高二数学选择性必修第一册同步训练试题（人教A版2019）第三章过关检测（B卷）（Word版附解析）

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第三章过关检测(B卷)(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.椭圆2x2+y2=8的长轴长为(　　)A.2B.4C.22D.42答案:D解析:椭圆方程可化为y28+x24=1,因此a2=8,a=22,故长轴长2a=42.2.若抛物线的准线与坐标轴的交点是0,-12,则抛物线的标准方程为(　　)A.x2=-2yB.x2=2yC.y2=2xD.y2=-2x答案:B解析:依题意抛物线的准线方程为y=-12,则抛物线开口向上,p2=12,2p=2,故抛物线的标准方程为x2=2y.3.已知椭圆y249+x224=1与双曲线y2-x224=1有公共点P,则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为(　　)A.48B.24C.243D.123答案:B解析:由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=14,||PF1|-|PF2||=2,解得|PF1|=8,|PF2|=6或|PF1|=6,|PF2|=8.又|F1F2|=10,所以△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°.故△PF1F2的面积S=12|PF1|·|PF2|=12×6×8=24.4.已知A(3,4)是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,若以F1F2为直径的圆经过点A,则双曲线C的离心率为(　　)A.2B.2C.5D.5答案:C解析:由已知得AF1⊥AF2,则|F1F2|=2|AO|=10,于是c=5,又|AF1|-|AF2|=(3+5)2+42-(3-5)2+42=2a,所以a=5,所以双曲线C的离心率e=ca=55=5.5.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,|AF|·|BF|=8,则p的值为(　　)A.4B.12C.1D.2答案:D解析:设直线AB的方程为y=x-p2,由y=x-p2,y2=2px,得x2-3px+p24=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,x1x2=p24,由于|AF|·|BF|=x1+p2x2+p2=x1x2+p2(x1+x2)+p24=2p2=8,因此p2=4,故p=2或p=-2(舍去).6.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为(　　)A.y=±33xB.y=±13xC.y=±22xD.y=±12x答案:C解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2a2-y2b2=1,x2=2py消去x,得a2y2-2b2py+a2b2=0,则y1+y2=2b2pa2.因为|AF|+|BF|=4|OF|,所以y1+p2+y2+p2=4×p2,即y1+y2=p,于是2b2pa2=p,因而b2a2=12,故双曲线的渐近线方程为y=±22x.7.若抛物线y2=4x的焦点为F,抛物线的准线与x轴相交于点K,P为抛物线上一点,且∠KFP=2π3,则△KFP的面积为(　　)A.83B.43C.23D.433或23答案:C解析:如图,不妨设P为第一象限内的点,|PF|=2m(m>0),则P(1+m,3m),所以(3m)2=4(1+m),解得m=2m=-23舍去.在△PKF中,|KF|=2,|PF|=4,∠PFK=2π3,故S△PKF=12·|PF|·|KF|·sin2π3=12×4×2×32=23.8.设F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方,且满足|AF1|=3|F1B|,cos ∠AF2B=35,则点A位于(　　)A.第一象限B.第二象限C.y轴上D.都有可能答案:C解析:设|BF1|=k(k>0),则|AF1|=3k.由椭圆的定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,|AB|=4k,在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B,即16k2=(2a-3k)2+(2a-k)2-2(2a-3k)·(2a-k)·35,整理可得a=3k,所以|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k,于是有|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,即AF2⊥AB,即F1A⊥F2A,故△AF1F2为等腰直角三角形,所以点A在y轴上.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知曲线C:x4+y24=1,则(　　)A.曲线C关于原点对称B.曲线C有4个顶点C.