2025年广东省肇庆市高要区实验中学中考数学一模试题（附答案解析）

这是一份2025年广东省肇庆市高要区实验中学中考数学一模试题（附答案解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A．2B．-2C．D．
2．音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验．下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．2025年1月15日，广东省十四届人大三次会议召开省直部门专场记者会．省商务厅在会上介绍的数据显示，去年全省外贸进出口9.11万亿元，增长，净增量8133亿元，迈上了9万亿元标志性大台阶．数据9.11万亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．解方程，去分母后正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．从数学家（高斯）名字中任意选择一个字母，该字母是s的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知正方体展开图中线段的长是10，则正方体的棱长在（ ）
A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．4与5之间
9．点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（ ）
A．B．C．4D．
二、填空题
11．如图是广州市2025年1月1日-1月7日每天最高气温（）的统计结果，这7天最高气温的众数是 ．
12．关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则不等式组解集为 ．
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
14．已知实数，满足，则 ．
15．如图，在中，，，点M是上一点，且平分，连接，将绕点M顺时针旋转，点A的对应点N落在上．若点N恰好是的三等分点（靠近点C），则 ．
三、解答题
16．计算：．
17．如图，点，在线段上，且，，．
(1)求证：；
(2)在线段，上分别找出点，，依次连接点，，，，使得到的四边形为菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
18．第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日在广东珠海开幕．本届航展，飞行表演盛况空前，一批航空航天领域“大国重器”集中亮相，见证着跨越发展能力．飞机的机翼产生升力以支持飞机在空中飞行，它还起一定的稳定和操纵作用．机翼的平面形状多种多样，常用的有矩形翼、梯形翼、三角翼、双三角翼、箭形翼、边条翼等．如图，四边形是某种型号飞机机翼的平面形状，已知，，，请你结合图中所标的数据计算的长度．（结果保留1位小数．参考数据：）
19．“心理健康”越来越受到人们的关注，某中学为调查学生对心理健康知识的了解程度，随机选取了部分学生进行问卷调查，并根据收集到的数据进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
(1)选取的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________．
(2)求出扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数；
(3)若该校有3000名学生，估计全校不了解心理健康知识的学生人数．
20．2025年正值中国传统农历乙巳蛇年，某画室计划购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件装饰画室，已知购买4个蛇宝宝毛绒玩具和1个蛇形挂件共需256元，购买6个蛇宝宝毛绒玩具和3个蛇形挂件共需408元．
(1)求每个蛇宝宝毛绒玩具和每个蛇形挂件的价格；
(2)该画室用320元购买了蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件，分别求购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件的数量．
21．综合与实践主题：确定筝形的重心位置．
素材：如图（1），筝形薄板中，，，．
实践操作一：如图（2），过悬挂点A将薄板用细线悬挂起来，静止后，过点A沿细线所在直线画一条射线；然后将悬挂点换成B，用同样的方法画出过点B的射线，两射线的交点就是筝形薄板的重心G，已知筝形的重心在其对称轴上．
（1）连接，求证：点G在上．
实践操作二：如图（3），连接，分别作出的重心和的重心J，连接，则与的交点就是筝形薄板的重心G．已知三角形的重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍．
（2）判断与的位置关系并证明．
（3）求的值．
22．如图（1），在中，是直径，为弦，，相交于点，直线与相切于点B，且．
(1)求证：点是的中点．
(2)如图（2），是的直径，连接，，线段上存在一点，满足，求证：．
(3)如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接，当的面积最大时，求的大小 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B，点是抛物线上的一点．
(1)求m的值；
(2)轴于点D，与交于点E，求的值；
(3)在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使，求点P的坐标．
《2025年广东省肇庆市高要区实验中学中考数学一模试题》参考答案
1．C
【分析】本题考查了绝对值定义，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．
解题时根据绝对值的定义，一个数的绝对值是数轴上该数到原点的距离，是非负数.
【详解】解：的绝对值为.
故选：C ．
2．B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此写出结论即可．
【详解】解：9.11万亿．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两个内角和是解题关键．
根据三角形外角等于不相邻的两个内角和列式计算即可．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴．
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了同底数幂相乘除，幂的乘方，同类项，先根据同底数幂相乘除法则计算判断A，C，再根据幂的乘方计算判断B，然后根据合并同类项法则计算判断D．
【详解】因为，所以A正确；
因为，所以不正确；
因为，所以C不正确；
因为不是同类项，不能合并，所以不正确．
故选：A．
6．B
【分析】方程两边同乘以即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
7．D
【分析】本题考查概率公式，根据题意，可以写出任意选择一个字母的所有可能性和选择的字母是s的可能性，从而可以求出相应的概率．
【详解】解：在数学家（高斯）名字中任意选择一个字母一共有种可能性，其中字母为“s”的可能性有种，
∴任意选择一个字母，字母为“s”的概率是，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查勾股定理，无理数的估算，先根据勾股定理求出正方体的棱长，再估算大小即可．
【详解】解：如图，
设正方体的棱长为，则，，
中，由勾股定理可得，
∴，
整理得，
∴（负值舍去），
∵，
∴，
即正方体的棱长在2与3之间，
故选：B．
9．C
【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【详解】解：，
抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴点为顶点，其纵坐标为最大值；点、在对称轴右侧，
时，随增大而减小，
，
，
，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解答本题的关键．根据k值的几何意义得出，，根据，得出，从而得出，最后求出k值即可．
【详解】解：∵矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选：D．
11．23
【分析】本题考查了确定一组数据的众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．根据众数的定义求解．
【详解】解：因为最高气温出现了4次，出现的次数最多，
这7天最高气温的众数是．
故答案为：23．
12．
【分析】根据数轴上表示的解集确定出所求即可．此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示．
