2023年九年级数学上册《与一元二次方程有关的动点问题》知识考点练习（含答案）

这是一份2023年九年级数学上册《与一元二次方程有关的动点问题》知识考点练习（含答案），共29页。试卷主要包含了与面积有关的动点问题，与长度有关的动点问题等内容，欢迎下载使用。
题型精析
题型一 与面积有关的动点问题
例1
如图，在△ABC内，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

例2
如图，在中，∠B=90°，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒．

（1）填空：________， ________；（用含t的代数式表示）
（2）当t为几秒时，的长度等于？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由，
变1
中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．

（1）填空________，________（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，的长度等于？
（3）是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
变2
如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？

题型二 与长度有关的动点问题
例1
如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．
例2
如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的；
（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．

变1
如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．

（1）用含t的式子表示线段的长：__________；__________．
（2）当t为何值时，P、Q两点间的距离为？
（3）当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．
变2
如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：

（1）当x为何值时，为等腰三角形；
（2）当x为何值时，的面积为；
（3）当x为何值时，为等腰三角形．
课后强化
1.如图，中，∠B=90°，，，点P从A点开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动．如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，的面积等于8cm2？

2.如图，在中，∠B=90°，，，点从点出发沿边向以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：
（1）经过多少时间，的面积是，此时，PQ长为多少．
（2）)探究：是否存在某一时刻，使，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
3.如图，在中，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点同时出发，沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，两点的距离是？

4.已知：如图所示，在中，∠B=90°，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．
5.如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？

知 识
考 点
动点问题
1.与面积有关的动点问题
2.与长度有关的动点问题
与一元二次方程有关的动点问题
考点先知
题型精析
题型一 与面积有关的动点问题
例1
如图，在△ABC内，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

【解题思路】过点Q作QE⊥PB于E，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出QE=12QB，设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根据△PBQ的面积等于4cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答过程】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.
∵∠ABC＝30°，
∴QE=12QB．
设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，
根据题意得：12•（6﹣t）•t＝4，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，
∴t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
例2
如图，在中，∠B=90°，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒．

（1）填空：________， ________；（用含t的代数式表示）
（2）当t为几秒时，的长度等于？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由，
【答案】(1)
(2)
(3)存在，2
【分析】（1）由路程速度时间，可直接求解；
（2）由勾股定理构建方程求解；
（3）由题意可得的面积等于面积的，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，
，，
，
故答案为：，；
（2）由题意得，
，
解得：，（不合题意，舍去），
当时，的长等于；
（3）存在，理由如下：
若四边形的面积等于面积的，
的面积等于面积的，
，
，
解得：或，
当时，
当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去，
存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为2．
变1
中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．

（1）填空________，________（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，的长度等于？
（3）是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或时，的长度等于
(3)存在，
【分析】（1）根据路程速度时间即可得出，然后用就可得出的值；
（2）运用勾股定理可得：，代入（1）中数据计算即可；
（3）根据三角形面积计算公式可得：，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，，
，
故答案为：；
（2），
∴是直角三角形，
根据勾股定理得：，
即：，
解得：，，
或时，的长度等于；
（3）由题意得：，
即，
解得：，，
当点Q运动到点C时，两点停止运动，
即，
解得，
时，的面积等于．
变2
如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？

【解题思路】（1）设经过x秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（2）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜t≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上（4＜t≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（t＞6）；进行讨论即可求解．
【解答过程】解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，
∴12（6﹣x）•2x=12×12×6×8，
∴x2﹣6x+12＝0，
∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时
此时0＜t≤4
由题意知：12（6﹣t）（8﹣2t）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5+2（不合题意，应舍去），t2＝5−2，
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时
此时4＜t≤6，
由题意知：12（6﹣t）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+25＝0，
解得：t1＝t2＝5，
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时
此时t＞6，
由题意知：12（t﹣6）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5+2，t2＝5−2，（不合题意，应舍去），
综上所述，经过5−2秒、5秒或5+2秒后，△PBQ的面积为1．
题型二 与长度有关的动点问题
例1
如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．
【答案】(1)
(2)秒
(3)6.6秒或6秒或5.5秒
【分析】（1）根据题意可求得AP和BQ，则可求得BP，由勾股定理即可得出结论；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出AQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）当时，则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即PQ的长为；
（2）由题意可知，
∵，
∴，
当为等腰三角形时，则有，
∴，
解得，
∴出发秒后能形成等腰三角形；
（3）在中，由勾股定理可求得，
当点Q在AC上时，，
∴，
∵为等腰三角形，
∴有和三种情况，
①当时，
如图1，过B作，
则，
在中，求得，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得或（舍去）；
②当时，则，
解得；
③当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得；
综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，为等腰三角形．
例2
如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的；
（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)秒
(2)秒或秒
【分析】（1）要使四边形的面积是矩形面积的，此时点P应在上，才是四边形．根据路程=速度时间，分别用t表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；
（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况讨论．
【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是矩形面积的
，，
，
解得：
∴两动点运动秒，使四边形的面积是矩形面积的．
（2）设两动点经过t秒运动后，使点P与点Q之间的距离为，
①当时，
当点在点上方时，则，即，
过点作于点，
则，，，
∴，
在Rt中，
∵，，，
∴，
∴，
解得（舍），．
当点在点下方时，则，即，
过点作于点，
则，，，
∴，
在Rt中，
∵，，，
∴，
∴，
解得，（舍）．
②当时，则
∵，，
∴，
∴，
在Rt中，
∵，，，
∴
有，
得方程：，
，
此方程无实根．
综上所述，当点P运动s或s时，点P与点Q之间的距离为．
变1
如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．

