北师大版（2024）八年级上册数学第一章 勾股定理（高效培优单元测试·强化卷）（含答案+解析）

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第一章 勾股定理单元测试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（   ）A．0.3，0.4，0.5B．2，3，5C．D．5，12，132．如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（   ）A．5B．4C．3D．13．下列说法正确的是（    ）A．若，，是的三边，则B．若，，是的三边，则C．若，，是的三边，，则D．若，，是的三边，，则4．如图，下列三角形是直角三角形的是（    ）A．B．C．D．5．在中，，若，，点P是边上的动点，则的长不可能为（   ）A．2.5B．3.5C．4D．4.56．图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ）A．3尺B．3.75尺C．4尺D．4.25尺7．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O．若，则的值为（    ）A．20B．16C．18D．258．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ）A．72B．52C．80D．769．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ）A．甲B．乙C．甲，乙都可以D．甲，乙都不可以10．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（    ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在中，，，则斜边的长为 ．12．如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ．13．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置，已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为 ．14．如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则的长为 ．15．2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米．16．如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，于点D，，，． (1)求的长；(2)求的长；18．如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且．(1)连接，求证：；(2)若，求的长．19．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，．(1)试说明：；(2)求的长．20．定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．(1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；(2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”．21．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点，到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同．(1)求B，N之间的距离；(2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确．22．实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边．素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离；步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边．解决问题：(1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？(2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明．23．【问题呈现】（1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系为 ．【类比探究】（2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明．24．我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为．(1)如图2，若中，，，，则 ；(2)若中，，，求的值；(3)若中，，边上的高为15，求的值．25．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法．【证法再现】如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程；【知识运用】如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．(1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由；(2)该最短距离和为多少米？