2026届高三数学一轮复习讲义（标准版）第八章8.9直线与圆锥曲线的位置关系（Word版附答案）

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1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ 0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
2.弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=1+k2|x1-x2|= ，
或|AB|=1+1k2|y1-y2|= .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点1，12的直线一定与椭圆x22+y2=1相交.( )
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.( )
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.( )
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.( )
2.若直线y=kx+2与椭圆x23+y22=1有且只有一个交点，则k的值是( )
A.63B.-63C.±63D.±33
3.已知直线l：y=x-1与抛物线y2=4x交于A，B两点，则线段AB的长是( )
A.2B.4C.8D.16
4.已知点A，B是双曲线C：x22-y23=1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为( )
A.23B.32C.49D.94
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)已知直线l的方程为mx+y+2m=1，椭圆C的方程为x29+y24=1，则直线l与椭圆C的位置关系为( )
A.相离B.相交
C.相切D.不能确定
(2)已知双曲线C：x29-y216=1，过点P(3，3)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
思维升华 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
跟踪训练1 (1)(2024·宿迁模拟)已知抛物线C：x2=y，点M(m，1)，则“m>1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)直线kx-y+1=0(k∈R)与椭圆x24+y2m=1恒有公共点，则实数m的取值范围为( )
A.(1，4]B.[1，4)
C.[1，4)∪(4，+∞)D.(4，+∞)
题型二 弦长问题
例2 (1)经过椭圆x22+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长度为( )
A.47B.827
C.2D.1627
(2)已知F是双曲线C：x2-y23=1的左焦点，过点F的直线与C交于A，B两点(点A，B在C的同一支上)，且|BF|=2|AF|，则|AB|等于( )
A.6B.8
C.132D.274
圆锥曲线弦长的万能公式(硬解定理)
设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，圆锥曲线的方程为f(x，y)＝0，把直线方程代入曲线方程，可化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)或ay2＋by＋c＝0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)若消去y，则弦长公式为|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·(x1＋x2)2-4x1x2
＝1＋k2·-ba2-4ca＝1＋k2·Δa.
(2)若消去x，则弦长公式为|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·(y1＋y2)2-4y1y2
＝1＋1k2·-ba2-4ca＝1＋1k2·Δa.
典例 已知双曲线C：2x2－y2＝2，直线l：x－y＋1＝0与双曲线C交于M，N两点，则弦长|MN|等于( )
A.423B.334
C.43D.42
思维升华 (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用距离公式求(过两点的直线的斜率存在且不等于0).
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|=x1+x2+p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.
跟踪训练2 (1)已知双曲线C：y23-x2=1的下焦点和上焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F2AB面积是△F1AB面积的4倍，则m等于( )
A.3B.-3C.103D.-103
(2)(2024·长沙模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，过C的左焦点且斜率为1的直线与C交于A，B两点.若|AB|=12，则C的焦距为 .
题型三 中点弦问题
例3 (1)已知直线l交抛物线C：x2=-18y于M，N两点，且MN的中点为(3，-2)，则直线l的斜率为( )
A.-3B.-16C.19D.-13
(2)(2024·肇庆模拟)已知直线l：x-y+3=0与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1，4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.y=±14xB.y=±2x
C.y=±12xD.y=±4x

思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量.
跟踪训练3 (1)(2024·六安模拟)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，-1)，则椭圆E的方程为( )
A.x218+y29=1B.x227+y218=1
C.x236+y227=1D.x245+y236=1
(2)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x-y-2=0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为( )
A.(1，-1)B.(2，0)
C.12，-32D.(1，1)
答案精析
落实主干知识
1.> = 0，
解得m1，
所以“m>1”是“过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.]
(2)C [由于直线y=kx+1恒过点M(0，1)，要使直线y=kx+1与椭圆x24+y2m=1恒有公共点，
则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上即可，即m>0,m≠4,12m≤1,解得m≥1且m≠4，故实数m的取值范围为[1，4)∪(4，+∞).]
例2 (1)B [在椭圆x22+y2=1中，a2=2，b2=1，所以c2=a2-b2=1，
即c=1，故左焦点为F1(-1，0)，
而tan 60°=3，
故直线l的方程为y=3(x+1)，
联立x22+y2=1，
得7x2+12x+4=0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1+x2=-127，x1x2=47，由弦长公式得|AB|=1+(3)2×-1272-4×47=827.]
