甘肃省靖远县第二中学2025届高三下学期高考模拟测试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知是虚数单位，，则（ ）
2. 已知集合，则（ ）
3. 已知向量，，则（ ）
4. 已知两个不同的平面，一条直线，下列命题是假命题的是（ ）
5. 已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（ ）

6. 已知，则（ ）
7. 已知椭圆与双曲线有相等的焦距，离心率分别为，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则的最小值为（ ）
8. 设函数，则的零点个数为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 某汽车公司为了宣传两款新能源汽车，邀请8名业内人士试驾，就新款汽车的驾乘感受进行评分，最高分数为10分.试驾结束后，评分如下表：
下列说法正确的是（ ）
10. 已知函数，则（ ）
11. 某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点的距离的倒数之和等于1的点的轨迹，如图所示，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知圆台，其上底面圆的直径为2，下底面圆的直径为8，母线长为5，则该圆台的体积为__________.
13. 某公司有5名员工要去参加三项工作，每项工作都至少需要一人参加，且每人的精力只够参加一项工作，一共有__________种不同的安排方案.
14. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 如图，在正方体中，为的中点.
(1)求证：.
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
16. 已知的内角的对边分别为.
(1)求；
(2)求的面积；
(3)求的值.
17. 已知抛物线为上一动点，且点与点之间的最小距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)连接并延长交抛物线于另一点，若（是原点），求点的横坐标.
18. 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且在上单调递增，求的取值范围；
(3)证明：当时，.
19. 设数列的前项和为，若存在实数，使得点位于平面直角坐标系上以原点为圆心，半径为的圆内（含边界），则称数列具有“圆性质”.
(1)设数列是首项与公比均为的等比数列，证明：数列具有“圆性质”.
(2)若各项均为非负整数的数列具有“圆性质”，证明：数列中非零的项数不超过.
(3)设随机变量等可能地取，且不同的的取值是相互独立的.对于正整数，定义数列：前项为，从第项起各项均为0.记数列具有“圆性质”的概率为，证明：对任意正整数.
甘肃省靖远县第二中学2025届高三下学期高考模拟测试数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、平面向量、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、平面解析几何、计数原理与概率统计、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．0
D．3
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A
9.9
9.5
9.6
9.4
9.7
9.8
9.9
9.7
B
9.7
9.5
9.8
9.7
9.7
9.9
9.8
9.6
A．A，B两款汽车评分数据的众数相同
B．A，B两款汽车评分数据的中位数相同
C．若将评分数据乘以10，则新数据的方差为原数据的方差的10倍
D．A款汽车评分数据去掉一个最低分和一个最高分后所得数据的极差小于原数据的极差
A．有两个极值点
B．在区间上单调递减
C．的图象上不存在关于对称的两点
D．当的极小值大于时，的取值范围为
A．
B．的最小值为2
C．当点不在坐标轴上时，点在椭圆的外部
D．当点的坐标为时，随着的增大而增大
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
5
适中
9
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
复数的相等；复数代数形式的乘法运算
2
0.85
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式；常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域
3
0.85
已知数量积求模；数量积的坐标表示
4
0.65
空间位置关系的向量证明
5
0.85
扇形面积的有关计算
6
0.85
比较指数幂的大小
7
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；椭圆定义及辨析；双曲线定义的理解
8
0.65
y=Acsx+B的图象；求函数零点或方程根的个数；二倍角的余弦公式；辅助角公式
二、多选题
9
0.65
计算几个数的众数；计算几个数的中位数；计算几个数据的极差、方差、标准差
10
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；根据极值求参数；函数极值点的辨析
11
0.4
用导数判断或证明已知函数的单调性；基本不等式求和的最小值；椭圆定义及辨析
三、填空题
12
0.94
台体体积的有关计算
13
0.85
分组分配问题
14
0.65
函数奇偶性的应用；用和、差角的正弦公式化简、求值
四、解答题
15
0.65
空间位置关系的向量证明；线面角的向量求法
16
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；已知正（余）弦求余（正）弦；三角形面积公式及其应用
17
0.65
求抛物线上一点到定点的最值；直线与抛物线交点相关问题
18
0.4
由函数在区间上的单调性求参数；利用导数证明不等式；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
19
0.15
由递推数列研究数列的有关性质；数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
等式与不等式
2,11
4
函数与导数
2,6,8,10,11,14,18
5
平面向量
3
6
空间向量与立体几何
4,12,15
7
三角函数与解三角形
5,8,14,16
8
平面解析几何
7,11,17
9
计数原理与概率统计
9,13
10
数列
19