黑龙江省实验中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份黑龙江省实验中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：高二数学备课组
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1. 若数列{an}满足an＋1＝，a3＝3，则a2 024＝（ ）
A. －B.
C D. 3
2. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
3. 等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ）
A. 20B. 24C. 36D. 40
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0（n≥2）.若S5＝，则a1＝（ ）
A. 1B. －3C. D. －
6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）

A B. C. D.
7. 已知函数（，）的两个零点分别为，，若，，-1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）
9. 已知，则方程表示的曲线可能是（ ）
A. 两条直线B. 圆
C. 焦点在轴的椭圆D. 焦点在轴的双曲线
10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 已知数列和满足，，，．则（ ）
A. 是等比数列B. 是等差数列
C. D.
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知各项都为正数的等比数列，若，则__________.
13. 已知是椭圆上异于点，的一点，的离心率为，则直线与的斜率之积为__________．
14. 已知正项等比数列的前n项和为且，则的最小值为______.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15 给出以下三个条件：①；②，，成等比数列；③．请从这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分．
已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，______．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前20项和．
16. 已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
17. 已知椭圆，左顶点为，经过点，过点A作斜率为的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．
（1）求椭圆C方程；
（2）已知P为的中点，，证明：对于任意的都有恒成立．
18. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围.
19. 已知点，直线，动圆过点F且与直线l相切，动圆圆心轨迹为曲线．
（1）求曲线方程；
（2）已知定点，过点P的直线m交曲线C与M，N两点．
①若直线与直线l交于点H，求的最小值；
②在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得．
黑龙江省实验中学2023-2024学年下学期高二年级第一次月考
数学试题
考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：高二数学备课组
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1. 若数列{an}满足an＋1＝，a3＝3，则a2 024＝（ ）
A. －B.
C. D. 3
【答案】B
【解析】
【详解】因为an＋1＝，a3＝3，所以a3＝＝3，解得a2＝.又a2＝＝，解得a1＝－.又a4＝＝－，a5＝＝，a6＝＝3，显然，接下去a7＝－，a8＝，a9＝3，…，所以数列{an}是以3为周期的数列，则a2 024＝a2＋3×674＝a2＝.故选B.
2. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的性质求解.
【详解】由题意得.
故选：B
3. 等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把等比数列各项用基本量和表示，根据已知条件列方程即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
由，得：，
即：，
所以，，
又，所以，，
所以，
故选：A.
4. 已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ）
A. 20B. 24C. 36D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出及通项公式，再确定所有非负数项即可得解.
【详解】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列，
显然，而，且，解得，则，
，由，得，因此数列前9项均非负数，从第10项起均为负数，
所以的最大值为.
故选：C.
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0（n≥2）.若S5＝，则a1＝（ ）
A. 1B. －3C. D. －
【答案】C
【解析】
【详解】解析：由an＋2SnSn－1＝0（n≥2），得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，同时除以SnSn－1，得－＝2，所以数列{}是公差为2的等差数列，所以＝＋4×2＝11，所以a1＝S1＝.故选C.
6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得，后由裂项求和法可得答案.
【详解】注意到，则.
则
故选：B
7. 已知函数（，）的两个零点分别为，，若，，-1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由韦达定理可知，，，所以调整顺序后-1，，成等差数列， ，-1，成等比数列，从而列出关系得到，的值，再由韦达定理得的值，再解分式不等式即可得结果.
【详解】由韦达定理可知，，，
所以调整顺序后-1，，成等差数列， ，-1，成等比数列，
所以，，所以，，
，∴，，∴，
解集，
故选：A．
8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由四边形为矩形，可设以MN为直径的圆的方程为，设直线MN的方程为，联立求出，进而求出，再在中利用余弦定理即可求解.
【详解】如图，因为四边形为矩形，所以（矩形的对角线相等），所以以MN为直径的圆的方程为.

直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为，
由解得，或
所以，或，.
不妨设，，又，
所以，.
在△AMN中，，
由余弦定理得，
即，
则，所以，则，
所以.
故选C.
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）
9. 已知，则方程表示的曲线可能是（ ）
A. 两条直线B. 圆
C. 焦点在轴的椭圆D. 焦点在轴的双曲线
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据直线、圆、椭圆和双曲线的定义以及方程一一判断求解.
【详解】对A，因为，所以可取，
则有或，表示两条直线，A正确；
对B，因为，所以可取，
则有，表示圆，B正确；
对C，因为，所以可取，
则有，表示焦点在轴的椭圆，C正确；
对D，因为，所以该曲线方程不可能为焦点在轴的双曲线，D错误；
故选:ABC.
10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，即可求解.
【详解】A.，故A正确；
B.设等差数列的公差为，则，得，则，故B正确；
C.，则，，
则，即，所以，故C错误；
D.若，则，，
因为，，所以公差，则，
所以，故D错误.
