初中数学苏科版（2024）九年级上册用一元二次方程解决问题同步达标检测题

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册用一元二次方程解决问题同步达标检测题，共33页。试卷主要包含了2 ， x2 = 0等内容，欢迎下载使用。
本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分 72 分，拓展培优满分 48 分，合计 120 分；完成时间40——60 分钟．
第一卷【夯实基础】
一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只 有一个正确答案．
（24-25 九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）
1 ．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 4，且个位数字与十位数字的平方和比这 个两位数小 4，则这个两位数是( )
A ．26 B ．84 C ．48 D ．62
（2025·云南昆明·二模）
2 ．昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸引众多游 客纷至沓来．2025 年 1 月，滇池景区接待游客约 80 万人，到了 3 月，景区接待游客人数增 长至约 125 万人次．设 1~3 月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为x ，则下列方程正确 的是( )
A ．80(1 + 2x) = 125 B ．125(1 + 2x) = 80
C ．80(1+ x)2 = 125 D ．80(1+ x) + 80(1+ x)2 = 125 （2025·河南周口·一模）
3 ．某商店将进货价为 8 元/件的商品按 10 元/件售出，每天可售 200 件．通过调查发现，该 商品若每件涨 0.5 元，其销量就减少 10 件．售价为（ ）元时，每天的利润可得到 700 元．
A ．13 B ．15 C ．13 或 15 D ．10
（2025·云南昆明·模拟预测）
4 ．傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需 稿样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等， 展现了 傣族人民的生活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长60cm ，宽40cm 的傣族 剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是2816cm2 ，设金 色纸边的宽度为xcm （风景画四周的金色（单位：cm ）纸边宽度相同），则下列方程正确的 是( )
A ．(60 + x)(40 + 2x) = 2816 B ．(60 + 2x)(40 + 2x) = 2816
C ．(60 + 2x)(40 + x) = 2816 D ．(60 + x)(40 + x) = 2816 （18-19 八年级下·全国·单元测试）
5 ．如图，东西方向上有 A ，C 两地相距 10 千米，甲以 16 千米/时的速度从 A 地出发向正东 方向前进，乙以 12 千米/时的速度从 C 地出发向正南方向前进，那么最快经过( )小时， 甲、乙两人相距 6 千米？
A ． B ． C ．1.5 D ．
（2025·河南驻马店·二模）
6 ．初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名 成员之间互相赠送一张卡片（即A 送给B 一张，B 也送给A 一张）．已知全组共赠送了 306 张卡片，则该小组一共有多少名成员？( )
A ．16 B ．17 C ．18 D ．19
（24-25 八年级下·浙江湖州·期中）
7．龙山中学第二届“龍BA”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班 级平均分成 4 个小组，每组 x 支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队 之间都只比赛一场），计划安排一共 60 场比赛，则下列方程中符合题意的是( )
A ．x (x -1) = 60 B ．x (x +1) = 60
C ．2x (x -1) = 60 D ． （24-25 九年级上·湖南衡阳·期末）
8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1056 张照 片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为( )
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
（24-25 八年级下·上海·期中）
9 ．分式方程 的解为 ． （24-25 八年级下·浙江嘉兴·期中）
10．某款羽绒服原售价为200 元，由于换季，连续两次降价处理，现按98 元的售价销售．已 知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ．
（24-25 九年级下·黑龙江大庆·期中）
11．将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图 案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为 60 个，那么它应该是第 个图．
（24-25 八年级下·安徽合肥·期中）
12 ．一花店用 500 元购进了一批产品，按40% 的利润定价，无人购买，决定打折出售，但 仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利 67 元，若两次打折相同、 则每次打了 折
（24-25 八年级上·上海·阶段练习）
13 ．如图所示， △ABC 中，ÐB = 90° , AB = 6 厘米，BC = 8 厘米，占P 从A 点开始沿AB 边 向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移
动．如果 P、Q 分别从 A 、B 同时出发，经过 秒钟 △PBQ 的面积等于 5 平方厘米．
（24-25 八年级下·山西吕梁·阶段练习）
14 ．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，大致意思为：如图，有一架秋千，当它静止 时，踏板离地的距离AB 为 1 尺，将它往前水平推送 10 尺，即A¢C = 10 尺，此时秋千踏板离 地的距离A¢D 与身高 5 尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索OA 长为x 尺，则可列方程为 ．
三、解答题（4 题共计 30 分）
（24-25 八年级下·上海·期末）
15 ．解方程 （24-25 八年级下·浙江杭州·期中）
16 ．某水果店销售一种水果的成本价是 5 元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格 定在 7 元/千克时，每天可以卖出 160 千克．在此基础上，这种水果的单价每提高 1 元/千克， 该水果店每天就会少卖出 20 千克．
(1)设提价 x 元，则该水果每千克利润是_______元，每天可以卖出水果_______千克．（用含 x 的代数式表示）
(2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是 420 元，为了让利于顾客，则单价应定为 多少？
（2021 九年级·全国·专题练习）
