2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二下册第一次月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二下册第一次月考数学检测试卷（附解析），共13页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 已知，则＝， 下列求导结果正确的是， 已知数列的项满足，而，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.
2.请将答案正确填写在答题卡上.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 在等差数列中，若，，则公差等于（ ）
A. 2B. 3C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，由等差数列的公差计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得.
故选:C
2. 在等比数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据等比中项的性质计算可得.
【详解】由，∴．
故选：D
3. 已知，则＝ （ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由导数的运算法则验算即可.
【详解】由题意.
故选：C.
4. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C D.
【正确答案】A
【分析】由初等函数导数公式求导.
【详解】，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D错误.
故选：A
5. 已知数列是首项为5，公差为2等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案.
【详解】由题意得，即，则．
故选：A．
6. 已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用导数的定义求出抛物线在点处的切线的斜率，即可得出该切线的倾斜角.
【详解】抛物线在点处的切线的斜率为
，故切线的倾斜角为．
故选：B.
7. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A. B. C. 2D.
【正确答案】B
【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参.
【详解】因为曲线，所以
所以在点处的切线斜率为，
直线斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以.
故选：B.
8. 已知数列的项满足，而，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得.
【详解】因为，所以，
则，，，，，，
累乘可得，
所以，又，所以，
经检验时也成立，
所以.
故选：B
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的0分.
9. 已知数列{}中，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若{}是等比数列，则=-8或8B. 若{}是等比数列，则或-16
C. 若{}是等差数列，则=17D. 若{}是等差数列，则公差为
【正确答案】BCD
【分析】分类讨论根据等差等比数列的相关知识即可进行判断.
【详解】由已知，
当数列{}为等差数列时：
，解得，故D正确
，解得，故C正确.
当数列{}为等比数列时：
，所以，解得
，故A错误.
，故B正确.
故选：BCD
10. 若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是
A. B.
C. 数列是等比数列D. 数列是等比数列
【正确答案】AC
【分析】
根据题意，先得到，再由，推出数列是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为为数列的前项和，且，
所以，因此，
当时，，即，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
因此，故A正确；
又，所以，故B错误；
因为，所以数列不是等比数列，故D错误.
故选：AC.
本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
11. 下列命题正确的有（ ）
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
【正确答案】BD
【分析】通过导数的概念可判断选项，对复合函数求导然后计算可判断选项，直接用除法的求导法则可判断选项，对于选项直接求导然后代数解方程即可.
【详解】对于因为函数在上可导，且，
所以，故错误.
对于因为，若则，即，故正确.
对于因为，故错误.
对于因为,故，故，正确.
故选:
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等比数列满足，，则公比q=__________．
【正确答案】
【分析】利用等比数列的通项公式由条件列方程，解方程求q.
【详解】∵数列为等比数列，公比为q，，，
∴ ，
∴ ，
故答案为.
13. 已知函数，则______．
【正确答案】
【分析】对求导，再代入，从而求得，进而得到，由此计算可得.
【详解】因为，所以，
则，解得：，
所以，则.
故答案为.
14. 已知数列满足.且，若，则______.
【正确答案】
【分析】利用构造法与迭代法求得，从而利用并项求和法即可得解.
【详解】因为，所以，
又，则，
所以
，
故，则，
所以，
则的各项分别为，
所以
.
故
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值．
【正确答案】（1）an＝－2n＋5.（2）4
【详解】（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．
（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．
16. 已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【正确答案】（1），；
（2）.
【分析】（1）利用基本量，结合题意，列出方程组，求得以及公差，即可求得两个数列的通项公式；
（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，即可求得.
【小问1详解】
设的公差为，因为是的等比中项，故，
即，
整理得：，又，故可得；
又，即，故，，
解得，，；
故，.
【小问2详解】
由（1）可知，，故，
故
.
故数列的前项和.
17. 已知函数的图象在原点处的切线的斜率为2.
（1）求的值；
（2）若，求曲线的过点的切线方程.
【正确答案】（1）或1
（2）或
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列式求解的值即可；
（2）结合（1）可得，设切点为，结合导数的几何意义，利用点斜式方程求出切线方程，最后利用过点求出的值，即可得解.
小问1详解】
由已知得，
根据题意得，解得或1；
【小问2详解】
因为，所以由（1）可得，
所以，
设切点坐标为，则切线的斜率，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
得，解得或，
所以切线方程为或.
18. 已知曲线.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程.
【正确答案】（1）
（2）和.
【分析】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得；
（2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得.
小问1详解】
，
当时，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为，
故切线方程为，
因为切线过点，所以，
即，所以或，
故过点且与曲线相切的直线有两条，
其方程分别是和，
即和.
19. 在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题．
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有______．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
【正确答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）条件①不符合题意.如果选条件②，则可根据及条件②，得到，从而可判断是等差数列，求得的通项公式，进而得到的通项公式，最后得到的通项公式.如果选条件③，可直接得到与的关系，进而可得到的通项公式.
（2）由已知条件，可求得的通项公式，从而得到的表达式，即可证明.
【小问1详解】
对于条件①，当时，，不符合题意．（如果选条件①，不得分）
如选②：，
，，
则是公差为1的等差数列，
则，则．
当时，，
当时，满足上式．
所以的通项公式为．
如选③：因为，则，
当时，，解得：．
当时，，
即，因为，所以，
则是首项为1，公差为2的等差数列，
所以的通项公式为．
【小问2详解】
因为，
．
因为，且在时单调减小，
所以，且在时单调增加，并在时取最小值，
所以．