湖南省长沙市周南中学2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 若复数满足，则（ ）
3. 已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ）
4. 设，，，则（ ）
5. 已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（ ）
6. 已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，，则“”是“”的（ ）
7. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（ ）
8. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列结论正确的是（ ）
10. 已知，，则下列说法中正确的是（ ）
11. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知角终边上一点，则_____；
13. 的展开式中含的项的系数为_____；
14. 已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为_____.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知数列的首项，的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
16. 在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点.
(1)若，证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
17. 已知函数.
(1)若曲线在处的切线与垂直，求实数的值；
(2)当，在区间上不单调，求实数的取值范围；
(3)若，对任意且，不等式成立，求的最小值.
18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且.
(1)求证：为定值，并求出该定值；
(2)如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围.
19. “你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了、、三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由组先发起竞赛，组挑战组、组的概率均为，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和.
①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在组的次数的分布列与数学期望；
②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.经过次竞赛后，竞赛发起权在组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值.
附：，.
湖南省长沙市周南中学2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、平面向量、函数与导数、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、平面解析几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．2
B．1
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既不充分也不必要条件
A．0.2
B．0.5
C．0.8
D．0.9
A．
B．
C．
D．
A．已知数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，则这组数据的下四分位数为53；
B．已知随机变量服从二项分布，若，，则；
C．若3名男同学和2名女同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法；
D．一个样本（数据不全为5）的平均数为5，若在样本中添加一个数据：5，则该样本的平均数不变，方差变小.
A．当时，函数的极大值点为1；
B．当时，过点可作一条直线与曲线相切；
C．对，点是的对称中心；
D．若直线与有三个交点、、，则.
A．若，则；
B．记，则的面积；
C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.
学历
使用情况
合计
经常使用
不经常使用
本科及以上
65
35
100
本科以下
50
50
100
合计
115
85
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
7
适中
8
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.85
求复数的模；复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算
3
0.85
数量积的运算律；已知数量积求模；数量积的坐标表示；向量垂直的坐标表示
4
0.65
比较对数式的大小；比较函数值的大小关系
5
0.85
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形
6
0.85
判断命题的充分不必要条件；判断面面是否垂直；线面关系有关命题的判断
7
0.85
利用全概率公式求概率
8
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；坐标法的应用——直线与圆的位置关系；二倍角的正切公式
二、多选题
9
0.65
计算几个数据的极差、方差、标准差；元素（位置）有限制的排列问题；二项分布方差与均值的关系；总体百分位数的估计
10
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求过一点的切线方程；利用导数求函数的单调区间（不含参）；求已知函数的极值点
11
0.4
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围；双曲线定义的理解
三、填空题
12
0.85
由终边或终边上的点求三角函数值；二倍角的余弦公式；二倍角的正弦公式
13
0.85
三项展开式的系数问题
14
0.65
向量加法法则的几何应用；垂直关系的向量表示
四、解答题
15
0.65
由递推关系证明数列是等差数列；错位相减法求和
16
0.65
证明线面垂直；线面角的向量求法；基本不等式求和的最小值
17
0.65
已知切线（斜率）求参数；由函数的单调区间求参数；利用导数研究不等式恒成立问题
18
0.4
抛物线中的三角形或四边形面积问题；抛物线中的定值问题
19
0.4
独立性检验解决实际问题；数列新定义；由递推关系式求通项公式；求离散型随机变量的均值
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,6
2
等式与不等式
1,16
3
复数
2
4
平面向量
3,14
5
函数与导数
4,10,17
6
三角函数与解三角形
5,8,12
7
空间向量与立体几何
6,16
8
计数原理与概率统计
7,9,13,19
9
平面解析几何
8,11,18
10
数列
15,19