上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷

这是一份上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中，一定为二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知点P是线段的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在中，点D、E和F分别在边、和上，，，如果，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列关于向量的说法中，正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，，那么
C．已知是单位向量，如果，那么
D．如果，，其中是非零向量，那么
5．在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知在中，点D、E分别在边和上，连接、交于点F，下列条件中，不一定能得到和相似的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．已知，且，那么 ．
8．抛物线与y轴的交点坐标是 ．
9．已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ．
10．已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m的取值范围是 ．
11．如图，在中，是斜边上的高．如果，那么的长为 ．
12．如图，在中，，点D和点E在边上，，，那么 ．
13．如图，已知，且，那么 ．
14．如图，在中，点在边上，线段经过重心，向量，向量，那么向量 ．（用向量、表示）
15．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为 米．
16．如图，在中，点在边上，，点和分别在边和的延长线上，且，如果，那么 ．
17．定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点的“简朴点”，已知抛物线上一点的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为 ．
18．如图，在矩形中，，在边上取一点，将沿直线翻折，使点恰好落在边上的处，的平分线与边交于点，如果，那么 ．
三、解答题
19．如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．）
20．已知点在二次函数的图像上．
(1)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标；
(2)将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位后图像经过点，求的值．
21．已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如果二次函数的图像与x轴交于点A（不与原点重合），连结，试判断的形状并说明理由．
22．如图，已知在中，点D在边上，过点A作，交的延长线于点E，点F是延长线上一点，联结，如果．
(1)求证：；
(2)如果，，求的值．
23．如图，在中，是边上的高，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，且．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积；
(3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标．
25．如图，在矩形中，，，点E是射线上的一点，点F是边延长线上的一点，且．连接、，分别交射线于点O、点P，连接、．
(1)当点E在边上时，
①求证：；
②设，，求y关于x的函数解析式；
(2)过点E作射线的垂线，垂足为点Q，当时，请直接写出的长．
《上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷》参考答案
1．B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数．
【详解】解：、不是二次函数，不符合题意；
、，是二次函数，符合题意；
、，没有说明，不符合题意；
、，是正比例函数，不是二次函数，不符合题意；
故选：．
2．A
【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且，
∴，，
∴A正确，B，C，D不正确．
故选：A．
3．C
【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例结合平行四边形逐个判断即可．
【详解】解：∵，设，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
A、由可得，，故选项A错误，不符合题意；
B、由可得，故选项B错误，不符合题意；
C、由可得，故选项C正确，符合题意；
D、由可得，，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了平面向量的定义，向量的模，单位向量，平行向量，注意向量是既有大小又有方向的量，根据平面向量的定义，向量的模，单位向量，平行向量的定义一一判断即可．
【详解】解∶ A．如果，那么，故错误；
B．如果，，那么或，故错误；
C．已知是单位向量，如果，那么或，故错误；
D．如果，，其中是非零向量，那么，则，故正确，
故选：D．
5．D
【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象的综合判断，根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可．
【详解】解：当时，，则抛物线过原点，故选项B不符合题意，
A、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意；
C、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意；
D、直线中，，，抛物线中，，，即，一致，故本选项符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了三角形相似的判定，解题关键是熟记相似三角形的判定方法，准确进行推理证明．
画出图形，由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．
【详解】解：如图所示，
A．∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
又∵
∴，故A不符合题意；
B．∵，
∴
∴
∴
∴，故B不符合题意；
C．由不一定能得到和相似，故C符合题意；
D．∵
∴
∴
∴点D到的距离等于点E到的距离
∴
∴，故D不符合题意．
故选：C．
7．
【分析】本题考查了分式的基本性质、比例关系的应用，将比例式转化为只含的式子进行计算是解决本题的关键．
根据比例关系，用含有的式子表示出、、，再带入分式进行化简计算即可．
【详解】解： ．
，，．
．
故答案为：．
8．
【分析】把代入解析式求出y,根据y轴上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：当时，，
则抛物线与y轴交点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
9．
【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称可求得答案，掌握抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点、，
∴二次函数的对称轴为直线，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，可得抛物线开口向下，进而求解．
【详解】解：二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，
抛物线开口向下，
∴，
，
故答案为：．
11．
