2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第三章必刷大题6导数的综合问题（Word版附答案）

这是一份2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第三章必刷大题6导数的综合问题（Word版附答案），共6页。试卷主要包含了已知函数f=ex，a∈R，已知函数f=a-ln x，已知函数f=x-aln，a∈R等内容，欢迎下载使用。
1.(13分)(2025·广东联考)已知函数f(x)=ex(x2-ax-a)，a∈R.
(1)当a>-2时，讨论f(x)的单调性；(6分)
(2)若a≥0，当x=x1时，函数f(x)有极大值m；当x=x2时，f(x)有极小值n，求m-n的取值范围.(7分)
2.(15分)(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=a(x+a)-ln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；(6分)
(2)证明：当a>0时，f(x)≥3ln a+2.(9分)
3.(15分)已知函数f(x)=ax+(a-1)ln x+1x-2，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；(7分)
(2)若f(x)只有一个零点，求a的取值范围.(8分)
4.(17分)已知函数f(x)=x-aln(1+x)，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；(8分)
(2)证明：对于任意正整数n，都有1+13+15+…+12n-1>12ln(2n+1).(9分)
答案精析
1.解 (1)易知函数f(x)的定义域为R，
则f'(x)＝ex(x＋2)(x－a)，
又因为a>－2，所以当x∈(－2，a)时，f'(x)0，
所以g(a)在[0，＋∞)上单调递增，所以g(a)≥g(0)＝4e－2，
即m－n的取值范围为
[4e－2，＋∞).
2.(1)解 依题意x>0，
f'(x)＝a－1x，
当a≤0时，f'(x)0时，由f'(x)>0得x>1a，
由f'(x)0)，
则g'(x)＝2x－2x
＝2(x-1)(x＋1)x，
当00，
∴函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
即g(x)的最小值为
g(1)＝12－2ln 1－1＝0，
即g(x)≥g(1)＝0，∴g(a)≥0，
即f(x)的最小值f 1a＝1＋a2＋ln a≥3ln a＋2，
∴f(x)≥3ln a＋2.
3.解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝a＋a-1x－1x2＝(ax-1)(x＋1)x2，
若a≤0，则f'(x)0，则当x∈0，1a时，
f'(x)0，
即f(x)在(－1，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增，
综上所述，当a≤0时，
f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，当a>0时，f(x)在(－1，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增.
(2)证明 当a＝1时，
f(x)＝x－ln(1＋x)，
由(1)知，f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝x－ln(1＋x)≥f(0)＝0，得到x≥ln(x＋1)，当且仅当x＝0时，等号成立，
对于任意正整数n，令x＝22n-1，
则22n-1>ln22n-1＋1
＝ln(2n＋1)－ln(2n－1)，
所以21＋13＋15＋…＋12n-1>ln 3－ln 1＋ln 5－ln 3＋ln 7－ln 5＋…＋ln(2n＋1)－ln(2n－1)
＝ln(2n＋1)，
即1＋13＋15＋…＋12n-1
>12ln(2n＋1)，本题得证.