高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册圆的方程第2课时复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册圆的方程第2课时复习练习题，共6页。试卷主要包含了已知点A和圆C等内容，欢迎下载使用。
课后·训练提升
基础巩固
1.若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为( )
A.2B.1
C.3D.2
答案:B
解析:设点P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=142上,即圆心C(-5,12),半径r=14,|OC|=52+122=13(O为坐标原点).x2+y2=[(x-0)2+(y-0)2]2=|OP|2,
又|OP|的最小值为r-|OC|=14-13=1,故x2+y2的最小值为1.
2.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A.62-2B.8C.46D.10
答案:B
解析:点A关于x轴的对称点为A'(-1,-1),点A'与圆心(5,7)的距离为(5+1)2+(7+1)2=10.
又圆C的半径为2,故所求最短路程为10-2=8.
3.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为( )
A.-3或3B.3
C.-2或2D.2
答案:A
解析:∵∠POQ=120°,圆x2+y2=1的半径为1,
∴点O到直线y=kx+1的距离d=12.
由d=|0-0+1|k2+1=12,得k=±3.
4.(多选题)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,下列说法正确的是( )
A.yx的最大值为43
B.yx的最小值为0
C.x2+y2的最大值为5+1
D.x+y的最大值为3+2
答案:ABD
解析:如图,依题意知,点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上,
所以圆心C(2,1).
因为yx表示点(x,y)与坐标原点连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx,则|2k-1|k2+1=1,
解得k=0或k=43.所以yx∈0,43,yxmax=43,yxmin=0,故A,B正确;x2+y2表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,因为圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|+1,所以x2+y2的最大值为(|OC|+1)2,又|OC|=22+12=5,所以x2+y2的最大值为6+25,故C错误;令x+y=t,即y=-x+t,所以x+y表示直线y=-x+t与圆有公共点时在y轴上的截距,则当直线x+y=t与圆x2+y2-4x-2y+4=0相切时,有|2+1-t|2=1,解得t=3±2.因此3-2≤t≤3+2,所以x+y的最大值为3+2,故D正确.故选ABD.
5.已知一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 .
答案:-43或-34
解析:点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性知,反射光线一定经过点(2,-3).显然反射光线所在直线的斜率存在且不为0.设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,得圆心(-3,2)到直线kx-y-2k-3=0的距离为半径,即|-3k-2-2k-3|k2+1=1,解得k=-43或k=-34.
6.已知实数x,y满足x2+y2=1,则y+2x+1的取值范围为 .
答案:34,+∞
解析:令k=y+2x+1,则k可看作圆O:x2+y2=1上的一个动点P(x,y)与点A(-1,-2)连线的斜率.
直线PA的方程为kx-y+k-2=0.
由直线与圆有公共点的条件,得圆心(0,0)到直线kx-y+k-2=0的距离小于或等于半径,即|k-2|k2+1≤1,解得k≥34,即k的取值范围为34,+∞.
7.台风中心从M地以每小时30 km的速度向西北方向移动,离台风中心303 km内的地区为危险地区,城市N在M地正西方向60 km处,则城市N处于危险区内的时长为 .
答案:2 h
解析:如图所示,以点M为坐标原点建立平面直角坐标系,则点N(-60,0),以点N为圆心,303为半径作圆,则圆的方程为(x+60)2+y2=2 700.当台风进入圆内,城市N处于危险区,又台风的运动轨迹为y=-x,设直线与圆的交点为A,B,圆心N到直线的距离d=|-60+0|12+12=302,则|AB|=2r2-d2=2(303)2-(302)2=60 km,
所以时间t=6030=2 h.
8.求过直线x+y+4=0与圆x2+y2+4x-2y-4=0的交点且与直线y=x相切的圆的方程.
解:设所求圆的方程为x2+y2+4x-2y-4+λ(x+y+4)=0.
