2026年中考备考数学中难题综合复习训练一（共三辑）（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考备考数学中难题综合复习训练一（共三辑）（学生版+名师详解版），共25页。试卷主要包含了如图，已知锐角中，等内容，欢迎下载使用。
A．B．C． D．
2．（江苏淮安·二模）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元．若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B． C．D．
3．（徐州·模拟预测）已知，是关于的方程的两个实数根，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．，
4．（江苏常州·二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限，设l＝a+b﹣c，则l的取值范围是_______．
5．（江苏扬州·一模）n是自然数，我们称n的非0数字的乘积为n的“指标数”，如1的指标数是1，27的指标数是14，40的指标数为4，则1～99这九十九个自然数的指标数的和是______．
6．（江苏·南师附中新城初中二模）如图，为轴负半轴上一点，、是函数的图像上的两个动点，且．若的最小值为10，则点的坐标为______．
7．（江苏淮安·中考真题）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
8．（江苏淮安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．
9．（江苏无锡·中考真题）如图，已知锐角中，．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）
10．（江苏南通·中考真题）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：
A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；
B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．
例如，一次购物的商品原价为500元，
去A超市的购物金额为：（元）；
去B超市的购物金额为：（元）．
（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；
（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．
11．（江苏盐城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（江苏徐州·二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，将一张和△ABC一样大的纸片和△ABC重叠放置，点E是边BC上一点（不含点B、C），将△OCE沿着OE翻折，点C落在点P处．
(1)直接写出∠OBC、∠OCB的数量关系是 ．
(2)连接DE，设△OPE的面积为S1，△ODE的面积为S2，在点E取边BC上每一点（除点B、C）的过程中，S1+S2的值是否变化？如果变化，请求出它的取值范围；如果不变，请求出S1+S2的值；
(3)分别连接PD、PC，当点P与点B重合时，易知PO•PC＝PE•PD，当点P不与点B重合时，PO•PC＝PE•PD是否成立？请在图3、图4中选一种情况进行证明．
初三数学中难题综合复习一解析
1．（江苏苏州·二模）用一段长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为xm，面积为ym2，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【解析】【分析】设矩形的长为am，宽为bm，可得a+b＝10（m），由菜园的对角线长为xm，根据勾股定理a2+b2＝x2，由三角形成立条件与两数差平方非负性可得，由公式配方可得即可．
【详解】解：设矩形的长为am，宽为bm，
根据题意，得a+b＝20÷2＝10（m），
∵菜园的对角线长为xm，
∴a2+b2＝x2，
∵x，，
∴x2=a2+b2≥,仅当取等号，
∴x2≥2×5×5，
∴x≥，
，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴102＝x2+2ab，
∴，
∴0≤y＜25，且x＝时，y＝25，
∴y与x函数图象是二次函数的图象，即开口方向向下的抛物线．故选：B．
【点睛】本题考查列二次函数解析式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积，掌握列二次函数解析式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积是解题关键．
2．（江苏淮安·二模）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元．若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】【分析】根据增长率为x，得出第二天为3（1+x），第三天为3（1+x）2，根据三天累计为10，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（江苏徐州·模拟预测）已知，是关于的方程的两个实数根，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．，
【答案】A
【解析】【分析】根据根与系数的关系得出，，再逐个判断即可．
【详解】解：，是关于的方程的两个实数根，
，， ＞0，
∴不论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根，即，
故A选项符合题意；
∵不论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根，且，
∴不一定大于0，
故B选项不符合题意；
∵＜0，
∴，，
故C，D选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟练记住根与系数的关系是解题的关键.
4．（江苏常州·二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限，设l＝a+b﹣c，则l的取值范围是_______．
【答案】l≤﹣3
【解析】【分析】将A、B两点的坐标代入得出关于a、b、c的方程组，将a看作常数解此方程组得，将其代入得l=a+b-c=2a-2，结合二次函数的图象与性质知a＜0、c=2a+1≤0，据此得出a的范围，继而可得l的范围，即可得出答案．
【详解】由题意，得，解得，
则l＝a+b﹣c＝a+（3a﹣1）﹣（2a+1）＝2a﹣2，
由抛物线过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限知a＜0，c＝2a+1≤0，解得a≤，
∴l＝2a﹣2≤﹣3，故答案为：l≤﹣3．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
5．（江苏扬州·一模）n是自然数，我们称n的非0数字的乘积为n的“指标数”，如1的指标数是1，27的指标数是14，40的指标数为4，则1～99这九十九个自然数的指标数的和是______．
【答案】2115
【解析】【分析】先分别求出1～9的指标数之和，10～19的指标数之和，20～29的指标数之和，…，90～99的指标数之和，再将它们相加即可．
【详解】解：1～9的指标数之和为；
10～19的指标数之和为；
20～29的指标数之和为；
30～39的指标数之和为；
40～49的指标数之和为；
50～59的指标数之和为；
60～69的指标数之和为；
70～79的指标数之和为；
80～89的指标数之和为；
90～99的指标数之和为．
所以1～99的指标数之和为．故答案为：2115．
【点睛】本题考查了自然数的“指标数”，注意分类思想及整体思想，有一定的难度．
6．（江苏·南师附中新城初中二模）如图，为轴负半轴上一点，、是函数的图像上的两个动点，且．若的最小值为10，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】【分析】取MN的中点为B，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：AB最小值，由AB⊥MN时，AB最小，再通过即可求出AC的长，从而得出A点的坐标．
【详解】假设中点为点，连接，根据直角三角形斜边中线定理可得
∵
∴
（即定点A到直线上动点的最短距离为5）
∵的图象与x、y轴交于C、D两点，
∴C(0，3)，D(4，0)，
根据垂线段最短可得，直线时，如图所示
在中，由勾股定理得：
中，
中，
∴，
∴
∵点A在轴的负半轴
