数学选择性必修 第一册空间向量及其运算当堂检测题

这是一份数学选择性必修 第一册空间向量及其运算当堂检测题，文件包含人教A版选择性必修一高二数学上册同步考点归纳讲与练112空间向量的数量积运算原卷版docx、人教A版选择性必修一高二数学上册同步考点归纳讲与练112空间向量的数量积运算解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
1、定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，
即．
2、数量积的运算规律：
（1）； （2）（交换律） （3）（分配律）
二、空间向量数量积的性质
设，是非零向量，是单位向量，则
①； ②；
③或； ④； ⑤
三、空间向量的夹角
1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：.
那么空间两个向量、的夹角的余弦.
2、求两个向量的夹角有两种方法：
方法一：
（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小
（2）先求，再利用公式求，最后确定.
方法二：
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小
四、求空间向量数量积的步骤
1、将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，
2、利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积，
3、代入求解.
五、利用空间向量求模长
在空间两个向量的数量积中，特别地，
所以向量的模：。
将其推广：
题型一 求空间向量的数量积
【例1】已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）； （2）．
【变式1-1】如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式1-2】如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式1-3】已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】如图，四棱锥中，垂直平分.，则的值是__．
题型二 利用数量积求角度
【例2】如图，已知正方体，设，，，则（ ）.
A． B． C． D．
【变式2-1】如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G分别是DC、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
【变式2-2】⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱AB、▱BC的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线与AC所成的角.
【变式2-3】若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
【变式2-4】已知空间向量，，设，，与垂直，，，则________．
题型三 利用数量积求长度
【例3】已知空间中单位向量、，且，则的值为________.
【变式3-1】如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（ ）
A． B． C．或 D．3或
【变式3-2】如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】四棱柱的底面为矩形，，，，，则的长为（ ）
A． B．46 C． D．32
【变式3-4】如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从D，C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距（ ）
A． B． C． D．
题型四 利用数量积证明垂直关系
【例4】已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.求证：MN为AB和CD的公垂线.
【变式4-1】在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，求证：；
【变式4-2】如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求证：OA⊥BC．
【变式4-3】如图，在四面体中，E，F，G，H分别是，，，的中点．若，，求证：.
1.1.2 空间向量的数量积运算
【题组1 求空间向量的数量积】
1、四面体中，各棱长均为，点分别是的中点，则下列向量的数量积等于的是（ ）
A． B． C． D．
2、如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3、在三棱锥中，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．
4、如图，在平行六面体中，，，，则（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
5、如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（ ）
A． B． C． D．
6、棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
7、在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1，＝（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．不确定
【题组2 利用空间向量求角度】
1、已知，是两个空间单位向量，它们的夹角为，设向量，．求：
（1）； （2）向量与的夹角.
2、在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．
3、如右图所示，已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．
4、如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:
（1）的长；（2）直线与所成角的余弦值.
5、如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为.求：（1）的长；（2）与夹角的余弦值.
6、如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，
（1）用，，表示；（2）求向量与向量所成角的余弦值.
【题组3 利用数量积求长度】
1、已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）．
A． B．97 C． D．61
2、已知空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，=_____.
3、平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
4、如图，在三棱柱中，与交于点，，，，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
5、如图，在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6、如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.
7、平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于( )
A．5 B．6 C．4 D．8
【题组4 利用数量积证明垂直关系】
1、已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点；求证：OG⊥BC.
2、如图，在四面体中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若，求证：．
3、已知平行六面体的各棱长均为1，且．
求证：；
4、如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，.
（1）用向量表示向量；（2）求证.
5、如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为．设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1.