人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆同步练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆同步练习题，共5页。
基础巩固
1.已知F1,F2为两定点,且|F1F2|=6,若动点M满足|MF1|+|MF2|=2|F1F2|,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆B.直线C.圆D.线段
答案:A
解析:因为|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=12>|F1F2|,所以动点M的轨迹是椭圆.
2.若方程x23a+y2a+4=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
A.(0,+∞)B.(2,+∞)
C.(0,2)D.(-4,2)
答案:C
解析:依题意有a+4>3a>0,解得06,所以其轨迹为椭圆,且2a=10,c=3,b2=16,故动点M的轨迹方程为x225+y216=1.
7.(多选题)已知P是椭圆x29+y24=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cs∠F1PF2=13,则下列说法正确的是( )
A.△PF1F2的周长为12
B.△PF1F2的面积为22
C.点P到x轴的距离为2105
D.PF1·PF2=2
答案:BCD
解析:由椭圆的方程知a=3,b=2,c=5,则|PF1|+|PF2|=6,于是△PF1F2的周长为2a+2c=6+25,故A项错误;
在△PF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2,即20=36-2|PF1||PF2|-23|PF1||PF2|,解得|PF1|·|PF2|=6,则△PF1F2的面积S=12|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=12×6×223=22,故B项正确;设点P到x轴的距离为d,则△PF1F2的面积S=12|F1F2|·d=12·25d=22,得d=2105,故C项正确;PF1·PF2=|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2=6×13=2,故D项正确.
8.若椭圆x25-y2m=1的焦距等于2,则实数m的值等于 .
答案:-4或-6
解析:由题意可知,-m>0,得m|MN|.由椭圆的定义知,点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆.
10.求过点P(3,0)且与圆C1:x2+y2+6x-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程.
解:圆C1的方程可化为(x+3)2+y2=100,因此圆C1的圆心为C1(-3,0),半径r=10.
设动圆圆心为C,半径为R,则依题意有|CP|=R且|CC1|=10-R.
于是|CC1|+|CP|=10,即动点C到两个定点C1(-3,0),P(3,0)的距离之和等于常数10,且10>|C1P|,故动圆圆心C的轨迹为以C1(-3,0),P(3,0)为焦点的椭圆.
于是设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则2a=10,c=3,b2=a2-c2=16,
故所求动圆圆心的轨迹方程为x225+y216=1.
能力提升
1.已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆x212+y216=1上,且满足|AP|-|BP|=2,则AP·BP的值等于( )
A.-12B.12C.-9D.9
答案:D
解析:由题意易知A(0,-2),B(0,2)为椭圆x212+y216=1的两焦点,
又a=4,所以|AP|+|BP|=2×4=8.
结合|AP|-|BP|=2,得|AP|=5,|BP|=3,又因为|AB|=4,所以△ABP为直角三角形,故AP·BP=(AB+BP)·BP=|BP|2=9.
2.已知P为椭圆x225+y216=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5B.7C.13D.15
答案:B
解析:由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.
3.已知点M是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,两个焦点分别为F1,F2,若|MF1|·|MF2|的最大值为8,则a的值等于( )
A.8B.4C.22D.2
答案:C
解析:因为|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=a2,当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号,故a2=8,a=22.
4.已知P是椭圆x24+y2=1上一点,F1,F2是其两个焦点,则∠F1PF2的最大值为( )
A.3π4B.2π3C.π2D.π4
答案:B
解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>0,n>0,且m+n=2a=4,在△F1PF2中,由余弦定理可得cs∠F1PF2=m2+n2-122mn=(m+n)2-2mn-122mn=2mn-1,因为mn≤m+n22=4,所以cs∠F1PF2≥-12,当且仅当m=n时取等号,故∠F1PF2的最大值为2π3.
5.(多选题)对于曲线C:x29-k+y2k-3=1,下列说法正确的是( )
A.曲线C不可能是圆
B.“3