17．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护 局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过 a 吨 时，只需交纳 10 元水费，如果超过 a 吨，除按 10 元收费外，超过部分，另按每吨 5a 元收 取水费（水费＋污水处理费）．
（1）某市区居民 2018 年 3 月份用水量为 8 吨，超过规定水量，用 a 的代数式表示该用户应 交水费多少元；
（2）下表是这户居民 4 月份和 5 月份的用水量和缴费情况；
根据上表数据，求规定用水量 a 的值．
（24-25 八年级下·山东泰安·期中）
18．学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满 足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形 ABCD ，面积为 360 平方米，墙AB 的长为 15 米．
(1)据学校管理人员介绍，该基地 2023 年的面积只有 250 平方米，连续两年扩建，并且两年 的增长率相同，请求出这个增长率；
(2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为 33 米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩 形空地用来养殖小动物，总面积为 72 平方米，求矩形空地的宽EF 为多少米？
第二卷【拓展培优】
三、选择题（每小题 3 分，共 12 分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只 有一个正确答案．
（2025·重庆·中考真题）
19 ．某景区 2022 年接待游客 25 万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区 2024 年接待游 客达到 36 万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为( )
A ．10% B ．20% C ．22% D ．44%
（23-24 九年级上·全国·课后作业）
20．一件工艺品进价为 100 元，标价为 135 元售出，每天可售出 100 件，根据销售统计，一
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
7
70
5
5
40
件工艺品每降低 1 元出售，则每天可多售出 4 件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润 为 3596 元，每件工艺品需降价( )
A ．4 元 B ．6 元 C ．4 元或 6 元 D ．5 元
（24-25 八年级下·山东烟台·期中）
21．《增删算法统宗》中记载： “今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭 四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？” . 其大意是今有 一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小 4 尺进不了；将竿竖着进门，竿比门 长 2 尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图所示， 所求竿长为( )
A ．10 尺 B ．12 尺
C ．2 尺或 10 尺 D ．12 尺或 10 尺 （22-23 八年级下·浙江温州·期中）
22 ．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程x (x + 6) = 72 为例加 以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x + 6， 宽为x 的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x + 6 + x ，面积是四个矩形的 面积与中间小正方形的面积之和，即4× 72 + 62 ，据此易得 小明用此方法解 关于x 的方程x (3x - n) = 24 ，其中3x - n > x 构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4 ， 则n 的值为( )
A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8
四、填空题（每小题 3 分，共 12 分）
（24-25 九年级上·湖南怀化·期末）
23 ．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2 倍，十位上的数字的平方与个位上 的数字的9 倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ．
（24-25 九年级上·陕西西安·阶段练习）
24 ．德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有 1 人感 染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有 144 人感染了德尔塔病毒， 在每轮传染中，平均一个人传染的人数为 ．
（24-25 九年级上·全国·期中）
25 ．如图，在矩形ABCD 中，AB = 16cm，BC = 6cm ，点 P 从点A 出发沿AB 以3cm / s 的速 度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；同时，点 Q 从点 C 出发沿边CD 以2cm / s 的速度向点 D 移动．设运动时间为 t，当PQ = 10cm 时，时间t = ．
（2024·辽宁沈阳·模拟预测）
26 ．某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出200 个，但商店为了适当增加销量，决定降 价销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降 低 x 元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出， 如果这批旅游纪念品共获利 1250 元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元．
六、解答题（12×2=24 分）
（24-25 九年级上·河北石家庄·阶段练习）
27．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021 年年底已经种植“阳光玫瑰”300 亩，到 2023 年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到 432 亩．
(1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率．
(2)某水果市场 9 月底以 25 元/kg 的价格从基地批发 500 千克“阳光玫瑰”放在冷库内，冷库 存放一天需费用 100 元（储藏时间不超过 12 天），此时“阳光玫瑰”市场价为 30 元/kg 每千 克，因国庆黄金周的到来，此后每千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨 1.5 元，但是，平均 每天还有 10 千克“阳光玫瑰”变质丢弃．若市场经理想获得 4500 元的利润，需将“阳光玫瑰”
储藏多少天后一次性售出．
（24-25 八年级下·湖北武汉·期中）
28．方程思想是重要的数学思想．在解决有些问题中，如果方程思想运用得当，有时会收到 很好的效果，请看下列问题：
化简 设
两边平方得 又
所以2x = x2 ，移项得 x2 - 2x = 0 ，
所以x2 - 2x +1 = 1 ，(x -1)2 = 1 ，x -1= ±1 ，x = __________． 显然x > 0 ，
所以
(1)完成上面填空；
化简
1
1 + =
2 + 1
.
