2022-2023学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷，共20页。
A．B．C．0D．2
2．（4分）如图，点、分别在的边、的延长线上，，，那么下列结论中，一定成立的是
A．B．C．D．
3．（4分）如图，与相交于点，，如果，那么下列说法中错误的是
A．B．
C．D．
4．（4分）已知向量、、为非零向量，下列条件中，不能判定的是
A．B．，C．，D．
5．（4分）如果抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，那么它与轴的一个交点的坐标是
A．B．C．D．
6．（4分）下列说法中，不一定成立的是
A．所有的等边三角形都相似
B．有一个钝角相等的两个等腰三角形相似
C．腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似
D．两边对应成比例的两个直角三角形相似
二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果，那么 ．
8．（4分）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么 ．
9．（4分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么 ．
10．（4分）若向量与单位向量的方向相反，且，则 ．（用表示）
11．（4分）抛物线的对称轴是直线 ．
12．（4分）已知二次函数的图象经过原点，那么 ．
13．（4分）已知点，，，在抛物线上，如果，那么 （填“”、“ ”或“”
14．（4分）如图，在等边中，，、分别是边、上的点，且，，则的长是 ．
15．（4分）已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是 ．
16．（4分）如图，将等边分割成9个全等的小等边三角形，点是其中一个小等边三角形的顶点，设，，那么向量 （用向量、表示）
17．（4分）如图，在中，，，是边上一点，且，如果点在边上，且与相似，那么 ．
18．（4分）如图，在中，，，，是斜边的中线，将绕点旋转，点、的对应点分别是点、，如果点在射线上，那么 ．
三.解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
20．（10分）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的解析式，并指出这个二次函数图象的对称轴．
21．（10分）已知抛物线经过点．
（1）求的值，并将抛物线的表达式写成的形式；
（2）将（1）中的抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位．
①平移后新的抛物线的表达式为 ；（用含字母的式子表示）
②如果新的抛物线的顶点在第四象限，求的取值范围．
22．（10分）如图．在和中，，，，，．
（1）求证：；
（2）求的值．
23．（12分）已知：如图，在和中，是的角平分线，，边与相交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
24．（12分）在平面直角坐标系中（如图），抛物线的顶点是，且经过点，过点作轴，交抛物线的对称轴于点．
（1）求抛物线的表达式和点的坐标；
（2）联结，如果点是该抛物线上一点，且位于第一象限，当时，求点的坐标．
25．（14分）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，联结．
（1）如图1，当点与点重合时，求的长；
（2）当直线与直线交于点时，设，；
①如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域；
②如果与相似，求的长．
2022-2023学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）已知抛物线的开口向上，那么的取值可以是
A．B．C．0D．2
【解答】解：抛物线开口向上，
，
，
那么的取值可以是2．
故选：．
2．（4分）如图，点、分别在的边、的延长线上，，，那么下列结论中，一定成立的是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，，
，
，故选项错误；
、，
，故选项错误；
、，
，
，故选项正确；
、由不能得出，
故选项错误．
故选：．
3．（4分）如图，与相交于点，，如果，那么下列说法中错误的是
A．B．
C．D．
【解答】解：，，，
，
，故选项、、正确，不符合题意，
，故选项错误，符合题意；
故选：．
4．（4分）已知向量、、为非零向量，下列条件中，不能判定的是
A．B．，C．，D．
【解答】解：，不能确定两个向量的方向，
无法判断，选项符合题意；
，，
，
，选项不符合题意；
，，
，选项，不符合题意；
，
，选项，不符合题意；
故选：．
5．（4分）如果抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，那么它与轴的一个交点的坐标是
A．B．C．D．
【解答】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
故选：．
6．（4分）下列说法中，不一定成立的是
A．所有的等边三角形都相似
B．有一个钝角相等的两个等腰三角形相似
C．腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似
D．两边对应成比例的两个直角三角形相似
【解答】解：、所有的等边三角形都相似一定成立；
、有一个钝角相等的两个等腰三角形相似一定成立；
、腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似一定成立；