∵
∴
∴点A的纵坐标为．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标，以及垂线段最短和三角函数等知识，得出垂线段AB长是解决问题的关键．
7．（江苏淮安·中考真题）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【答案】68.5m
【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可．
【详解】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．
则AE＝50m，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），
在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），
∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．
答：铁塔CD的高度约为68.5m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，求出CE、DE的长是解题的关键．
8．（江苏淮安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）
【分析】（1）连接DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E为BC的中点得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；（2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解:（1）证明：连接DO，如图，
∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切；
（2）由（1）得，∠CDB＝90°，
∵CE＝EB，∴DE＝BC，∴BC＝5，∴BD＝＝＝4，
∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BDC，∴＝，∴＝，∴AC＝，
∴⊙O直径的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．
9．（江苏无锡·中考真题）如图，已知锐角中，．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤，即可作的平分线，作出AC的中垂线交CD于点O，再以点O为圆心，OC为半径，画圆，即可；
（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得AD=BD=，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，进而即可求解．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）连接OA，
∵，的平分线，
∴AD=BD=，CD⊥AB，
∵的半径为5，
∴OD=，
∴CD=CO+OD=5+=，
∴BC=，
∴．故答案是：．
【点睛】本题主要考查尺规基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，理解三角形外接圆的圆心是三角形各条边中垂线的交点，是解题的关键．
10．（江苏南通·中考真题）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：
A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；
B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．
例如，一次购物的商品原价为500元，
去A超市的购物金额为：（元）；
去B超市的购物金额为：（元）．
（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；
（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．
【答案】（1）A商场y关于x的函数解析式：；B商场y关于x的函数解析式：；
（2）当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．
【解析】【分析】（1）利用促销方式，分别写出A、B两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数;
（2）小刚一次购物的商品原价超过200元,则可以确定B的函数解析式，再分段求出A函数的解析式，比较两函数值即可，注意分段讨论．
【详解】
解：（1）A商场y关于x的函数解析式：，即：；
B商场y关于x的函数解析式：，即：；
（2）∵小刚一次购物的商品原价超过200元
∴当时，，
令，，
所以，当时，即，去B超市更省钱；
当时，，
令，，
所以，当时，即，此时去A、B超市一样省钱；
当时，即，去B超市更省钱；
当时，即，去A超市更省钱；
综上所述，当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意B商场根据商品原价的取值范围分情况讨论．
11．（江苏盐城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2-4x+3，顶点（2，-1）；（2）（，）；（3）（2，）或（2，）
【解析】【分析】（1）由对称轴为直线，点的坐标为，得出，通过交点式得出函数关系式；
（2）作于，可知在对称轴上，求出的坐标，得出直线的关系式与抛物线求交点即可；
（3）分在上方和下方两种情况，当在上方时，构造出，得代入抛物线即可，当在上方时，得出．
【详解】解：（1）对称轴为直线，点的坐标为，
，
，
当时，，
顶点，
（2）作于，交于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
直线的关系式为：，
，
（舍，，
，
（3）点旋转后的对应点为，作对称轴于，对称轴于，
当在上方时，
则，设，
将线段绕点顺时针旋转得线段，
∴∠PQP′=90°，则∠PQD+∠P′QE=90°，
又∠PQD+∠DPQ=90°，
∴∠P′QE=∠DPQ，又PQ=P′Q，∠PDQ=∠QEP′=90°，
（AAS），
，，
，
恰好落在抛物线上，
，
解得，（舍），
∴点Q的纵坐标为；
，
当在上方时，作对称轴于，
可知：△PQP′为等腰直角三角形，
∴，
∴点Q的纵坐标为，
，
综上：或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式、等腰直角三角形的性质以及运算能力，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
12．（江苏徐州·二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，将一张和△ABC一样大的纸片和△ABC重叠放置，点E是边BC上一点（不含点B、C），将△OCE沿着OE翻折，点C落在点P处．
(1)直接写出∠OBC、∠OCB的数量关系是 ．
(2)连接DE，设△OPE的面积为S1，△ODE的面积为S2，在点E取边BC上每一点（除点B、C）的过程中，S1+S2的值是否变化？如果变化，请求出它的取值范围；如果不变，请求出S1+S2的值；
(3)分别连接PD、PC，当点P与点B重合时，易知PO•PC＝PE•PD，当点P不与点B重合时，PO•PC＝PE•PD是否成立？请在图3、图4中选一种情况进行证明．
【答案】(1)
(2)不变，
(3)成立，证明见解析
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可以证明，则；
（2）由折叠的性质可得，由等底等高的三角形的面积相等可得，可证明，则的值不变，由可求出的值；
（3）当点与点不重合时，仍然成立，由三角形内角和定理导出，证明，即可证得结论．
(1)解：如图1，

矩形的对角线、相交于点，
，，且，
，
，
故答案为：．
(2)的值不变，
如图2，由折叠得，
，
，
与等底等高，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
同理可得，
．
(3)当点与点重合时，如图5，则，
，
，
，
，
，
即．
当点与点不重合时，仍然成立．
如图3，点与点在的同侧，
，
，
，，
，
由折叠得，
，
，
，
，，
，
，
，
；
如图4，点与点在的异侧，
则，
，，
，
，
同理可得，
，
，
．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、动点问题的求解等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．