(3)根据以上方法化简： 1 __________
2 + 1
2 + 2 + …
1 ．B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设个数上的数字是 x，则十位上的数字是(x + 4) ， 根据题意列一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设个数上的数字是 x，则十位上的数字是(x + 4) ， 由题意得，x2 + (x + 4)2 = 10 (x + 4) + x - 4 ，
整理得，2x2 - 3x - 20 = 0 ，
解得
:个数上的数字是 4，十位上的数字是 4 + 4 = 8 ，
:这个两位数是 84， 故选 B．
2 ．C
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 假设出未知数，找出等量关系，列出方程即可．
【详解】解：根据题意得， 80(1+ x)2 = 125
故选：C．
3 ．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设涨价 t 元，根据每天的利润=单件利润×销售量列出方程求解即可；
【详解】解：设涨价 t 元，
根据题意，得：(10 + t - 8) 200 -10 × (t ÷ 0.5) = 700 ，
∴ (2 + t)(10 - t) = 35 ， 即t2 - 8t +15 = 0 ，
解得：t1 = 3 ，t2 = 5 ，
∴10 + 3 = 13 （元）或10 + 5 = 15 （元）,
即售价为 13 或 15 元时，每天的利润可得到 700 元． 故选：C．
4 ．B
【分析】此题是一元二次方程的应用，解此类题的关键是看准题型列方程，矩形的面积= 矩 形的长× 矩形的宽．
根据题意可知：矩形挂图的长为(60+ 2x)cm ，宽为(40+ 2x)cm ；则运用面积公式列方程即 可．
【详解】解：挂图长为(60+ 2x)cm ，宽为(40+ 2x)cm ，
所以根据矩形的面积公式可得：(60 + 2x)(40+ 2x) = 2816 ．
故选：B．
5 ．A
【分析】根据题意表示出 BC ，DC 的长，进而利用勾股定理求出答案
【详解】解：设最快经过 x 小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得：
BC＝（10 -16x）km ，DC ＝12xkm， 因为 BC2+DC2 ＝BD2，
则（10 -16x）2+（12x）2 ＝62， 解得：x1 ＝x2 ＝0.4．
答：最快经过 0.4 小时，甲、乙两人相距 6km．
故选 A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题 的关键．
6 ．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用．设该小组有x 人，每两个同学都相互赠送一张卡片， 即一个人送出(x -1) 张，依题意列方程，计算即可．
【详解】解：设该兴趣小组的人数为x 人，则每个同学需送出(x -1) 张卡片， 依题意，得：x (x -1) = 306 ．
解得x =18 或x = -17 （舍去）， 即该小组一共有 18 名成员，
故选：C．
7 ．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得
到总场数与球队之间的关系．
赛制为单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），每个小组 x 个球队比赛总场数，由此 可得出方程．
【详解】解：设每个小组有 x 支球队，每个队都要赛(x -1) 场，但两队之间只有一场比赛， 由题意，得 = 60 ，
故选 C．
8 ．C
【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个 人送出多少张是解题关键．如果全班有 x 名同学，那么每名同学要送出(x -1) 张，共有 x 名 同学，那么总共送的张数应该是x (x -1) 张，即可列出方程．
【详解】:全班有 x 名同学，
:每名同学要送出(x -1) 张，
:总共送的张数应该是x (x -1) 张 即x (x -1) = 1056
故选：C
9 ．x = -1
【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
解 ，
去分母，方程的两边同时乘以x - 2 得：x2 - 4 = x - 2
移项合并同类项得，x2 - x - 2 = 0 ， : (x +1)(x - 2) = 0
: x +1 = 0 或x - 2 = 0
解得x1 = -1 ，x2 = 2
检验：将x1 = -1 代入x - 2 ≠ 0 ；将 x2 = 2 代入x - 2 = 0 ，应舍去；
: x = -1 是原分式方程的解．
故答案为：x = -1 ．
10 ．30%
