2026届高三数学一轮复习讲义（标准版）第二章2.1函数的概念及其表示（Word版附答案）

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课标要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 .
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 .
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.( )
(2)任何一个函数都可以用图象法表示.( )
(3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点.( )
(4)函数f(x)=x-1，x≥0，x2，x1，则f(f(-2))= .
防范四个易错点
(1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化.
(2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.
(3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围.
(4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范围而出错.
题型一 函数的概念
例1 (1)(多选)下列选项中正确的是( )
A.函数f(x)=1x+1-x的定义域为[0，+∞)
B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点
C.函数y=x2-1x+1与函数y=x-1表示同一个函数
D.对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同
(2)若函数f(x)的定义域为(1，3)，则函数f(2x)的定义域为 .
思维升华 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.
(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数.
跟踪训练1 (1)函数f(x)=1x-2+ln(x-1)的定义域为( )
A.(1，+∞)B.(1，2)∪(2，+∞)
C.(-∞，1)D.(0，2)∪(2，+∞)
(2)(多选)下列命题中是假命题的是( )
A.函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线
B.f(x)=x-3+2-x是函数
C.若函数f(x)的定义域为(-1，2)，则函数f(x+1)的定义域为(0，3)
D.f(x)=x+1x和g(t)=t+1t是同一个函数
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1-sin x)=cs2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f x2+1x2=x4+1x4，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式；
(4)若对任意实数x，均有f(x)-2f(-x)=9x+2，求f(x)的解析式.
思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法.
(2)待定系数法.
(3)换元法.
(4)解方程组法.
跟踪训练2 (多选)下列命题中正确的有( )
A.若一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+3，则函数f(x)的解析式为f(x)=2x+1
B.若f(3x)=x2+4x，则函数f(x)的定义域为(0，+∞)
C.若f x-1x=x3-1x3，则函数f(x)的解析式为f(x)=x3+3x
D.若函数f(x)满足关系式f(x)+2f 1x=3x，则f(x)=2x-x
题型三 分段函数
例3 (1)(多选)已知函数f(x)=x2，-2≤x0，
则“f(x)=2”是“x=-1”成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(多选)(2024·朝阳模拟)函数D(x)=1，x∈Q，0，x∈∁RQ称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是( )
A.D(D(2))=D(D(2))
B.D(x)的值域与函数f(x)=x+x2x的值域相同
C.D(x)≠D(-x)
D.对任意实数x，都有D(x+1)=D(x)
答案精析
落实主干知识
1.唯一确定
2.(1)定义域 对应关系 值域
(2)定义域 对应关系
3.解析法 列表法
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.A 3.BCD 4.1
探究核心题型
例1 (1)ABD [对于A，由题意x+1≠0，x≥0，解得x≥0，A正确；
对于B，由函数的定义知，函数图象至多与y轴有一个交点，B正确；
对于C，函数y=x2-1x+1的定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)，函数y=x-1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数，C错误；
对于D，函数中一个x值只能对应一个y值，如果y值不同，则x的值一定不同，D正确.]
(2)12，32
解析 若函数f(x)的定义域为(1，3)，
则在f(2x)中2x∈(1，3)，
解得x∈12，32.
跟踪训练1 (1)B
(2)ABC [对于A，因为函数y=2x(x∈N)的定义域为N，所以其图象是由离散的点(整点，横坐标和纵坐标都是整数)组成的，A错误；
对于B，因为要使2-x与x-3有意义，则2-x≥0，x-3≥0，不等式组无解，所以由函数的定义可得f(x)=x-3+2-x不是函数，B错误；
对于C，由f(x)的定义域为(-1，2)可得-1