曲线C的面积小于椭圆x2+y24=1的面积D.曲线C的面积大于圆x2+y2=1的面积答案:ABD解析:用-x替换x,化简后式子不变,则曲线C关于y轴对称;用-y替换y,化简后式子不变,则曲线C关于x轴对称;用-x,-y分别替换x,y,化简后式子仍不变,则曲线C关于原点对称,曲线C仅有两条对称轴,易求两条对称轴与曲线C的交点分别为(±1,0),(0,±2),故曲线C有4个顶点,故AB正确;易知曲线C中x的范围为[-1,1],所以|y|=21-x4≥21-x2,故椭圆上的点在曲线C内部或在曲线C上,故椭圆的面积小于曲线C的面积,同理曲线C的面积大于圆的面积,故C错误,D正确.故选ABD.10.已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若|PF1|=2|PF2|,且△PF1F2的最小内角为30°,则(　　)A.双曲线的离心率为3B.双曲线的渐近线方程为y=±2xC.∠PAF2=45°D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点答案:ABD解析:依题意得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,∴|PF2|=2a,从而|PF1|=4a.∵|F1F2|=2c,a0)的焦点为F,直线l的斜率为3且经过点F,若直线l与抛物线C交于点A,B(点A在第一象限)、与抛物线的准线交于点D,|AF|=4,则以下结论正确的是(　　)A.p=2B.F为AD中点C.|BD|=2|BF|D.|BF|=2答案:ABC解析:设A(xA,yA),B(xB,yB),如图,Fp2,0,直线l的斜率为3,则直线l的方程为y=3x-p2,联立y2=2px,y=3x-p2,得12x2-20px+3p2=0,解得xA=32p,xB=16p.由|AF|=32p+p2=2p=4,得p=2,故A正确;抛物线方程为y2=4x.xB=16p=13,则|BF|=13+1=43,故D错误;|BD|=|BF|cos60°=4312=83,∴|BD|=2|BF|,故C正确;|BD|+|BF|=83+43=4=|AF|,则F为AD的中点,故B正确.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与方向向量为k=(6,6)的直线交于A,B两点,线段AB的中点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是　　　　　　　　. 答案:y=±12x解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2-y12b2=1,且x22a2-y22b2=1,于是y2-y1x2-x1=b2(x2+x1)a2(y2+y1)=4b2a2,因为直线AB的方向向量为k=(6,6),所以直线AB的斜率kAB=1,所以4b2a2=1,即ba=12,故双曲线的渐近线方程为y=±12x.13.已知M为抛物线y2=2px(p>0)上一点,F(2,0)为该抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠MFO=120°,N(-2,0),则p=　　　　　,△MNF的面积为　　　　　. 答案:4　83解析:由抛物线的焦点为F(2,0),得p2=2,解得p=4,则抛物线方程为y2=8x.设抛物线的准线为l,则l与x轴的交点即为N(-2,0),过点M作MQ⊥l,垂足为Q,过点F作FH⊥MQ,垂足为H.∵∠MFO=120°,∴∠MFH=30°,∴|MF|-p=12|MF|⇒|MF|=8,从而|HF|=43.∴S△MNF=12|NF|×|HF|=83.14.已知F1,F2是椭圆x2a2+y23=1(a>3)的左、右焦点,点P是椭圆上任意一点,以PF1为直径作圆N,直线ON与圆N交于点Q(点Q不在椭圆内部),则QF1·QF2=　　　　　　. 答案:3解析:连接QF1,QF2,PF2,设椭圆的半焦距为c,短半轴长为b,QF1·QF2=(QO+OF1)·(QO+OF2)=(QO)2-(OF1)2=(|QN|+|NO|)2-c2=|PF1|2+|PF2|22-c2=a2-c2=b2=3.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图所示,有一位运动员练习定点投篮,球运行的线路是一段抛物线,已知篮圈距离地面3.05 m,球出手时球与篮圈的水平距离为4 m,当球运行的水平距离为2.5 m时,球达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈内,假设球与篮圈大小忽略不计.(1)试求球运行线路所在抛物线的标准方程.(2)球出手时,球离开地面的高度是多少?解:如图,以O为原点,建立平面直角坐标系.(1)由题意得A(1.5,-0.45),设抛物线的方程为x2=my(mb>0)的离心率为32,且过(2,0)点.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于E,F两点,O为坐标原点,若∠EOF为直角,求直线l的斜率.