联立方程组y=x,x2+y2+4x-2y-4+λ(x+y+4)=0,
得x2+(1+λ)x+2(λ-1)=0.
因为所求圆与直线y=x相切,所以Δ=0,
即(1+λ)2-8(λ-1)=0,解得λ=3,
故所求圆的方程为x2+y2+7x+y+8=0.
9.设有半径长为3 km的圆形村落,甲、乙两人同时从村落中心出发,甲向东前进而乙向北前进,甲离开村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落边界的方向前进,后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定,且其速度比为3∶1,问:甲、乙两人在何处相遇?
解:如图所示,
以村落中心为坐标原点,以东西方向为x轴,南北方向为y轴建立平面直角坐标系.
设甲向东走到D处后改变前进方向,到C处恰好与乙相遇,CD所在直线的方程为xa+yb=1(a>3,b>3),乙的速度为v,则甲的速度为3v.
依题意,有|ab|a2+b2=3,a2+b2+a3v=bv.解得a=5,b=3.75.
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇.
能力提升
1.已知圆C与直线x+y+3=0相切,直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积,则圆C的方程为( )
A.x2+y2-2y=2B.x2+y2+2y=2
C.x2+y2-2y=1D.x2+y2+2y=1
答案:D
解析:∵直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积,
∴直线mx+y+1=0始终过圆C的圆心,而直线mx+y+1=0恒过定点(0,-1),则圆心C的坐标为C(0,-1).
又圆C与直线x+y+3=0相切,
∴圆C的半径r=|-1+3|2=2.
∴圆C的方程为x2+(y+1)2=2,即x2+y2+2y=1.
2.如图所示,已知直线l的方程是y=43x-4,并且与x轴、y轴分别交于点A,B.一个半径为32的圆C,圆心C从点0,32开始以每秒12个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间为( )
A.6 sB.6 s或16 s
C.16 sD.8 s或16 s
答案:B
解析:设当圆C与直线l相切时,圆心C坐标为(0,m).又直线l的方程为4x-3y-12=0,则圆心C到直线l的距离|-3m-12|42+(-3)2=32,得m=-32或m=-132,即圆心坐标为0,-32或0,-132.
故该圆运动的时间为32--3212=6(s)
或32--13212=16(s).
综上所述,该圆运动的时间为6 s或16 s.
3.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最小值是( )
A.3-2B.3+2
C.3-22D.3-22
答案:A
解析:由题意得直线AB的方程为x-y+2=0,圆x2+y2-2x=0的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心坐标为(1,0),圆心到直线AB的距离d=|1-0+2|2=322,所以圆上任意一点到直线AB的最小距离为322-1,所以△ABC面积的最小值为12×|AB|×322-1=12×22×322-1=3-2.
4.(多选题)若关于x的方程4x-x2=ax+a-2有两个不同的实数根,则实数a的取值可以是( )
A.2B.115C.125D.3
答案:AB
解析:由题意得,曲线y=4x-x2与直线y=ax+a-2有两个交点,
即曲线(x-2)2+y2=4(y≥0)与直线y=ax+a-2有两个交点,如图所示.
当直线y=ax+a-2经过原点O时,a=2;当直线y=ax+a-2与曲线(x-2)2+y2=4(y≥0)相切时,由|3a-2|a2+1=2,解得a=125或a=0(舍去).故a的取值范围是[2,125),故选AB.
5.已知M={(x,y)|y=9-x2,y≠0},N={(x,y)|y=x+b},若M∩N≠⌀,则实数b的取值范围是 .
答案:(-3,32]
解析:y=9-x2,y≠0等价于x2+y2=9(y>0),所以集合M表示圆x2+y2=9在x轴上方的部分,集合N表示直线y=x+b,如图,
当直线与圆相切时,有|b|2=3,解得b=32,或b=-32(舍去).
当直线过点(3,0)时,有3+b=0,解得b=-3.
结合图形可求得,当M∩N≠⌀时,有-3