上海市闵行区2024-2025学年九年级上学期数学期中试题

这是一份上海市闵行区2024-2025学年九年级上学期数学期中试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（ ）
A．1：2 B．1：4
C．1：8 D．1：16
2．在中，，，，那么的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
3．已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是
A．B．C．D．
4．下列命题中，错误的是（ ）
A．如果或，那么
B．如果、为实数，那么
C．如果（为实数），那么
D．如果，那么或
5．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点处送到离地面3米高的处，则物体从到所经过的路程为（ ）
A．米B．米C．米D．9米
6．如图，在正方形中，点E，M是边上的点，与交于点F，G．如果，那么下列结论中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．已知，那么 ．
8．上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 厘米．
9．已知为单位向量，向量与的方向相反，且长度为6，那么 ．（用表示）
10．已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ．
11．已知、分别是的边上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似，那么添加一个条件可以为 （只填一个）．
12．如图，已知，如果，，，那么的长是 ．
13．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．

14．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = 90°，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，如果AD︰BC = 2︰3，那么DB︰AC = ．
15．如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ．
三、
16．已知两个相似三角形的周长之比是2:3，面积之差是50，那么这两个三角形中较小三角形的面积是 ．
17．在中，已知，，点是的重心，那么的长是 ．
18．中，，，，将此三角形绕点旋转，当点的对应点在直线上，点的对应点在点处，那么的面积是 ，
19．已知：如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．
(1)求的长度；
(2)过作于点，求的长度．
20．如图在平面直角坐标系内，已知点，，，，点在轴的负半轴上，且．
(1)求直线的表达式；
(2)点是直线在第三象限上的点，联结，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，联结，在直线上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题
21．计算：．
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．
（1）求EC：BC的值；
（2）设，，那么________，__________（用向量、表示）
23．图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，）
24．RtABC中，∠ACB=90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD=CA，DE⊥AB．
（1）求证：．
（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H．求证：CH⊥AB．
25．如图，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点．

(1)如图，当点落在梯形的中位线上时，求的长．
(2)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域．
(3)如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长．
参考答案：
1．B
【分析】利用相似三角形的相似比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答．
【详解】∵两个相似三角形对应边之比是1：4，
又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，
∴它们的对应中线之比为1：4．
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的相似比问题，须熟练掌握：①相似三角形的对应高、角平分线、中线的比等于相似比；②相似三角形的周长比等于相似比；③相似三角形的面积比等于相似比的平方．
2．D
【分析】本题考查了求一个数的余弦值，结合，代入数值化简计算，即可作答．
【详解】解：∵，，，
则
故选：D
3．B
【分析】根据题意作出图形，根据相似三角形的判定与性质逐项判断即可．
【详解】解：如图，
对于A，C，D选项，∵ ，，
，
又，
∴
B. 如图，
，
不能得到与平行
故选:B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意作出图形是解题的关键．
4．C
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】解：A、如果或，那么，故本选项正确，不符合题意；
B、如果、为实数，那么，故本选项正确，不符合题意；
C、如果（为实数），那么，故本选项错误，符合题意；
D、如果，那么或，故本选项正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质，属于中考常考题型．
5．A
【分析】根据坡比定义求出AC的长度，再根据勾股定理求出AB长度即可.
【详解】解：设BC⊥AC,垂足为C，
∵i=BC：AC=1：3
∴3：AC=1:3,
∴AC=9,
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
∴AB=米.
故选：A.
【点睛】本题考查解直角三角形，明确坡比的概念是解答此题的关键.
6．D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，正方形的性质的应用．推出，可判断选项A；由，可判断选项B；证明，可判断选项C；由于，可判断选项D．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
即，
∵，
∴，故选项A不合题意；
∵，
∴，故选项B不合题意；
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故选项C不合题意；
∵，
∴，
∴，
∴与不相似，故选项D符合题意；
故选：D．
7．/
【分析】本题考查了比例的性质．利用比例的性质计算即可．
【详解】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：．
8．4
【分析】根据题意及比例尺可直接进行求解．
【详解】解：∵200千米=20000000厘米，
∴上海与杭州的图上距离约为；
故答案为4．
【点睛】本题主要考查比例尺，熟练掌握图上距离=实际距离×比例尺是解题的关键．
9．
【分析】本题考查了向量的线性运算．解题的关键在于明确向量是有大小和方向的量．
两向量方向相反可做线性运算，单位向量长度为，故可得二者的数量关系．
【详解】解：∵为单位向量，向量与的方向相反，且长度为6，
∴做线性运算可得
故答案为：．
10．/
【分析】设则再利用，建立方程，解方程并检验即可得到答案.
【详解】解：设点是线段上的一点，，

