黑龙江省2024_2025学年高二数学下学期第一次月考试题含解析

这是一份黑龙江省2024_2025学年高二数学下学期第一次月考试题含解析，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟 总分：150 分
一、单项选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合要求）
1. 若数列{an}满足 an＋1＝ ，a3＝3，则 a2 024＝（ ）
A. － B.
C. D. 3
【答案】B
【解析】
【详解】因为 an＋1＝ ，a3＝3，所以 a3＝ ＝3，解得 a2＝ .又 a2＝ ＝ ，解得 a1＝－ .又 a4＝
＝－ ，a5＝ ＝ ，a6＝ ＝3，显然，接下去 a7＝－ ，a8＝ ，a9＝3，…，所以数列{an}是以 3
为周期的数列，则 a2 024＝a2＋3×674＝a2＝ .故选 B.
2. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的性质求解.
【详解】由题意得 .
故选：B
3. 等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】把等比数列 各项用基本量 和 表示，根据已知条件列方程即可求解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由 ，得： ，
即： ，
所以， ，
又 ，所以， ，
所以，
故选：A.
4. 已知等差数列 的公差 ， ， ，记该数列的前 n 项和为 ，则 的最大值
为（ ）
A. 20 B. 24 C. 36 D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出 及通项公式，再确定所有非负数项即可得解.
【详解】等差数列 中，公差 ，即数列 是递减等差数列，
显然 ，而 ，且 ，解得 ，则 ，
，由 ，得 ，因此数列 前 9 项均 非负数，从第 10 项起均为负
数，
所以 的最大值为 .
故选：C.
5. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＋2SnSn－1＝0（n≥2）.若 S5＝ ，则 a1＝（ ）
A. 1 B. －3 C. D. －
【答案】C
【解析】
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【详解】解析：由 an＋2SnSn－1＝0（n≥2），得 Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，同时除以 SnSn－1，得 － ＝2，所
以数列{ }是公差为 2 的等差数列，所以 ＝ ＋4×2＝11，所以 a1＝S1＝ .故选 C.
6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有 1
个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，第四层有 10 个球，…，设从上往下各层的球数构成数列 ，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得 ，后由裂项求和法可得答案.
【详解】注意到 ，则 .
则
故选：B
7. 已知函数 （ ， ）的两个零点分别为 ， ，若 ， ，-1 三个数适当
调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】由韦达定理可知， ， ，所以调整顺序后-1， ， 成等差数列， ，-1， 成等比
数列，从而列出关系得到 ， 的值，再由韦达定理得 的值，再解分式不等式即可得结果.
【详解】由韦达定理可知， ， ，
所以调整顺序后-1， ， 成等差数列， ，-1， 成等比数列，
所以 ， ，所以 ， ，
，∴ ， ，∴ ，
解集 ，
故选：A．
8. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，M，N 为双曲线一条渐近线上
的两点， 为双曲线的右顶点，若四边形 为矩形，且 ，则双曲线 的离心率为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由四边形 为矩形，可设以 MN 为直径的圆的方程为 ，设直线 MN 的方程为
，联立求出 ，进而求出 ，再在 中利用余弦定理即可求解.
【详解】如图，因为四边形 为矩形，所以 （矩形的对角线相等），所以以 MN 为
直径的圆的方程为 .
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直线 MN 为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为 ，
由 解得 ，或
所以 ， 或 ， .
不妨设 ， ，又 ，
所以 ， .
在△AMN 中， ，
由余弦定理得 ，
即 ，
则 ，所以 ，则 ，
所以 .
故选 C.
二、多项选择题（共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分）
9. 已知 ，则方程 表示的曲线可能是（ ）
A. 两条直线 B. 圆
C. 焦点在 轴的椭圆 D. 焦点在 轴的双曲线
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据直线、圆、椭圆和双曲线的定义以及方程一一判断求解.
【详解】对 A，因为 ，所以可取 ，
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则有 或 ，表示两条直线，A 正确；
对 B，因为 ，所以可取 ，
则有 ，表示圆，B 正确；
对 C，因为 ，所以可取 ，
则有 ，表示焦点在 轴的椭圆，C 正确；
对 D，因为 ，所以该曲线方程不可能为焦点在 轴的双曲线，D 错误；
故选:ABC.
10. 等差数列 中， ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前 项和公式，即可求解.
【详解】A. ，故 A 正确；
B.设等差数列的公差为 ，则 ，得 ，则
，故 B 正确；
C. ，则 ， ，
则 ，即 ，所以 ，故 C 错误；
D.若 ，则 ， ，
因为 ， ，所以公差 ，则 ，
所以 ，故 D 错误.
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故选：ABD
11. 已知数列 和 满足 ， ， ， ．则（ ）
A. 是等比数列 B. 是等差数列
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】将已知的两式相加、相减可得有关结论.
【详解】由已知： ，
得： 且 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
故 A 正确，且 ③
故 C 错误；
得： 且 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列.
故 B 正确，且 ④
③ ④得： ，
故 D 正确.
故选：ABD
三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知各项都为正数的等比数列 ，若 ，则
__________.
【答案】9
【解析】
【分析】首先分析题意，利用等比中项性质化简求解即可.
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【详解】已知各项都为正数的等比数列 ，且 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故答案为：9.
13. 已知 是椭圆 上异于点 ， 的一点， 的离心率为 ，则
直线 与 的斜率之积为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由题知 ，再设 ，进而直接计算 即可.
