数学八年级上册（2024）15.3 等腰三角形精品练习题

这是一份数学八年级上册（2024）15.3 等腰三角形精品练习题，共6页。试卷主要包含了在△ABC中,若∠A等内容，欢迎下载使用。
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，倒下的部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A.6m B.9m C.12m D.15m
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD.若BD=6,则AC的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,且BC=6,则AB等于( )
A.2 B.3 C.9 D.12
4.将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若AB=14cm,则阴影部分的面积______________是cm².
5.如图,Rt△ABC的斜边AC∥x轴,点B的坐标是(1,0),∠A=30°,则AC=______________.
6.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境.已知∠BAC=150°,AB=20m,AC=30m，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要_____________元.(用含a的代数式表示)
7.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,
(1)作BC的垂直平分线,分别交AB,BC于点E，F；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)
(2)求证:E是AB的中点.
C
综合应用题
8.如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( )
A.4 B.6 C.3 D.8
9.如图,在三角形ABC中,AB=AC,D,E是三角形ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=6cm,DE=2cm,则BC的长度是( )
A.6cm B.7cm C.8cm D.10cm
10.如图,BD是等边三角形ABC的中线,E是直线BD上一点，连接AE，以AE为边，向下方作等边三角形AEF,连接DF.若AB=8,则DF的最小值为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB边于点D，再分别以点C，D为圆心，大于12CD的长度为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE交BC边于点F,点P为边AB上的动点,连接PF.若BC=6,则PF的取值范围是( )
A.2≤PF≤3 B.1≤PF≤2 C.2≤PF≤4 D.3≤PF≤5
12.如图,在△ABC中,AB=12cm,AC=10cm,∠A=60°,点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts，当△APQ为直角三角形时，t的值为____________.
13.如图，一条船上午8时从海岛A出发,以15nmile/h的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处观察灯塔C,测得∠NAC=30°,∠NBC=60°.
(1)求海岛B到灯塔C的距离.
(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，该船与灯塔C的距离最短?
创新拓展题
14.在等边三角形ABC中,AB=4,D是BC所在直线上的一个动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
(1)如图①,当D只在线段BC上移动时(D不与B，C重合)，请说明BE+CF的值是不是一个固定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请举出例子；
(2)如图②、图③，当D在BC的延长线和反向延长线上时，请分别说明BE和CF有什么数量关系.
参考答案
1.B 2.B 3.D
4.492【点拨】∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴AC=12AB=7cm.
∵∠AED=∠ACB=90°,∴BC∥DE.∴∠AFC=∠D=45∘.
∴∠CAF=45∘=∠AFC.∴CF=AC=7cm∴S阴影=12×7×7=492cm2.
5.4 6.150a
7.(1)【解】如图所示,EF即为所求.
(2)【证明】∵在△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,∴∠C=90°.∴AB=2BC.
∵EF垂直平分BC,∴BF=12BC,∠BFE=90°.∴EF∥AC.
∴∠BEF=∠A=30°.∴BE=2BF.∴BE=BC=12AB,即E是AB的中点.
8.B
9.C【点拨】如图,延长ED交BC于点M,延长AD交BC于点N.
∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN.
∵∠EBC=∠E=60°,∴△BEM为等边三角形.∴EM=BM=BE,∠EMB=60°.
∵BE=6cm,DE=2cm,∴DM=4cm.
∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°.∴∠NDM=90°-∠EMB=30∘.∴NM=12DM=2cm.
∴BN=BM−MN=4cm.∴BC=2BN=8cm.
10.C【点拨】如图,连接CF,
∵△ABC是等边三角形,△AEF是等边三角形,
∴AB=AC,AE=AF,∠ABC=∠BAC=∠FAE=60°,
∴∠BAE+∠EAD=∠FAD+∠EAD=60°,∴∠BAE=∠FAD,
又∵AB=AC,AE=AF,∴△BAE≌△CAF(SAS),∴BE=CF,∠ABE=∠ACF.
∵BD是等边三角形ABC的中线,
∴∠ABE=12∠ABC=30∘=∠ACF,AD=DC=12AB=4,
∵点F在CA以点C为旋转点逆时针旋转30°的射线上运动，
∴当DF⊥CF时，DF有最小值，
∵∠ACF=30∘,∴DF=12DC=2.
11.C【点拨】由作图可知,AE是∠CAB的平分线,
∵∠CAB=180°-∠B-∠ACB=60°,∴∠CAF=∠BAE=12∠CAB=30∘=∠B.
∴AF=BF,CF=12AF.
∵CF+BF=12AF+AF=6,解得AF=4,∴CF=2.∴F到AB的距离等于CF的长,∴PFmin=CF=2,当P与A或B重合时,PF的值最大,即PFmax=AF=BF=4,∴2≤PF≤4.
12.3或4、8
13.【解】(1)由题意得AB=15×2=30(n mile).
∵∠NBC=60°,∠NAC=30°,∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°.
∴∠ACB=∠NAC.∴BC=AB=30 n mile.
∴海岛B到灯塔C的距离为30 n mile.
(2)如图,过点C作CP⊥AB于点P,∴∠BPC=90°.根据垂线段最短,可知线段CP的长为该船与灯塔C的最短距离，
∵∠PBC=60°,∴∠PCB=180∘−∠BPC−∠CBP=30∘.
∵BC=30 n mile,∴PB=12BC=15 n mile.∵15÷15=1(h).
∴若继续向正北方向航行，还要经过1h，该船与灯塔C的距离最短.
14.【解】(1)BE+CF的值是一个固定值.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°,BC=AB=4.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BDE=30°,∠FDC=30°.
∴BE=12BD,CF=12DC. ∴BE+CF=12BD+CD=12BC=2.
∴BE+CF的值是一个固定值2.
(2)当D在BC的延长线上时,∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,BC=4.∴∠DCF=∠ACB=60°.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠EDB=30°,∠CDF=30°.
∴BE=12BD,CF=12CD. ∴BE−CF=12BD−CD=12BC=2.
当D在BC的反向延长线上时，
∵△ABC是等边三角形,∴BC=4,∠ABC=∠C=60°.∴∠DBE=∠ABC=60°.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠FDC=30°,∠BDE=30°.
∴CF=12DC,BE=12BD. ∴CF−BE=12DC−BD=12BC=2.