，

整理得：




故答案为：
【点睛】本题考查的是成比例的线段，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解题的关键.
11．（答案不唯一）．
【分析】本题考查了相似三角形的判定．添加条件即可求得，即可解题．
【详解】解：∵，，
∴，
故添加条件即可求得．
故答案为：（答案不唯一）．
12．7
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质和判定．
过点D作交于点G，交于点H，根据，可得，四边形和四边形是平行四边形，从而得到，，进而得到，再证明，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作交于点G，交于点H，
∵，
∴，四边形和四边形是平行四边形，
∴， ，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴ ，
∴，
∴．
故答案为：7
13．
【分析】本题考查了解直角三角形．过点E作于，于，先利用正切三角函数可求出的值，在中，求出的值，然后根据线段的和差即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作于，于，

则四边形和四边形均为矩形，
，
由题意得：米，米，米，，，
在中，，即，
解得（米），
米，
在中，，，，
米，
（米），
答：2号楼的高度是米．
故答案为：．
14．
【分析】过点A作交CB的延长线于点E，先证明四边形AEBD是平行四边形，则有，进而将所求转化为求，然后利用得出，再证明，则有 ，设 ，则 ，进而利用可求出的值，则答案可求．
【详解】如图，过点A作交CB的延长线于点E，
，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴ ．
，
，
．
，
．
，
，
．
，
，
，
．
设 ，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，能够作出辅助线并将所求转化成角的正切值是解题的关键．
15．
【分析】过点D作于点F，首先根据题意可证得，，，根据勾股定理即可求得，，再由折叠的性质可知：，，即可求得，，再根据勾股定理即可求得，，由，可证得，，据此即可求得，，，再根据勾股定理即可求得，，据此根据勾股定理即可求得结果．
【详解】解：如图：过点D作于点F，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，
，
解得，
，
由折叠的性质可知：，，
，
解得，
，
在中，，
，
，
，
，
，
解得，，
，
在中，，
，
解得，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切的定义，作出辅助线及准确找到各线段之间的关系是解决本题的关键．
16．
【解析】略
17．
【解析】略
18．
【解析】略
19．(1)
(2)
【解析】略
20．(1)
(2)
(3)
【解析】略
21．2+．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
【详解】原式＝
＝，
＝，
＝2+．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
22．（1）EC：BC＝2：3；（2），．；
【分析】(1)根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；
(2)利用三角形法则计算即可；
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴3，
∴3，
∴EC：BC＝2：3．
（2）∵，AC＝2AO，
∴2，
∵2，ECBC，
∴，
∵AD∥BE，
∴，
∴BGBD，
∵222，
∴（22），
故答案为，．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm．
【分析】过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，由平行线的性质可得，得出，在与中，分别利用锐角三角函数求解得出，，托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出．
【详解】解：如图所示：过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为．
【点睛】题目主要考查平行线的性质，利用锐角三角函数解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用锐角三角函数是解题关键．
24．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）证明△DCE∽△BCD，根据相似三角形的对应边成比例即可得证；
（2）证明△CAE∽△CBA，可得∠CEA=∠CAB，由直角三角形的性质可证CM=AM，从而∠CAE=∠ACM，然后由等量代换可证∠CAB+∠ACM=90°，进而可证结论成立．
【详解】证明：（1）∵CA=CD，
∴∠A=∠CDA．
∵∠ACD=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∵DE⊥AB，
∴∠CDA+∠CDE=90°，
∴∠B=∠CDE．
∵∠DCE=∠BCD，
∴△DCE∽△BCD，
∴．
∵CD=CA，
∴，
∴；
（2）∵，∠ACE=∠BCA，
∴△CAE∽△CBA，
∴∠CEA=∠CAB．
∵∠ACB=90°，
∴∠CEA+∠CAE=90°．
∵M为AE的中点，∠ACE=90°，
∴CM=AM，
∴∠CAE=∠ACM．
∵∠CEA=∠CAB，
∴∠CAB+∠ACM=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CH⊥AB．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
25．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）如图中，延长交的延长线于，证明垂直平分线段，得，得到，由，，推出，即可得解；
（2）如图中，设交于，，，证明得，可得，证明得，可得，继而得到，再根据，即可得出结论；
（3）分三种情形：①如图中，当时；②如图中，当时；③如图中，当时，点与重合．分别求解即可．
【详解】（1）解：如图中，延长交的延长线于，
∵梯形中，，，
∴，
∵是梯形的中位线，
∴，，，
∴，即，
∵将沿着进行翻折，点的对应点为点，
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的长为；

（2）如图2中，过点作于点，设交于，设，，
∴，，
∵在梯形中，，，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵点在线段上（不与点重合），，，
∴，
∵将沿着进行翻折，点的对应点为点，
∴，，
∴垂直平分线段，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
，得：，
∴，
∴与之间的函数关系式为；

（3）①如图3中，当时，延长交于，设，
∵在梯形中，，，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵将沿着进行翻折，点的对应点为点，
∴，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴；

②如图中，当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴；

③如图中，当时，点与重合，
∵垂直平分，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，梯形的性质，梯形的中位线，垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
B
D
B
C
A
D