【详解】解：关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，
则不等式组解集为，
故答案为：
13．且
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：
且，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，注意容易漏掉二次项系数不为零这一条件．
14．
【分析】本题考查了分式求值，分式运算，由，得，则，然后代入即可求解，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．14
【分析】本题考查平行四边形的性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，过点作,垂足为点，即可得到，进而求出和长，再根据角平分线的定义和平行线的性质得到,即可得到，然后根据勾股定理求出的长，再过点作于点,求出和长解答即可．
【详解】解：若点恰好是的三等分点(靠近点)，则，
过点作,垂足为点,如图,
∵是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
则,，
∵,平分,
∴,
∴，
，
，
，
过点作于点,
在中,,，
在中,
，
故答案为：．
16．2
【分析】本题考查实数的混合运算，先根据零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值化简，再计算即可．
【详解】解：原式．
17．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作垂直平分线，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由，得，然后证明，再由“”证明即可得出结论；
（）作垂直平分线即可，然后通过菱形的判定方法即可求证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴；
（2）如图，四边形即为所求；
理由：由作图可知，垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴四边形即为所求．
18．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．求出，，得出的长，即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，．
如图，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：的长度约为．
19．(1)60，10
(2)
(3)500人
【分析】本题考查扇形图和条形图的综合应用，从统计图中有效地获取信息，是解题的关键：
（1）用“基本了解”的人数除以所占的百分比，求出选取的人数，总人数减去其他组的人数求出的值；
（2）360度乘以“了解很少”的人数所占的比例，进行求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）选取的学生共有：（人）．
；
（2）．
答：扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为．
（3）3000×（人）．
答：估计全校不了解心理健康知识的学生有500人．
20．(1)每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是60元，每个蛇形挂件的价格是16元
(2)购买4个蛇宝宝毛绒玩具，5个蛇形挂件
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解.
（1）设每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是m元，每个蛇形挂件的价格是n元，根据“购买4个蛇宝宝毛绒玩具和1个蛇形挂件共需256元，购买6个蛇宝宝毛绒玩具和3个蛇形挂件共需408元”列方程组求解即可；
（2）设购买a个蛇宝宝毛绒玩具，b个蛇形挂件，根据“用320元购买了蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件”得到，再求正整数解即可．
【详解】（1）解：设每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是m元，每个蛇形挂件的价格是n元，
根据题意得
解得
答：每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是60元，每个蛇形挂件的价格是16元．
（2）解：设购买a个蛇宝宝毛绒玩具，b个蛇形挂件，
根据题意得，
∴．
∵a，b是正整数，
∴，
答：购买4个蛇宝宝毛绒玩具，5个蛇形挂件．
21．（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）证明得到筝形关于直线对称，再根据点是筝形的重心得到结论即可；
（2）由得到，再证明，得到，根据重心的性质得到，则，最后利用等腰三角形“三线合一”得到；
（3）根据重心和勾股定理得到，，， ，，设，则，根据勾股定理得到，据此列方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴筝形关于直线对称，
∵点是筝形的重心，
∴点在上；
（2）．
证明：∵，
∴，
由重心可知点分别是的中点，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点分别是和的重心，
∴，即，
∴，
∴（依据：等腰三角形“三线合一”）；
（3）解：∵，由重心可知点是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形重心的定义和性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，理解重心的概念是解答本题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据切线的性质和平行线的性质可得，根据垂径定理即可得到结论；
（2）连接，可以推导得到，即可得到，进而得到，然后证明，得到，根据等量代换得到结论即可；
（3）根据旋转可得，当点F到的距离最大时，的面积取得最大值，即，即可得到旋转角的度数．
【详解】（1）证明：直线与相切于点B，为直径，
，
∵，
即，
点F是的中点．
（2）证明：如图，连接，
由（1）可知，
为直径，
，
，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：将绕点顺时针旋转得到，
，
面积点F到的距离点到的距离，
当点F到的距离最大时，的面积取得最大值．
如图（3），分析可知，当时，点到的距离最大，此时的面积最大．
，
．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，掌握切线的性质是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点代入抛物线计算即可；
（2）先由抛物线解析式得出，，则，，结合（1）得，，方法一：如图（1），过点B作轴交于点Q，根据待定系数法求得所在直线的解析式为，进而得，由勾股定理得，，证明得，进而可求，进而可得答案；方法二：如图（1），过点E作轴于点F，分别证明，，得出，，再证明，得．
（3）先利用勾股定理求的长，分析可知，可分点P在点B右侧和左侧两种情况进行讨论．先证得，再结合，可知当点P在点B右侧时，点P，D重合，从而求得点P的坐标；当点P在点B左侧时，过点P作于点H，设，先利用锐角三角函数求出，，再根据线段的数量关系列方程求x的值，从而求得点P的坐标．
【详解】（1）解：∵点是抛物线上一点，
∴；
（2）解：对于，
当时，，
解得或，
当时，，
∴，，
∴，，
由（1）知，
∵轴于点D，
∴，，
方法一：如图（1），过点B作轴交于点Q，
∵，，
∴所在直线的解析式为，
当时，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
方法二：如图（1），过点E作轴于点F，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵在中，，，
∴，
可分点P在点B右侧和左侧两种情况进行讨论：
①当点P在点B右侧时，
，
，
，
，
，即，
此时点P与点D重合，如图（2），
点P的坐标为；
②当点P在点B左侧时，如图（3），过点P作于点H，
设，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
点P的坐标是．
综上，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用等知识．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
C
A
B
D
B
C
D