【分析】由题意易证，即得出，再代入数据求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵是斜边上的高，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去负值）
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
12．
【分析】本题主要考查的相似三角形的判定和性质，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
13．/0.6
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作，交于点H，交于点G，先证明四边形是平行四边形，再证明，再利用平行四边形的性质和相似三角形对应边成比例求解即可．
【详解】解：如图，过点A作，交于点H，交于点G，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了平面向量的三角形法则和重心性质（三角形的重心是各中线的交点，重心性质是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中点的线段长的），先求解，，再利用三角形的重心的性质可得答案．
【详解】解：如图，∵是中线，，
∴，

∵，
∴，
根据三角形的重心性质，，
∴；
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题意，河两岸平行，证明来解决问题，列出方程，求解即可．
【详解】解：如图，设河宽为h，
米，P到的距离是米，
∴，
∴，
∴
∴，
解得：米，
∴河宽为米．
故答案为：．
16．/0.375
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，比的性质，由，设，，，则，由，证明，然后根据性质即可求解，根据相似三角形的判定与性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴设，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了新定义“简朴点”，结合新定义“简朴点”确定的值是解题关键．首先根据“简朴点”的定义可知当时，可有，进而解得的值，即可确定该抛物线解析式，再确定点坐标，然后确定的坐标即可．
【详解】解：根据题意，抛物线上一点的简朴点是，
即当时，可有，
∴，解得，
∴该抛物线解析式为，
将点代入，可得，
∴，
∴该抛物线上点的简朴点的坐标为．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，过作于点，由四边形是矩形得，，则，根据角平分线的性质得，再证明，通过相似三角形的性质可得，最后由勾股定理和解一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由折叠性质可知：，
∵，，
∴，
∴，
∴设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
故答案为：．
19．见解析
【分析】本题考查本题主要考查了平面向量，注意：三角形法则在解题过程中的应用．
根据平面向量的加减运算法则求出，再由平面向量的几何意义作图．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
作图如下：
其中，，则，为所求向量．
20．(1)对称轴为直线；顶点的坐标为
(2)8
【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
（1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解；
（2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可．
【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上，
∴把，代入，得．
解得：．
∴二次函数的解析式为．
∴对称轴为直线．
顶点的坐标为．
（2）解：二次函数的解析式化为．
∵将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位，
∴平移后新二次函数的解析式为．
∵平移后图像经过点，
∴把，代入，得．
解得：．
21．(1)
(2)等腰直角三角形，见解析
【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数图像与x轴的交点，二次函数与特殊三角形问题．
（1）根据题意设二次函数的解析式为，由二次函数的图像经过原点，将点代入函数求出a的值即可；
（2）求出二次函数与x轴的交点，得到点A的坐标为，求出，利用勾股定理逆定理判断即可．
【详解】（1）解：∵二次函数图像的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图像经过原点，
∴把，代入得..
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵二次函数的图像与x轴交于点A，
∴把，代入，
解得，（舍去），
得点A的坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质．
（1）由平行线分线段成比例可得，结合，可得，进而证得，得到，从而．
（2）先求得，，根据，得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质．
（1）利用直角三角形的性质求得，推出，再证明，即可证明；
（2）利用两边对应成比例且夹角相等，推出，得到，再证明，据此即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是边上的高，点E是边的中点，
∴在中，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．(1)
(2)4
(3)
【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，相似三角形的判定与性质；
（1）把，代入计算即可；
（2）先求出点D坐标，再求出抛物线的对称轴与直线交点E坐标，即可根据求解；
（3）过点P作轴，垂足为H，证明，得到，设点，得到， ，列方程计算即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点是二次函数图像对称轴上的一点，
又∵二次函数图像的对称轴为直线，
∴，点D坐标为，
设直线的表达式为，
∵直线经过，，得，
解得，
∴直线的表达式为，
设抛物线的对称轴与直线交于点E，
∴点E坐标为，
∴，
∴；
（3）解：过点P作轴，垂足为H，
设点，
∴，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），，
即点P的横坐标是．
25．(1)①见解析；②
(2)；；
【分析】（1）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据，得到，，即可得到，然后利用勾股定理求出，和长，再过点E作交于点G，得到，即可求出长，即可得到，进而求出，然后根据勾股定理解题即可；
（3）先根据勾股定理求出长，过点E作交于点G，然后设，，得到，然后求出长，再分点P在线段上和点P在线段延长线上两种情况，根据解题即可．
【详解】（1）①证明：∵是矩形，
∴，，，，
∴，
∴；
②∵，
∴，，
∴，
∵，．
∴，
∴，
∴，
∴，
过点E作交于点G，
∴，
∴，即，
解得：，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：，
过点E作交于点G，
∵，
∴，
∴，
∴，
由②可得，，
设，，则，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
当点P在线段上时，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴或；
当点P在线段的延长线上时，如图，
同上可得，，即，
解得：，（舍去），
∴；
综上所述，长为或或．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形行的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
B
A
C
D
D
C