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．设每次降价的百分率为x ，利用经过两次降价后的售价=原售价×(1 - 每次降价的百分 率)2 ，可列出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设每次降价的百分率为 x ，
根据题意得：200(1 - x)2 = 98 ，
解得：x1 = 0.3 = 30%，x2 = 1.7 (不符合题意，舍去)， ∴每次降价的百分率为30% ．
故答案为：30% ．
11 ．7
【分析】本题考查了图形规律的探究和一元二次方程的解法，第 1 个图形中小圆的个数为 4 +1 × 2 = 6 ；第 2 个图形中小圆的个数为4 + 2× 3 = 10 ；第 3 个图形中小圆的个数为
4 + 3 × 4 = 16 ； …；则知第 n 个图形中小圆的个数为n (n +1) + 4 ；假设存在第 x 个图的小圆 个数为 60，列方程为 x2 + x + 4 = 60，再解方程即可．
【详解】解：由题意可知第 1 个图形有小圆4 +1× 2 = 6 个； 第 2 个图形有小圆4 + 2× 3 = 10 个；
第 3 个图形有小圆4 + 3× 4 = 16 个；
第 4 个图形有小圆4 + 4× 5 = 24 个；
∴第 n 个图形有小圆4 + n × (n +1) = n2 + n + 4 个，
设第 x 个图中小圆的个数恰好为 60 个，根据题意得 x2 + x + 4 = 60
解得x1 = 7，x2 = -8 （不符题意，舍去）
所以，第 7 个图中小圆的个数恰好为 60 个．
故答案为：7．
12 ．9
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关 键．设每次打了x 折，根据题意列出方程，解出x 的值即可解答．
【详解】解：设每次打了x 折，
由题意得 解得：x1 = 9 ，x2 = -9 （舍去），
:每次打了 9 折． 故答案为：9．
13 ．1
【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：动态几何问题，根据运动速度以及运动方向 得AP = tcm ，BP = (6 - t)cm ，BQ = 2t(cm) ，根据面积列式
S△PBQ = PB × BQ = 6 - t)×2t = -t2 + 6t ，代入数值计算，即可作答．
【详解】解：经过t 秒钟 △PBQ 的面积等于 5 平方厘米， 由题意得：AP = tcm ，BP = (6 - t)cm ，BQ = 2t(cm) ， 则S△PBQ = PB × BQ = 6 - t)× 2t = -t2 + 6t ，
∵ △PBQ 的面积等于 5 平方厘米
: -t 2 + 6t = 5 解得t1 = 1, t2 = 5
∵ 2 × 5 = 10 > 8 : t = 5 舍去 : t = 1
故答案为：1
14 ．102 + (x +1- 5)2 = x2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程得102 + (x +1- 5)2 = x2 ，即可得到答案．
【详解】解：根据题意列方程得102 + (x +1- 5)2 = x2 ， 故答案为：102 + (x +1- 5)2 = x2 ．
【分析】本题考查了解分式方程、 一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．方
程两边同乘以(x -1)2 可得一个关于x 的一元二次方程，利用因式分解法解方程可得x 的值， 然后进行检验即可得．
解
方程两边同乘以(x -1)2 ，得 x2 - 3x (x -1) - 4(x -1)2 = 0 ，
去括号，得x2 - 3x2 + 3x - 4(x2 - 2x +1) = 0 ，即 x2 - 3x2 + 3x - 4x2 + 8x - 4 = 0 ， 合并同类项，得-6x2 +11x - 4 = 0 ，即 6x2 -11x + 4 = 0 ，
因式分解，得(2x -1)(3x - 4) = 0 ，
所以2x -1 = 0 或3x - 4 = 0 ， 解得 或 ，
经检验， 和 都是分式方程的解，
所以方程的解为 或 ．
16 ．(1) (2 + x) ；(160 - 20x)
(2)单价定为 8 元/千克
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，
（1），根据单件利润等于原来利润加上提价得出代数式，再根据每天卖出的质量减去少卖出 的质量得出代数式即可；
（2），结合（1），根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解，根据题意舍去不 符合题意的解，此题可解．
【详解】（1）解：该水果每千克的利润是7 - 5 + x =(2 + x) （元）；每天可以卖出水果(160 - 20x) （千克）.
