2026年中考数学一轮复习讲义18：三角形的证明，平行四边形的证明

这是一份2026年中考数学一轮复习讲义18：三角形的证明，平行四边形的证明，共8页。学案主要包含了知识清单，针对练习，综合练习等内容，欢迎下载使用。
【知识清单】
1.定义、命题、定理
（1）命题：判断一件事情的句子，叫做命题.一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.
（2）逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
（3）真假命题：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
（4）定理：演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理.
（5）反例：要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.
（6）反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.
2.等腰三角形
（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
[特殊]顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
[注意]等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
（2）性质：
①等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴，当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴，当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴.
②等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
[注意]“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线.
（3）判定：
①定义法：两边相等的三角形是等腰三角形；
②定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
[总结]证明两个角相等的方法：
①如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明.
②如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决.
[易错易混]
①底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）.
②等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
③等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
3.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形.
（2）性质：
①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；
②等边三角形的三条边相等；
③三个内角都相等，并且每个内角都是60°.
（3）等边三角形的判定：
①定义法：三边相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形.
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
[补充]
①等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
②等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
③在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
④等边三角形面积的求解方法：S正三角形=
4.多边形
（1）概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
（2）多边形的相关概念：
①多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
②多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.
③多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.
④多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角.
⑤多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
[补充]
①多边形的边数、顶点数及角的个数相等；
②把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线；
③多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有 条对角线.
（3）正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
【补充】①正n边形有n条对称轴．
②对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心.
（4）多边形内角和定理：n边形的内角和为 .
（5）多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系.
易错易混
多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误：
①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有n(n−3)2 条对角线.
③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2.
④n边形的外角和是360°.
⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°.
⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形．
5.平行四边形
（1）平行四边形
①定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
②符号表示：平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
（2）平行四边形的性质定理
（3）平行线间的距离
定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离
性质：①两条平行线间的距离处处相等.
②两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
（4）平行四边形的判定定理
[解题技巧]
一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：
①已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等；
②已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行；
③已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分；
④已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等.
（5）平行四边形边的对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
【针对练习】
1.针对知识点：定义、命题、定理
1-1下列命题中，正确的是 （ ）
A. 两点之间，线段最短 B. 菱形的对角线相等 C. 正五边形的外角和为720 D. 直角三角形是轴对称图形
1-2用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，第一步应先假设（ ）
A. 一个三角形中有两个角是直角
B. 一个三角形中有两个钝角
C. 一个三角形中有两个角是锐角
D. 一个三角形中有一个角是锐角
1-3命题“在同一平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线平行”的逆命题为 ．
2.针对知识点：多边形
2-1五边形从某一个顶点出发可以引 条对角线．
2-2正十二边形的每一个外角等于 度．
2-3一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是 边形．
2-4如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是（ ）
A．5B．6C．8D．10
3.针对知识点：等腰三角形
3-1如图，在四边形ABCD中，∠CAD=90°，∠B=30°，∠D=60°且AC=BC．
求证：AB∥CD． (2)若AD=1，求四边形ABCD的面积．
3-2如图，在△ABC中，O是AB边的中点，D是CO上一点，AE ∥ BD交CO的延长线于点E．
求证：AE=BD； (2)若∠ACB=90°，∠BDO=∠CAO，AC=6，求BD的长．
3-3如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF=∠C．
求证：∠BDF=∠A； (2)若∠A=45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状．
3-4如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．
(1)求证：△GEC是等腰三角形； (2)连接AD，则AD与l的位置关系是________．
4.针对知识点：等边三角形
4-1已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．
求证：△DBE≌△CBE； (2)求∠BDE的度数．
4-2如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=12BC，点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于点F． (1)求证：EF⊥AB； (2)连接BD，求证：BD=DE．
4-3如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足．求证： (1)DE=DF； (2)△DEF是等边三角形．
5.针对知识点：平行四边形
5-1如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：AE=BC．
5-2如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．
5-3如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：(1)△AEH≌△CFG；(2)四边形EGFH为平行四边形．
5-4如图，在△ABC中，D是AB中点．
(1)求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接BE，CF．补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形．
【综合练习】
小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上 填上一个适当的条件．
性质
符号语言
图示
边
平行四边形两组对边平行且相等
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC
角
平行四边形对角相等
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
对角线
平行四边形的对角线互相平分
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC=AC,BO=DO=BD
判定
符号语言
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形
边
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是
平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形