解:(1)由题意知,椭圆C焦点在x轴上,且e=ca=32,a=2,所以c=3,又b2=a2-c2,所以b2=1,故椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)依题意,过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设l:y=kx+4,联立x24+y2=1,y=kx+4,得(1+4k2)x2+32kx+60=0,则Δ=(32k)2-240(1+4k2)=64k2-240,令Δ>0,解得k2>154.设E,F两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=-32k1+4k2,x1x2=601+4k2,因为∠EOF=90°,所以OE·OF=0,即x1x2+y1y2=0,所以(1+k2)·x1x2+4k(x1+x2)+16=0,所以15×(1+k2)1+4k2-32k21+4k2+4=0,解得k=±19,故直线l的斜率为±19.17.(15分)(2025·广西高三毕业班高考适应性测试,17)已知直线l:y=kx+m与椭圆C:x24+y2=1交于A,B两点,O为原点.(1)证明:4k2+1>m2;(2)已知OA·OB=0,证明:点O到直线l的距离为定值.证明 联立直线l与椭圆C的方程y=kx+m,x24+y2=1,消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+(4m2-4)=0.所以Δ=16(4k2-m2+1).设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2.因为y1=kx1+m,y2=kx2+m,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.进而OA·OB=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2,所以OA·OB=(1+k2)×4m2-41+4k2+km×-8km1+4k2+m2=5m2-4k2-41+4k2.(1)由Δ=16(4k2-m2+1)>0,得4k2+1>m2.(2)由OA·OB=5m2-4k2-41+4k2=0,得5m2=4k2+4.进而Δ=16(4k2-m2+1)=165(16k2+1)>0,且点O到直线l的距离d=|m|1+k2=m254m2=255,为定值.18.(17分)已知椭圆M的中心在坐标原点,焦点在x轴上,焦距为43,且两准线间的距离为1633.(1)求椭圆M的标准方程;(2)过椭圆M的上顶点A作两条直线分别交椭圆于点B,C(异于点A),且它们的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-14,求证:直线BC恒过一个定点,并求出该定点坐标.(1)解:由题意得2c=43,2a2c=1633,解得a=4,c=23.又因为a2=b2+c2,所以b=2.因为焦点在x轴上,所以椭圆M的方程为x216+y24=1.(2)证明:由题意得,椭圆M的上顶点为A(0,2),不妨令直线AB的斜率为k1,则直线AB的方程为y=k1x+2,与椭圆M的方程联立,得方程组y=k1x+2,x216+y24=1,消去y,得(1+4k12)x2+16k1x=0,又xB≠0,所以xB=-16k11+4k12,所以yB=-8k12+21+4k12.同理可得xC=-16k21+4k22,yC=-8k22+21+4k22,又k1k2=-14,所以k2=-14k1,分别代入xC,yC,得xC=16k11+4k12,yC=8k12-21+4k12,所以xB+xC=0,yB+yC=0,所以点B,C关于原点对称.即无论直线AB的斜率k1取何值,直线BC恒过原点.所以直线BC恒过一个定点,定点坐标为(0,0).19.(17分)已知点P(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l:x=4距离的比是常数12.(1)求点P的轨迹方程;(2)记点P的轨迹为C,过点F的直线l与曲线C交于点M,N,与抛物线y2=4x交于点A,B,设D(-1,0),记△DMN与△DAB的面积分别是S1,S2,求S2S1的取值范围.解:(1)依题意有(x-1)2+y2|4-x|=12,化简得3x2+4y2=12,故点P的轨迹方程为x24+y23=1.(2)依题意S2S1=|AB||MN|,①当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),联立y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,|AB|=x1+x2+2=4(k2+1)k2;联立y=k(x-1),3x2+4y2-12=0得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设M(x3,y3),N(x4,y4),则x3+x4=8k23+4k2,x3x4=4k2-123+4k2,|MN|=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]=12(1+k2)3+4k2,则S2S1=|AB||MN|=3+4k23k2=43+1k2∈43,+∞.②当直线l垂直于x轴时,易知|AB|=4,|MN|=3,此时S2S1=|AB||MN|=43.综上,S2S1的取值范围是43,+∞.