（1）用含t的式子表示线段的长：__________；__________．
（2）当t为何值时，P、Q两点间的距离为？
（3）当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)、出发0.6和5.4秒时，，间的距离是
(3)、出发3秒时四边形为矩形
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）可通过构建直角三角形来求解．过作于，如果设出发秒后，．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值．
（3）利用矩形的性质得出当时，四边形为矩形求出即可
【详解】（1）解：由题意得：，
∵，
∴；
故答案为，；
（2）解：设出发秒后、两点间的距离是．
则，，作于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
解得：或，
答：、出发0.6和5.4秒时，，间的距离是；
（3）解：四边形的形状有可能为矩形；理由如下：
当四边形为矩形，则，
即，
解得：．
答：当、出发3秒时四边形为矩形．
变2
如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：

（1）当x为何值时，为等腰三角形；
（2）当x为何值时，的面积为；
（3）当x为何值时，为等腰三角形．
【答案】(1)当时，是等腰三角形
(2)x为1或5时，的面积为
(3)x为或时，是等腰三角形
【分析】（1）由题意得，得，当为等腰三角形时，，得出方程，解方程即可；
（2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可；
（3）根据题意，分两种情况：①当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
根据题意得：，
∴，
当为等腰三角形时，，
∴，
解得：，
即当时，是等腰三角形；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
答：当x为1或5时，的面积为；
（3）解：根据题意，分两种情况：
①当时，如图1所示：
在和中，由勾股定理得：，，
∴，
解得：或（不合题意舍去），
∴；
②当时，如图2所示：
在和中，，，
∴，
解得：或（不合题意舍去），
∴．
综上所述，当x为或时，是等腰三角形．
课后强化
1.如图，中，∠B=90°，，，点P从A点开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动．如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，的面积等于8cm2？

【答案】经过2或4秒钟，的面积等于
【分析】设经过秒钟，的面积等于，则，，，根据，计算求解满足要求的值即可．
【详解】解：设经过秒钟，的面积等于，
∴，，，
∴，
整理得，，
∴，
令，，
解得，，
∴经过2或4秒钟，的面积等于．
2.如图，在中，∠B=90°，，，点从点出发沿边向以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：
（1）经过多少时间，的面积是，此时，长为多少．
（2）)探究：是否存在某一时刻，使，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)1秒，
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）设运动时间为秒，根据题意表示出、的长，再根据三角形的面积公式列方程即可，再根据勾股定理求得此时的长度；
（2）由得，根据三角形的面积公式列出方程，判断该方程的根的情况即可得出结论．
【详解】（1）解：设运动时间为秒，，则，
由题意得：，，
，
，即
解得：，（不符合题意，舍去），
，
当时，，，
，
经过1秒，的面积是，此时，的长为；
（2）解：不存在，理由如下：
，
，
，
，
，
没有实数根，
故不存在某一时刻，使．
3.如图，在中，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点同时出发，沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，两点的距离是？

【答案】秒或秒
【分析】点的速度，点的速度，设经过秒，由此可用含的式子表示，在中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：点的速度，点的速度，，，
∴点到点的时间为，点到点的时间为，
∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
∴设经过秒后，两点的距离是，且，
根据题意，，，在中，，
∴，整理得，
解得，，
当时，，符合题意，
∴秒或秒，两点的距离是．
4.已知：如图所示，在中，∠B=90°，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．
【答案】(1)1秒
(2)3秒
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）设P，Q分别从A，B同时出发，x秒后，，，，则，令，列出方程即可求出符合题意得解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）的面积能否等于，只需将，化简该方程后，判断该方程的判别式与0的关系，大于等于0则可以，否则不可以．
【详解】（1）设经过x秒以后，面积为，
此时，，，
由得，
整理得：，
解得：或舍，
答：1秒后的面积等于 ；
（2）设经过t秒后，的长度等于
由，
即，
解得：，(舍)，
∴3秒后，的长度为；
（3）假设经过t秒后，的面积等于，
即，，
整理得：，
由于，
则原方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
5.如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？

【解题思路】当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，则PM＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，利用勾股定理结合PQ＝10cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答过程】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）依题意，得：12×（16﹣3t+2t）×6＝33，
解得：t＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，
∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：t1=85，t2=245（不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发开始到85秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
知 识
考 点
动点问题
1.与面积有关的动点问题
2.与长度有关的动点问题