2026届高三数学一轮复习讲义（标准版）第二章2.14函数模型的应用（Word版附答案）

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1.三种函数模型的性质
2.常见的函数模型
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.( )
(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔.( )
(3)已知a>1，在(0，+∞)上，随着x的增大，y=ax的增长速度会超过并远远大于y=xa和y=lgax的增长速度.( )
(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.( )
2.下列函数中，随着x的增长，y的增长速度最快的是( )
A.y=50B.y=1 000x
C.y=2ln xD.y=11 000ex
3.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
在下列四个函数模型(a，b∈R)中，最能反映x，y函数关系的是( )
A.y=a+bxB.y=a+bx
C.y=a+lgbxD.y=a+bx
4.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)=-5t2+15t+20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )
A.26米B.28米C.31米D.33米
(1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
(3)解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
题型一 用函数图象刻画变化过程
命题点1 函数的增长差异
例1 设f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=lg2x，当x∈(4，+∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是( )
A.f(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
B.g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
C.g(x)的增长速度最快，f(x)的增长速度最慢
D.f(x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢
命题点2 用函数图象刻画变化过程
例2 (多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是( )
A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用
B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒
C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒
思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
跟踪训练1 为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是( )
题型二 已知函数模型的实际问题
例3 (1)2024年1月5日，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如潮，充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N=N0e-kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的( )
A.51.2%B.48.8%
C.52%D.48%
(2)在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y=4[ln(m+x)-ln(2m)]+2ln 2，要使火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料质量与火箭质量的比值是 .
思维升华 已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
跟踪训练2 (2024·本溪模拟)我国量子计算机“悟空”预计到2025年可以操控的超导量子比特达到1 024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，…，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若N=a×10k(1≤a0，则1+xm=e3，
所以xm=e3-1，
即燃料质量与火箭质量的比值是e3-1.
跟踪训练2 B [根据题意，得n个超导量子比特共有2n种叠加态，
所以当有1 024个超导量子比特时共有N=21 024(种)叠加态.
两边取以10为底的对数得lg N=lg 21 024=1 024lg 2≈1 024×0.301=308.224，
所以N≈10308.224=100.224×10308.
由于1