故答案为：(2 + x) ；(160 - 20x)；
（2）解：根据题意，得：(2 + x)(160 - 20x) = 420 ．
解得：x1 = 1 ，x2 = 5 ，
Q 让利于顾客，
:x = 1，
故单价为 8 元．
答：单价定为 8 元/千克．
17 ．（1）用户应交水费 10+40a -5a2 元；（2）a 的值为 3 ． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可；
（2）根据题意分别列出 5a（7 -a）+10 ＝70 ，5a（5 -a）+10 ＝40，取满足两个方程的 a 的 值即为本题答案．
【详解】解：（1）3 月份应交水费 10+5a（8 -a）＝（10+40a -5a2）元；
（2）由题意得：5a（7 -a）+10 ＝70，
解得：a ＝3 或 a ＝4 5a（5 -a）+10 ＝40 解得：a ＝3 或 a ＝2，
综上，规定用水量为 3 吨．
则规定用水量 a 的值为 3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准．
18 ．(1) 20%
(2)场地的宽EF 为 8 米
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设这个增长率为 x，由题意可得方程 250(1+ x )2 = 360 ，然后进行求解即可；
（2）由题意易得 AD = 24 ，设矩形空地的宽 EF 为y 米，则FG 的长为(33 - 3y) 米，然后可
得方程y2 +11y + 24 = 0 ，进而求解即可
【详解】（1）解：设这个增长率为 x ，由题意得：
250 (1+ x )2 = 360 ，
解得：x1 = -2.2 （不合题意舍去）， x2 = 0.2 = 20% ， 答：这个增长率为20%；
（2）解：:矩形ABCD ，面积为 360 平方米，墙AB 的长为 15 米， : AD = 360 ÷ 15 = 24 ，
设矩形空地的宽EF 为y 米，则FG 的长为(33 - 3y) 米，
由题意得：y (33 - 3y) = 72 ，
整理得：y2 +11y + 24 = 0 ，
解得：y1 =3，y2 = 8 ，
当y = 3 时，FG 的长为：33 - 3 × 3 = 24 > 15 ，不合题意，舍去；
当y = 8 时，BC 的长为：33 - 3 × 8 = 9 < 15 ，符合题意．
:EF = 8 米．
答：场地的宽EF 为 8 米．
19 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为 x,利 用该景区2024 年接待游客人次数= 该景区2022 年接待游客人次数×(1+ 该景区这两年接待游 客的年平均增长率)2 ，可列出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结 论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设年平均增长率为 x，
可得方程25(1+ x)2 = 36 ，
解得x = 0.2 或x = -2.2 （舍去负值），
所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为20% ， 故选：B
20 ．B
【分析】设每件工艺品需降价x 元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每件工艺品需降价x 元，
根据题意得：(135 -100 - x)(100 + 4x) = 3596 ，
整理得：x2 -10x + 24 = 0 ，
解得：x1 = 4 ，x2 = 6 ，
Q要使顾客尽量得到优惠，
:x = 6 ，
:要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为 3596 元，每件工艺品需降价 6 元， 故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方 程是解题的关键．
21 ．A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 的关键．设竿长AC 为x 尺，则BC 为(x - 4) 尺，AB 为(x - 2) 尺，利用勾股定理，可得出关 于x 的一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设竿长 AC 为x 尺，则BC 为(x - 4) 尺，AB 为(x - 2) 尺， 根据题意得：(x - 4)2 + (x - 2)2 = x2 ．
解得：x = 2 （舍去）或 x = 10
故选：A．
22 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是 解题关键．参照已知方法，将四个长为3x - n ，宽为x 的长方形纸片拼成一个大正方形，求 出大正方形的边长为 10，得到n = 4x -10 ，再根据小正方形的边长为10 - 2x ，小正方形的边 长的面积是 4，求出 x = 4 ，即可得到 n 的值．
【详解】解：由题意可知，将四个长为3x - n ，宽为x 的长方形纸片拼成一个大正方形，则 大正方形的边长是3x - n + x ，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，
∵ x (3x - n) = 24 ，小正方形的面积为 4 ，
:大正方形的面积为4 × 24 + 4 = 100 ， :大正方形的边长为10 ，
: 3x - n + x = 4x - n = 10 ，
: n = 4x -10 ，
∵小正方形的边长为3x - -nx ，即10 - 2x ，
∵ 3x - n > x ，
即10 - 2x > 0 ，
故(10 - 2x )2 = 4 ， :10 - 2x = ±2 ，