、两边对应成比例的两个直角三角形相似不一定成立，
故选：．
二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果，那么 ．
【解答】解：
．
故答案为．
8．（4分）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么 2 ．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，，
，
，
故答案为：2．
9．（4分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么 ．
【解答】解：，
，
，
解得，
．
故答案为：．
10．（4分）若向量与单位向量的方向相反，且，则 ．（用表示）
【解答】解：向量与单位向量的方向相反，且，
．
故答案为：．
11．（4分）抛物线的对称轴是直线 ．
【解答】解：，
该抛物线的对称轴是直线，
故答案为：．
12．（4分）已知二次函数的图象经过原点，那么 4 ．
【解答】解：将代入得，
解得，
故答案为：4．
13．（4分）已知点，，，在抛物线上，如果，那么 （填“”、“ ”或“”
【解答】解：，
抛物线开口向下，对称轴为轴，
，
．
故答案为：．
14．（4分）如图，在等边中，，、分别是边、上的点，且，，则的长是 ．
【解答】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（4分）已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是 ．
【解答】解：直角三角形的两条直角边长分别为5和12，
斜边的长度为，
这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是．
故答案为：．
16．（4分）如图，将等边分割成9个全等的小等边三角形，点是其中一个小等边三角形的顶点，设，，那么向量 （用向量、表示）
【解答】解：，，
，
，
故答案为：，
17．（4分）如图，在中，，，是边上一点，且，如果点在边上，且与相似，那么 或 ．
【解答】解：与相似，
或，
，或，
或，
解得：，或，
故答案为：或．
18．（4分）如图，在中，，，，是斜边的中线，将绕点旋转，点、的对应点分别是点、，如果点在射线上，那么 ．
【解答】解：过点作于点，
，是斜边的中线，，
，
设，则，
由旋转性质知，，
，
，
由勾股定理得，
，
解得，
，，
，
．
故答案为：．
三.解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
【解答】解：原式
．
如图：，，
则即为所求．
20．（10分）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的解析式，并指出这个二次函数图象的对称轴．
【解答】解：设二次函数的解析式为，
二次函数的图象经过点、和，
，
解得，
这个二次函数的解析式是，
，
二次函数的对称轴为直线．
21．（10分）已知抛物线经过点．
（1）求的值，并将抛物线的表达式写成的形式；
（2）将（1）中的抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位．
①平移后新的抛物线的表达式为 ；（用含字母的式子表示）
②如果新的抛物线的顶点在第四象限，求的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线经过点，
把，代入，得，
解得．
抛物线表达式为
写成的形式为：．
（2）①根据平移规律．
②由①得，新抛物线得顶点坐标为，
又顶点在第四象限，
，
的取值范围为．
22．（10分）如图．在和中，，，，，．
（1）求证：；
（2）求的值．
【解答】（1）证明：，，，，．
，，
，
．
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
的值是．
23．（12分）已知：如图，在和中，是的角平分线，，边与相交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【解答】（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
，，
，
，
，
由（1）得，
，
，
．
24．（12分）在平面直角坐标系中（如图），抛物线的顶点是，且经过点，过点作轴，交抛物线的对称轴于点．
（1）求抛物线的表达式和点的坐标；
（2）联结，如果点是该抛物线上一点，且位于第一象限，当时，求点的坐标．
【解答】解：（1）由抛物线的顶点是，
可设抛物线的表达式为，，
抛物线经过点，
，得．
抛物线的表达式为．
轴，交抛物线的对称轴于点，
．
（2）抛物线的一般式，
设，．
如图，连接，过点作，垂足为点，连接．
，，
在与中，
，，
，
，
，，
，
解得（舍或．
，．
25．（14分）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，联结．
（1）如图1，当点与点重合时，求的长；
（2）当直线与直线交于点时，设，；
①如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域；
②如果与相似，求的长．
【解答】解：（1）四边形是矩形，，，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）①，
，
，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，
；
②，且点不可能在线段上，
与相似有两种可能：
、点在线段的延长线上（如图2中），
，
，
，
，
，
，
，
．
、点在线段的延长线上（如图3中），
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的值为4或8．