【详解】解：因为 的离心率为 ，所以 ，解得： ，
设 ，则 ，所以
所以， ．
故答案为：
14. 已知正项等比数列 的前 n 项和为 且 ，则 的最小值为______.
【答案】24
【解析】
【分析】由等比数列的性质可得 成等比数列，结合已知条件可得
,利用基本不等式可求最小值.
【详解】正项等比数列 的前 n 项和为 ，则 ，
由已知 ，可得 ，
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由等比数列的性质可得 成等比数列，则 ，
综上可得 ，
当且仅当 时等号成立.
综上可得， 的最小值为 24.
故答案为：24
四、解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 给出以下三个条件：① ；② ， ， 成等比数列；③ ．请从这三个条件中任选一个，
补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分．
已知公差不为 0 的等差数列 的前 n 项和为 ， ，______．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 20 项和．
【答案】（1）
（2）400
【解析】
【分析】（1）若选①，则根据等差数列的前 项和公式，结合 ，求得公差，可得答案；若选②，
则根据 ， ， 成等比数列，列出方程，结合 ，求得公差，可得答案；若选③，则根据
，列出方程，结合 ，求得公差，可得答案；
（2）由（1） ，再根据等差数列的求和公式求解即可.
【小问 1 详解】
设数列 的公差为 .
选择①，由题意得 ，又 ，则 ，
所以 ；
选择②，由 ， ， 成等比数列，得 ，又 ，所以 ，
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解得 ，或 （舍去），所以 ；
选择③，由 ，及 得 ，解得 ，所以 ．
【小问 2 详解】
由（1） ，则
16. 已知数列 的前 项和 ，等比数列 的公比 ，且 ， 是 ，
的等差中项．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】（1）利用 与 的关系可求得数列 的通项公式；由等差中项的性质可得 ，
结合 即可得 ， ，再根据等比数列的性质可得 ，求得
， 后，即可得数列 的通项公式；
（2）由题意 ，利用分组求和法与裂项相消法即可得解.
【详解】（1） ， 当 时， ，
又 时， 满足上式，
；
是 ， 的等差中项，可得 ，
又等比数列 的公比 ，且 ，
， ，
又 ， ，解得 ， ，
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， ，
；
（2） ，
．
【点睛】本题考查了数列 与 关系的应用及等差数列、等比数列的综合应用，考查了分组求和法与裂项
相消法的应用，属于中档题.
17. 已知椭圆 ，左顶点为 ，经过点 ，过点 A 作斜率为 的
直线 l 交椭圆 C 于点 D，交 y 轴于点 E．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知 P 为 的中点， ，证明：对于任意的 都有 恒成立．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设椭圆方程 ，根据椭圆左顶点为 ，经过点 求解即可；
（2）利用点差法求出直线 的斜率，再利用直线 的斜率相乘为 ，证得两直线垂直.
【小问 1 详解】
设椭圆方程 ，则因为椭圆左顶点为 ，故 ，
又椭圆经过点 ，故 ，解得 ，故椭圆方程 .
小问 2 详解】
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设 ，则 ，
故 ，则 ，即 ，
故 ，因为直线 的斜率为 ，所以 ，
设直线 的方程为 ，当 时， ，故 ，所以 ，
所以 ，
即对于任意的 都有 恒成立.
18. 已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，且数列 的前 项和为 ，若 都有不等式 恒成立，求 的取
值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先得 ，进一步由 的关系得 是以 为首项， 为公比的等比数列，由此即可
求解；
（2）由等差数列求和公式、错位相减法求得 表达式，进一步原问题等价于 不等式 恒
成立，由此即可求解.
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【小问 1 详解】
因为 ，①
当 时可得 ，即 .
当 时， ，②
由①-②得 ，即 ，
即 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，
，
两式相减得， ，
即 ，则 ，
故 .
由 ，得 ，即 ，
依题意， 不等式 恒成立，
因为 随着 增大而减小，
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所以 ，即 的取值范围为 .
19. 已知点 ，直线 ，动圆过点 F 且与直线 l 相切，动圆圆心轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）已知定点 ，过点 P 的直线 m 交曲线 C 与 M，N 两点．
①若直线 与直线 l 交于点 H，求 的最小值；
②在 y 轴上是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得 ．
【答案】（1）
（2）①25；②存
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）①设 ，再联立抛物线的方程可得韦达定理，再利用弦长公式得到 关于 的
表达式，结合基本不等式即可得解；
②设 ，将 转化为 ，再代入点坐标，联立直线与抛物线的方程，根据韦
达定理化简求解即可.
【小问 1 详解】
由题意，动圆圆心到点 的距离等于到直线 的距离，
故曲线 是以 为焦点， 为准线的抛物线，故曲线 的方程为 .
【小问 2 详解】
由题意知 的斜率一定存在且不为零，设为 ，则 ，
设 ，联立 ，得 ，
则 ， ， ，
而 ， ， ，
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则
.
当且仅当 ，即 时取得最小值 25.
②设 ，根据 可得 ，
即 ， ，即 ，
故 ， ，
，
，解得 ，即
【点睛】
方法点睛：
（1）斜率为 的直线上两点 间的距离为 ；
（2）解析几何中需要将已知条件转换为点坐标、斜率之间的关系，再化简根据韦达定理求解.
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