初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）回顾与思考课时训练

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc5078" 题型一：长方形中折痕过对角线模型 PAGEREF _Tc5078 \h 1
\l "_Tc1421" 题型二：长方形中折痕过一顶点模型 PAGEREF _Tc1421 \h 4
\l "_Tc1411" 题型三：长方形中折痕过任意两点模型 PAGEREF _Tc1411 \h 11
\l "_Tc18239" 题型四：直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 PAGEREF _Tc18239 \h 18
\l "_Tc14946" 题型五：直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 PAGEREF _Tc14946 \h 23
\l "_Tc99" 题型六：直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 PAGEREF _Tc99 \h 26
题型一：长方形中折痕过对角线模型
例题：如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长．
【方法总结】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。
【变式训练】
1．如图，在长方形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（ ）
A．B．3C．D．6
2．如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．

(1)当点落在边上时，
(2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长．
题型二：长方形中折痕过一顶点模型
例题：如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．
(1)求的长；
(2)求的长．
【方法总结】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
【变式训练】
1．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（ ）
A．B．3C．1D．
2．如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ．
3．如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ．
4．如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的长．
5．八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是：

①先裁下了一张长，宽的长方形纸片；
②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．
请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长．
6．在四边形中，．
(1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长；
(2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长．
题型三：长方形中折痕过任意两点模型
例题：如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为( )
A．6B．10C．24D．48
【方法总结】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。
【变式训练】
1．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A．B．C．1D．
2．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ．

3．如图，将边长为8的正方形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别为，，当点为三等分点时，的长为 ．
4．如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．

(1)证明；
(2)求的面积．
5．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求：
(1)求的长；
(2)求阴影部分的面积．
题型四：直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
例题：如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【方法总结】（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。

【变式训练】
1．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．

(1)求的长度；
(2)求的面积．
3．如图、为一块直角三角形纸片，．
【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长．
【学以致用】
（2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
题型五：直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
例题：如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（ ）

A．B．C．D．
【方法总结】（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.

【变式训练】
1．如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长．
2．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为．
(1)求的周长．
(2)求的长．
3．如图是一张直角三角形纸片，，，．
(1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长；
(2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长．
题型六：直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
例题：在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长．
【方法总结】（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；

【变式训练】
1．如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（ ）
A．B．4C．5D．
2．如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（ ）
A．3B．4C．D．
3．如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ．
5．在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点．
(1)如图1，若点和顶点重合，求的长；
(2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长．
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEC是等腰三角形。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
折在矩形内
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形边上
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEF是等腰三角形。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
折在矩形内
结论1：≌；
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
折在矩形边上
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：GC’F是直角三角形。