∵10 - 2x > 0 ，
: x = 4 ，
: n = 4 × 4 -10 = 6 ， 故选：C．
23 ．63
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为x ，则十位上 的数字为2x ，用含x 的代数式把这个两位数表示出来为21x ，根据十位上的数字的平方与个 位上的数字的9 倍之和正好是这个两位数，可列方程(2x )2 + 9x = 21x ，解方程求出x 的值， 再把这个两位数表示出来即可．
【详解】解：设这个两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为 2x ， :这个两位数为20x + x = 21x ，
又Q十位上的数字的平方与个位上的数字的 9 倍之和正好是这个两位数， :(2x )2 + 9x = 21x ，
解得x =3 或x = 0 （舍去）， :21x = 21 × 3 = 63．
故答案为： 63 ．
24 ．11
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，根据题意，得1+ x + x (1+ x) = 144 ，解方 程即可．
本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x 的代数式表示出第一轮感染后的人数， 再在第一轮感染人数的基础上表示出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是 解决本题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，
根据题意，得1+ x + x (1+ x) = 144 ， (1+ x)2 = 144 ，
解方程，得x1 = 11，x2 = -13 （舍去）．
故答案为：11．
【分析】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列 方程是解题关键．
作PH丄 CD ，垂足为 H ，设运动时间为 t 秒，用t 表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：当运动时间为 t 时，AP = 3tcm，CQ = 2tcm ，
过点 P 作PH丄 CD 于点 H，
:四边形APHD 是矩形，
:四边形ABCD 是矩形，
: AB P CD，CD = AB = 16cm，上A = 上D = 90° ,
: PH = BC = 6cm ，
:四边形APHD 是矩形， : DH = AP = 3tcm ，
:HQ = CD - AP - CQ = 16 - 5t(cm)． : PH2 + HQ2 = PQ2 ，
: (16 - 5t)2 + 62 = 102 ，
解得： ， ．
故答案为： s 或 s ．
26 ．9
【分析】本题考查一元二次方程的应用，由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的 总利润，根据“这批旅游纪念品共获利 1250 元”等式求出即可．理解题意，正确列出方程是 解答的关键．
【详解】解：设降低 x 元，由题意得出:
200 × (10 - 6) + (10 - x - 6)(200 + 50x) + (4 - 6)[(600 - 200) - (200 + 50x)] = 1250 ， 整理得：x2 - 2x +1 = 0 ，
解得：x1 = =x2 1．
:10 -1 = 9 ．
即：第二周的销售价格为 9 元． 故答案为：9．
27 ．(1) 20%
(2)10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．
（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 x，根据“2021年年底已经种植“阳光 玫瑰”300 亩，到 2023 年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到 432 亩”列出关于x 的一元二次方程， 解之即可得出结论；
（2）设将“阳光玫瑰”储藏y 天后一次性售出，根据“销售额- 成本= 利润”，可列出关于y 的 一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 x， 由题意得，300 (1+ x )2 = 432 ，
解得x1 = 0.2 = 20％，x2 = -2.2 （舍），
答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20% .
（2）解：设将“阳光玫瑰”储藏y 天后一次性售出， (30 +1.5y)(500 -10y) - 25× 500 -100y = 4500 ，
解得x1 = 10 ， （舍），
答：需将“阳光玫瑰”储藏 10 天后一次性售出．
28 ．(1)2 或 0；2
(2)2
【分析】本题主要查了解一元二次方程，分式方程，利用类比思想解答是解题的关键．
（1）根据题意直接计算即可；
（2）仿照（1）解题方法解答，即可；
设 x ，仿照（1）解题方法解答，即可．
两边平方得2222 = x2
又
所以2x = x2 ，移项得 x2 - 2x = 0 ， 所以x2 - 2x +1 = 1，即 (x -1)2 = 1， : x -1= ±1，
: x = 2 或 0． : x > 0 ，
故答案为：2 或 0；2
两边平方得2 + = x2
所以2 + x = x2 ，移项得 x2 - x - 2 = 0 ，
所以x2 - x - 2 = 0 ，
即(x - 2)(x +1) = 0 ， : x - 2 = 0 或x +1 = 0 ， : x = 2 或-1．
: x > 0 ，
两边同时减
解得： ，
检验：当 时，x -1≠ 0 ，
是方程 的根， : x > 0 ，
故答案为： /2