(2)D [由C：x2-y23=1可得
F(-2，0)，
根据对称性，不妨设过点F的直线为x=my-2(m>0)，
联立x=my-2,x2-y23=1,
可得(3m2-1)y2-12my+9=0，
由题意可知3m2-1≠0，且Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1+y2=12m3m2-1, ①y1y2=93m2-1,②
由|BF|=2|AF|，得BF=2FA，
又BF=(-2-x2，-y2)，
FA=(x1+2，y1)，
所以-y2=2y1.③
由①③可得y1=-12m3m2-1，
y2=24m3m2-1，
代入②得-12m3m2-1×24m3m2-1=93m2-1，
解得m=3535或m=-3535(舍)，
y1=3358，
所以|AB|=1+m2·|y1-y2|=635×3|y1|=635×9358=274.]
微拓展
典例 D [联立双曲线与直线的方程，
得x2-2x-3=0，Δ=16，
又k=1，a=1，
由弦长的万能公式知，
|MN|=1+k2·Δa=42.]
跟踪训练2 (1)D [由C：y23-x2=1可知F1(0，-2)，F2(0，2)，
联立y23-x2=1,y=x+m,
消元得2x2-2mx+3-m2=0，
则Δ=4m2-8(3-m2)>0，即m2>2，
由△F2AB面积是△F1AB面积的4倍，可知F2到直线AB的距离是F1到直线AB距离的4倍，
即|2-m2=4×|2+m2，
化简可得15m2+68m+60=0，
即(3m+10)(5m+6)=0，
解得m=-103或m=-65(舍去).]
(2)7
解析 由椭圆C的离心率为e=12，可得a=2c，
则b=a2-c2=3c，
所以椭圆C的方程为x24c2+y23c2=1，
即3x2+4y2-12c2=0，
由直线AB过椭圆C的左焦点F(-c，0)且斜率为1，可得AB的方程为y=x+c，
联立方程组y=x+c,3x2+4y2-12c2=0,
整理得7x2+8cx-8c2=0，
则Δ=64c2+4×7×8c2=288c2>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=-8c7，x1x2=-8c27，
所以|AB|
=1+12·(x1+x2)2-4x1x2
=2×(64c2+4×7×8c2)7=24c7=12，
解得c=72，
所以椭圆C的焦距为2c=7.
例3 (1)D [由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x12=-18y1,x22=-18y2,
两式相减得x12-x22=-18(y1-y2)，
整理得y1-y2x1-x2=-x1+x218，
因为MN的中点为(3，-2)，
则x1+x2=2×3=6，
所以k=y1-y2x1-x2=-618=-13，
即直线l的斜率为-13.]
(2)B [方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得x12a2-y12b2=1，x22a2-y22b2=1，
两式相减可得
(x1-x2)(x1+x2)a2=(y1-y2)(y1+y2)b2，
由点P(1，4)是弦AB的中点，且直线l：x-y+3=0，
可得x1+x2=2，y1+y2=8，
y1-y2=x1-x2，
即有b2=4a2，即b=2a，
所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.
方法二 由题意知kAB=1，
kOP=4(O为坐标原点)，
则b2a2=kAB·kOP=4，
所以b2=4a2，b=2a，
故双曲线C的渐近线方程为y=±2x.]
跟踪训练3 (1)A [方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,
两式相减可得x12a2-x22a2=y22b2-y12b2，
整理可得y1-y2x1-x2=-b2(x1+x2)a2(y1+y2)，
根据题意可知直线AB的斜率为0-(-1)3-1=12，
由AB的中点坐标为(1，-1)可得x1+x2=2，y1+y2=-2，
因此y1-y2x1-x2=-b2(x1+x2)a2(y1+y2)
=-2b2-2a2=b2a2=12，可得a2=2b2，
方法二 设AB的中点为P，O为坐标原点，
kAB=0-(-1)3-1=12，kOP=-11=-1，
则kAB·kOP=-12=-b2a2，
所以a2=2b2，
由右焦点为F(3，0)可得
a2-b2=c2=9，
解得b2=9，a2=18，
所以椭圆E的方程为x218+y29=1.]
(2)A [∵焦点到准线的距离为p，
则p=1，
∴y2=2x.
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y12=2x1,y22=2x2,
两式相减可得
(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2)，
∴kPQ=2y1+y2，又∵P，Q关于直线l对称，
∴kPQ=-1，即y1+y2=-2，
∴PQ中点的纵坐标为y1+y22=-1，
又∵PQ的中点在直线l上，
∴PQ中点的横坐标为-1+2=1.
∴线段PQ的中点坐标为(1，-1).]