云南省保山市腾冲市第八中学2025届高三下第三次全真模拟数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. ，则（ ）
3. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（ ）
4. 若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为（ ）
5. 已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（ ）
6. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（ ）
7. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
8. 已知，，，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列两个函数是相同函数的有（ ）
10. 已知函数有两个零点，则可以取到的整数值有（ ）
11. 已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若向量满足，则在上的投影向量是______．
13. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______．
14. “雪花曲线”是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图2是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.
如图，若第1个图中三角形的边长为1，则第3个图形的周长为______；第个图形的面积为______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数与的值；
(2)求函数的极值.
16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，设，请用表示，并求的取值范围．
17. 如图，在长方体，平面与平面所成角为.
(1)若，求直线与平面所成角的余弦值（用表示）；
(2)将矩形沿旋转度角得到矩形，设平面与平面所成角为，请证明：.
18. 已知数集具有性质:对任意的，，使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由;
(2)求证：;
(3)若，求数集中所有元素的和的最小值.
19. 极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）.
(1)求极线的方程；
(2)求证：；
(3)已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
云南省保山市腾冲市第八中学2025届高三第三次全真模拟数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、空间向量与立体几何、函数与导数、三角函数与解三角形、平面解析几何、平面向量、计数原理与概率统计、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．20
B．24
C．
D．
A．
B．0
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．与
B．与
C．与
D．与
A．
B．
C．
D．
A．球在正方体外部分的体积为
B．若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则
C．若点在平面下方，则直线与平面所成角的正弦值最大为
D．若点､､在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则最小值为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
4
适中
5
较难
7
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交并补混合运算；判断两个集合的包含关系
2
0.65
复数的除法运算；共轭复数的概念及计算
3
0.85
棱台表面积的有关计算
4
0.85
函数奇偶性的应用；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；简单复合函数的导数
5
0.4
利用导数研究函数图象及性质；导数中的极值偏移问题；利用导数证明不等式；利用导数研究双变量问题
6
0.65
余弦定理解三角形；求椭圆的离心率或离心率的取值范围
7
0.65
利用导数研究不等式恒成立问题；由导数求函数的最值（含参）
8
0.4
利用导数求函数的单调区间（不含参）；比较函数值的大小关系
二、多选题
9
0.65
具体函数的定义域；判断两个函数是否相等
10
0.4
利用导数研究函数的零点
11
0.4
球的截面的性质及计算；多面体与球体内切外接问题；空间向量基本定理及其应用；线面角的向量求法
三、填空题
12
0.85
求投影向量
13
0.4
实际问题中的计数问题；实际问题中的组合计数问题
14
0.15
累加法求数列通项；由递推关系式求通项公式；求等比数列前n项和
四、解答题
15
0.85
已知切线（斜率）求参数；求已知函数的极值
16
0.65
余弦定理解三角形；求三角形中的边长或周长的最值或范围；三角恒等变换的化简问题；正弦定理边角互化的应用
17
0.4
线面角的向量求法；面面角的向量求法
18
0.4
累加法求数列通项；数列新定义
19
0.15
椭圆中的直线过定点问题；根据韦达定理求参数；斜率公式的应用；圆锥曲线新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
复数
2
3
空间向量与立体几何
3,11,17
4
函数与导数
4,5,7,8,9,10,15
5
三角函数与解三角形
6,16
6
平面解析几何
6,19
7
平面向量
12
8
计数原理与概率统计
13
9
数列
14,18