故选：ABD
11. 已知数列和满足，，，．则（ ）
A. 是等比数列B. 是等差数列
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】将已知的两式相加、相减可得有关结论.
【详解】由已知：，
得：且，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
故A正确，且③
故C错误；
得：且，
所以是以为首项，为公差的等差数列.
故B正确，且④
③④得：，
故D正确.
故选：ABD
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知各项都为正数的等比数列，若，则__________.
【答案】9
【解析】
【分析】首先分析题意，利用等比中项性质化简求解即可.
【详解】已知各项都为正数的等比数列，且，
所以，解得或（舍去），
所以.
故答案为：9.
13. 已知是椭圆上异于点，的一点，的离心率为，则直线与的斜率之积为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题知，再设，进而直接计算即可.
【详解】解：因为的离心率为，所以，解得：，
设，则，所以
所以，．
故答案为：
14. 已知正项等比数列的前n项和为且，则的最小值为______.
【答案】24
【解析】
【分析】由等比数列的性质可得成等比数列，结合已知条件可得,利用基本不等式可求最小值.
【详解】正项等比数列的前n项和为，则，
由已知，可得，
由等比数列的性质可得成等比数列，则，
综上可得，
当且仅当时等号成立.
综上可得，的最小值为24.
故答案为：24
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 给出以下三个条件：①；②，，成等比数列；③．请从这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分．
已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，______．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前20项和．
【答案】（1）
（2）400
【解析】
【分析】（1）若选①，则根据等差数列的前项和公式，结合，求得公差，可得答案；若选②，则根据，，成等比数列，列出方程，结合，求得公差，可得答案；若选③，则根据，列出方程，结合，求得公差，可得答案；
（2）由（1），再根据等差数列的求和公式求解即可.
【小问1详解】
设数列的公差为.
选择①，由题意得，又，则，
所以；
选择②，由，，成等比数列，得，又，所以，
解得，或（舍去），所以；
选择③，由，及得，解得，所以．
【小问2详解】
由（1），则
16. 已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】（1）利用与的关系可求得数列的通项公式；由等差中项的性质可得，结合即可得，，再根据等比数列的性质可得，求得，后，即可得数列的通项公式；
（2）由题意，利用分组求和法与裂项相消法即可得解.
【详解】（1），当时，，
又时，满足上式，
；
是，的等差中项，可得，
又等比数列的公比，且，
，，
又，，解得，，
，，
；
（2），
．
【点睛】本题考查了数列与关系的应用及等差数列、等比数列的综合应用，考查了分组求和法与裂项相消法的应用，属于中档题.
17. 已知椭圆，左顶点为，经过点，过点A作斜率为的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P为的中点，，证明：对于任意的都有恒成立．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设椭圆方程，根据椭圆左顶点为，经过点求解即可；
（2）利用点差法求出直线的斜率，再利用直线的斜率相乘为，证得两直线垂直.
【小问1详解】
设椭圆方程，则因为椭圆左顶点为，故，
又椭圆经过点，故，解得，故椭圆方程.
小问2详解】
设，则，
故，则，即，
故，因为直线的斜率为，所以，
设直线的方程为，当时，，故，所以，
所以，
即对于任意的都有恒成立.
18. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先得，进一步由的关系得是以为首项，为公比的等比数列，由此即可求解；
（2）由等差数列求和公式、错位相减法求得表达式，进一步原问题等价于不等式恒成立，由此即可求解.
【小问1详解】
因为，①
当时可得，即.
当时，，②
由①-②得，即，
即是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
，
两式相减得，，
即，则，
故.
由，得，即，
依题意，不等式恒成立，
因为随着增大而减小，
所以，即的取值范围为.
19. 已知点，直线，动圆过点F且与直线l相切，动圆圆心轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知定点，过点P的直线m交曲线C与M，N两点．
①若直线与直线l交于点H，求的最小值；
②在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得．
【答案】（1）
（2）①25；②存
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）①设，再联立抛物线的方程可得韦达定理，再利用弦长公式得到关于的表达式，结合基本不等式即可得解；
②设，将转化为，再代入点坐标，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理化简求解即可.
【小问1详解】
由题意，动圆圆心到点的距离等于到直线的距离，
故曲线是以为焦点，为准线的抛物线，故曲线的方程为.
【小问2详解】
由题意知的斜率一定存在且不为零，设为，则，
设，联立，得，
则，，，
而，，，
则
.
当且仅当，即时取得最小值25.
②设，根据可得，
即，，即，
故，，
，
，解得，即
【点睛】
方法点睛：
（1）斜率为的直线上两点间的距离为；
（2）解析几何中需要将已知条件转换为点坐标、斜率之间的关系，再化简根据韦达定理求解.