湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三下4月调研数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 设集合，，则=（ ）
2. 设复数满足，则
3. 已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（ ）
4. 设等差数列的前项和为，若，则
5. 已知一个样本有27个数据，该组数据的第75百分位数是164，则下列叙述正确的是（ ）
6. 若，均为非负整数，在做的加法时各位均不进位（例如，），则称为“简单的”有序对，而称为有序数对的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是
7. 设定义在上的函数满足，若，则
8. 已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数，则以下说法中正确的是（ ）
10. 已知且，则函数的图象可能是（ ）
11. 设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知椭圆的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，若，则C的离心率的取值范围为______________.
13. 已知，是方程的两根，则_________.
14. 一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD，BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，AC，若点P满足且，则的最小值为 ___________ .
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 设，，曲线在点处的切线垂直于轴.
(1)求的值；
(2)求函数的极值．
16. 已知梯形如图（1）所示，其中，，，，过点A作BC的平行线交线段CD于M，点N为线段BC的中点.现将沿AM进行翻折，使点D到达点P的位置，且平面平面，得到的图形如图（2）所示.
(1)求证：；
(2)若，若点H为线段PC的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．

(1)若，求的值；
(2)过点B作BC的垂线l，D为l上一点．
①若，，求线段AD的长；
②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围．
18. 2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为.
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；
(2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵；
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
参考公式：时，，.
19. 已知双曲线的右焦点为，离心率为．
(1)求的标准方程；
(2)设的右顶点为，过点的直线与的右支交于两点，记直线的斜率分别为，求证：为定值；
(3)已知点是上任意一点，直线是在点处的切线，点是上异于点的动点，且过点与（为坐标原点）平行的直线交于两点，定义为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比．
湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三4月调研数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、空间向量与立体几何、数列、计数原理与概率统计、函数与导数、平面解析几何、三角函数与解三角形
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．36
B．72
C．144
D．70
A．把这27个数据从小到大排列后，164是第20个数据和第21个数据的平均数
B．把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有20个
C．把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有21个
D．把这27个数据从小到大排列后，164是第21个数据
A．100
B．150
C．200
D．300
A．
B．
C．
D．
A．
B．4
C．
D．6
A．的最小正周期为
B．在上单调递减
C．是的一个对称中心
D．当时，的最大值为
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
6
适中
10
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.85
求复数的模；复数的除法运算
3
0.65
用空间基底表示向量
4
0.85
等差数列前n项和的基本量计算
5
0.85
总体百分位数的估计
6
0.65
分步乘法计数原理及简单应用
7
0.65
函数的周期性的定义与求解；由函数的周期性求函数值
8
0.65
直线与抛物线交点相关问题；根据韦达定理求参数；基本不等式求和的最小值
二、多选题
9
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的最小正周期；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求sinx型三角函数的单调性
10
0.4
函数图像的识别；用导数判断或证明已知函数的单调性；函数最值与极值的关系辨析
11
0.65
集合新定义
三、填空题
12
0.85
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
13
0.65
用和、差角的余弦公式化简、求值；用和、差角的正弦公式化简、求值；三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
14
0.65
锥体体积的有关计算；空间共面向量定理的推论及应用
四、解答题
15
0.85
已知切线（斜率）求参数；求已知函数的极值
16
0.65
线面垂直证明线线垂直；面面角的向量求法
17
0.65
正弦定理解三角形；求三角形中的边长或周长的最值或范围
18
0.15
求等比数列前n项和；利用全概率公式求概率；独立事件的乘法公式
19
0.4
根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围；双曲线中的定值问题；根据离心率求双曲线的标准方程；求双曲线的切线方程
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,11
2
等式与不等式
1,8
3
复数
2
4
空间向量与立体几何
3,14,16
5
数列
4,18
6
计数原理与概率统计
5,6,18
7
函数与导数
7,10,15
8
平面解析几何
8,12,19
9
三角函数与解三角形
9,13,17