2026届高三数学一轮复习讲义（标准版）第八章进阶篇圆锥曲线中的综合问题进阶3（Word版附答案）

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例1 已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF，求直线OQ斜率的最大值.
思维升华 求解与斜率、角度有关的最值问题的关键是建立关于斜率的目标函数，然后运用基本不等式或者函数求解有关的问题.
跟踪训练1 (2024·皖北协作区联考)已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P是E的右支上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为3.
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点F2的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别为kAM和kBN，求kAM2+23kBN的最小值.
题型二 与参数、向量有关的范围(最值)问题
例2 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，以坐标原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足OA+OB=tOP(t∈R)，当|PA-PB|b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，且与双曲线x22-y2=1共顶点.P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若F1P=λQF1，且λ∈12，2，求OP·OQ的最大值.
答案精析
例1 解 (1)抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点Fp2，0，准线方程为x=-p2，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为p2--p2=p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)方法一 设Q(x0，y0)，
则PQ=9QF=(9-9x0，-9y0)，
∴P(10x0-9，10y0)，
由P在抛物线上可得
(10y0)2=4(10x0-9)，
即x0=25y02+910>0，
∴直线OQ的斜率
kOQ=y0x0=y025y02+910=10y025y02+9，
当y0=0时，kOQ=0；
当y0≠0时，kOQ=1025y0+9y0，
当y0>0时，
∵25y0+9y0≥225y0·9y0=30，
此时0