(2)，求实数k的值．
3.2.2 双曲线的简单几何性质
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.(多选)关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是( )
A．有相同的焦点 B．有相同的焦距
C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
2.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( )
A.y＝±3x B.y＝±eq \f(1,3)xC.y＝±eq \r(3)x D.y＝±eq \f(\r(3),3)x
3.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2，2) B．[－2，2) C．(－2，2] D．[－2，2]
4．已知双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A．eq \f(3,2) B．3 C．2eq \r(3) D．4
5.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝eq \f(1,2)x交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(15)，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
6．若双曲线x2－eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \r(3)，则实数m＝________，渐近线方程是________．
7.已知双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k的值．
8.已知双曲线的一条渐近线为x＋eq \r(3)y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.
能 力 练
综合应用 核心素养
9.若实数k满足0＜k＜5，则曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,5－k)＝1与曲线eq \f(x2,16－k)－eq \f(y2,5)＝1的( )
A．实半轴长相等 B．虚半轴相等 C．离心率相等 D．焦距相等
10．（多选）14．设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与C交于A，B两点，若为正三角形，则（ ）
A．B．C的焦距为
C．C的离心率为D．的面积为
11．若a>1，则双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(eq \r(2)，＋∞) B．(eq \r(2)，2) C．(1，eq \r(2)) D．(1,2)
12.已知F是双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,2) C.eq \f(7,2) D.eq \f(9,2)
13.过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率是( )
A．eq \r(2) B．1＋eq \r(2) C．2＋eq \r(2) D．3－eq \r(2)
14.已知椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的公共焦点为左焦点F1，右焦点F2，点P是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF1|＝________，cs∠F1PF2的值为________．
15.直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
16.设双曲线C：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且eq \(PA,\s\up6(―→))＝eq \f(5,12)eq \(PB,\s\up6(―→))，求a的值．
课程标准
学科素养
1.掌握双曲线的简单几何性质.
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
3.可以根据双曲线几何性质求离心率和取值范围.
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点


轴长
实轴长＝ ，虚轴长＝
离心率

渐近线
y＝±eq \f(b,a)x

课程标准
学科素养
1.掌握直线与双曲线的位置关系及其判定方法．
2.会求直线和双曲线相交的弦长.
3.能够解决弦中点问题.
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理