2025年云南省保山市腾冲八中高考数学一模试卷（含答案）

这是一份2025年云南省保山市腾冲八中高考数学一模试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−52)2)>0.5D. P(Y>2)0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为 ．
13.在空间直角坐标系Oxyz中，Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面把空间分成了八个部分，这八个部分称为“卦限”，通过点的横坐标、纵坐标、竖坐标，可确定点的确切位置及所处卦限.“卦限”取《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两半轴，进而到平面直角坐标系中的四个象限，最终到空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单繁复的变化过程，体现了中国古典哲学与现代数学的关系，也体现了数学名词翻译的“信达雅”.若点Ai的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合{−1,−2,4}，从Ai中任取2个点，则这2个在同一个卦限的概率为______．
14.已知函数f(x)=|x|+4|x|+1的图象与y=a有两个交点，则a的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC的中点，b=3，且2csB=sinAsinC+sinCsinA−3sinBsinA．
(1)求c；
(2)若cs∠CAD=2 23，求△ABC的面积．
16.(本小题12分)
已知A(0,3)和P(3,32)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
17.(本小题12分)
如图，在七面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，其中∠BAD=60°，△BCE，△CEF，△CDF是等边三角形，且AB⊥BE，点G为CD的中点．
(1)证明：平面ABCD⊥平面EFG；
(2)求直线AE与平面CDF所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax，g(x)=lgax，其中a>1．
(1)求函数ℎ(x)=f(x)−xlna的单调区间；
(2)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行，求x1+g(x2)的值．
19.(本小题12分)
如果数列{an}中存在四项am，an，ak，ai，使得am−an=ak−ai(m,n,k,i互不相同)，则称数列{an}为稳健数列．
(1)若数列{an}是项数为5的正项等比数列，且{an}是稳健数列，求{an}的公比q的个数；
(2)若数列{an}的项数为6，且an=n，从{an}中任意取出四项组成一个数列，求该数列为稳健数列的概率；
(3)若数列{an}为等差数列，且公差不为0，从{an}中任意取出四项组成一个数列，该数列为稳健数列的概率超过110，求数列{an}的项数的最大值．
【参考公式：i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6】
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.A
5.A
6.D
7.A
8.A
9.BC
10.ABD
11.ABC
12.32
13.49351
14.3
15.解：(1)由正弦定理得2csB=sinAsinC+sinCsinA−3sinBsinA=ac+ca−3ba=a2+c2−3bcac，
根据余弦定理得csB=a2+c2−b22ac，所以2×a2+c2−b22ac=a2+c2−3bcac，
化简得b2=3bc，即b=3c=3，解得c=1．
(2)设BD=CD=x，AD=y，
在△ABD中，cs∠ADB=BD2+AD2−AB22BD⋅AD=x2+y2−12xy，
同理可得cs∠ADC=x2+y2−92xy，
因为cs∠ADB=−cs∠ADC，
所以x2+y2−12xy=−x2+y2−92xy，整理x2+y2=5…①．
在△ACD中，CD2=AC2+AD2+2AC⋅ADcs∠CAD，
即x2=9+y2−2 ⋅ 3y ⋅ 2 23…②，
由①②消去x，整理得y2−2 2y+2=0，解得y= 2，所以x= 3，
在△ABC中，则余弦定理得cs∠BAC=9+1−122×3×1=−13，
所以sin∠BAC= 1−cs2∠BAC=2 23，可得S△ABC=12×1×3×2 23= 2．
16.解：(1)依题意，9b2=19a2+94b2=1，解得a2=12b2=9，
则离心率e= 1−b2a2= 1−912=12；
(2)由(1)可知，椭圆C的方程为x212+y29=1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，易知此时B(3,−32)，
点A到直线PB的距离为3，则S△ABP=12×3×3=92，与易知矛盾；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−32=k(x−3)，即y=k(x−3)+32，
设P(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=k(x−3)+32x212+y29=1，消去y整理可得，(4k2+3)x2−(24k2−12k)x+36k2−36k−27=0，
则x1+x2=24k2−12k4k2+3,x1x2=36k2−36k−274k2+3，
由弦长公式可得，|PB|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2⋅ (24k2−12k4k2+3)2−4×36k2−36k−274k2+3=4 3⋅ 1+k2⋅ 3k2+9k+2744k2+3，
点A到直线l的距离为d=|3k+32| 1+k2，
则12×4 3⋅ 1+k2⋅ 3k2+9k+2744k2+3×|3k+32| 1+k2=9，
解得k=12或k=32，
则直线l的方程为y=12x或y=32x−3．
17.证明见解析； 39．
18.解：(1)由已知可得函数ℎ(x)=ax−xlna，
则ℎ′(x)=axlna−lna，
令ℎ′(x)=0，解得x=0．
又a>1，所以lna>0，
所以当x∈(−∞,0)时，ℎ′(x)0，
所以函数ℎ(x)=ax−xlna的单调减区间为(−∞,0)，单调增区间为(0,+∞)．
(2)由f(x)=ax可得f′(x)=axlna，
所以曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的斜率为ax1lna，
由g(x)=lgax可得g′(x)=1xlna，
所以曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的斜率为1x2lna，
因为这两条切线平行，
故有ax1lna=1x2lna，
即x2ax1(lna)2=1，
两边取以a为底的对数，
得lgax2+x1+2lgalna=0，
所以x1+g(x2)=x1+lgax2=−2lgalna=−2lnlnalna．
19.3；
715；
21．