数学函数的概念及其表示练习题

这是一份数学函数的概念及其表示练习题，文件包含人教A版必修第一册高一数学上册同步讲与练第12讲函数值域的六种常见求法原卷版docx、人教A版必修第一册高一数学上册同步讲与练第12讲函数值域的六种常见求法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
【例1】函数的定义域是，求值域。
【答案】
【详解】解法一：图象法：由题意知函数是由向右平移个单位得到，画出函数图象易得值域为
解法二：直接利用不等式性质：因为，所以，所以，所以
【例2】函数的值域是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【详解】因为，所以，所以，所以
【例3】函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解： 又，所以函数的值域为
故选：A
【例4】（多选）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BCD
【分析】利用常数分离法知，根据x的取值范围结合不等式的性质求出的取值范围，进而得到函数的值.
【详解】，
当时，，，，此时的取值为1；
当时，，，，此时的取值为2，3．
综上，函数的值可能为．故选：BCD．
【例5】已知函数的定义域为，值域为R，则（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为R
C．函数的定义域和值域都是R
D．函数的定义域和值域都是R
【答案】B
【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令，推出的定义域判断正误；
对于B选项：因为的值域为R，所以的值域为R，进而推导出的值域，判断正误；对于C选项：令，求出函数的定义域，即可判断正误；
对于D选项：若函数的值域为R，则，即可判断正误；
【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；
对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确；对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.故选：B
【例6】（多选）函数的函数值表示不大于x的最大整数，当时，下列函数时，其值域与的值域相同的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ABD
【分析】根据取整函数的概念，求得函数的值域为，再分别求得选项中函数的值域，即可求解，得到答案．
【详解】当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，．所以当时，的值域为．
对于A选项，，，该函数的值域为；
对于B选项，，，该函数的值域为；
对于C选项，，，该函数的值域为；
对于D选项，，，该函数的值域为．故选：ABD．
【题型专练】
1.函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为，所以，因此，函数的值域是.故选：B.
2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
【答案】C
【分析】根据孪生函数的定义，即函数的定义域不同而已，由得，；由，得，分别写出函数的定义域即可．
【详解】函数解析式为，值域为，由得，；
由，得，则定义域可以为，，，，，
，，，，因此“孪生函数”共有9个．故选：C
3．下列函数中，值域是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】利用完全平方、常熟分离、绝对值的意义，即可得到结果.
【详解】对于A，，值域为，A不正确；
对于B，，值域为，B不正确；
对于C，，值域为，C正确；
对于D，，值域为，D正确.故选:CD.
4．函数且的值域是（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】根据函数性质及其定义域即可判断值域.
【详解】解：且，或.，故函数的值域为．
故选：D.
5．函数（）的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分离常数，再求出，从而得到即可得到答案.
【详解】，由于，∴，，，
于是，故函数的值域为.故选：A.
题型二：配方法（一般适用求二次函数的值域，一般看开口方向和对称轴即可）
【例1】已知，定义域为 [1，3]，求其值域。
【答案】
【详解】由题意知函数的开口向上，对称轴为，所以在上为单调递增函数，所以 ， 得值域为
【例2】函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，且，
所以，即的值域为.故选：A
【例3】函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由得，得，设，则，
所以，即函数的值域是.故选：C
【例4】已知函数的最大值为,最小值为,则的值为_________.
【答案】
【详解】函数定义域，
设，开口向下，对称轴为，
当时，，当时
所以，所以，所以
【例5】函数的值域为，则实数的可能取值是（ ）
A． B． C．D．
【答案】ABC
【分析】根据各选项中的取值，依次判断的值域即可得到结果.
【详解】对于A，当时，，则值域为，A正确；
对于B，当时，，则值域为，B正确；
对于C，当时，，则值域为，C正确；
对于D，当时，，则值域为，D错误.
故选：ABC.
【例6】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，当时，；当或时，.
因此当时，函数在区间上的最小值为，
最大值为，所以，实数的取值范围是.故选：C
【例7】对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为_____.
【答案】
【详解】函数的定义域为，即，若，则的定义域为，但的值域，估，不合题意
若，对于正实数，则的定义域为，的最大值为，估函数值域，由题意知，由于，所以
【例8】已知函数，若函数与在时有相同的值域，则实数的取值范围为
【答案】
【详解】由于函数，则当时，，又函数与在时有相同的值域，则函数必须能够取到最小值，即，解得
【例9】已知，在上任取三个数a，b，c，均存在以为三边的三角形，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于函数的对称轴为，因为
，则当时，，又
即与对称轴的距离较远，所以当时，
不妨设，，由以为三边的三角形，由构成三角形的条件可得，解得
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习）函数定义域和值域分别为、，则=（ ）
A．[-1，3]B．[-1，4]C．[0，3]D．[0，2]
【答案】D
解:要使函数有意义,则解得，故；
由，所以.故.则选:D
2.的最大值为_________.
【答案】
【详解】
解法一：均值不等式：
解法二：二次函数思想：因为，开口向下，对称轴为，当时，，所以的最大值为
3.若函数的定义域和值域都是，则（ ）
A．1B．3C．D．1或3
【答案】B
因为函数在上为增函数，且定义域和值域都是，
所以，，解得或（舍），故选：B
4.已知函数在上的值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
函数在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，时时，函数的部分图象及在上的的图象如图所示.所以为使函数在上的值域为，实数m的取值范围是，
故选：B.
5.设的值域为，则实数的值组成的集合是___________．
【答案】
【分析】根据值域为[0，＋∞)，分析可得，函数f(x)＝ax2＋2ax＋3开口向上，且最小值要小于等于0，列出方程，即可得结果.
【详解】因为函数的值域为[0，＋∞)，设函数f(x)＝ax2＋2ax＋3，当时，显然不成立；当，二次函数开口向下，有最大值，值域不为[0，＋∞)，不成立；
当，二次函数开口向上，要保证值域为[0，＋∞)，则最小值要小于等于0
，解得a≥3.
故答案为：[3，＋∞)
6．定义运算，若函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】B
【分析】根据定义写出函数解析式，配方即可得最小值.
【详解】..故选：B
7.求函数的值域．
【答案】
【分析】首先求出函数的定义域，然后将函数平方，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】由，得．
∵，∴，∴．
∵，∴，∴，即．
又∵，∴，∴，∴函数的值域为．
题型三：换元法（适用于形如，以及）
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
【例1】求函数的值域。
【答案】
【详解】设，则的对称轴为，所以在上单调递增，所以当时，，所以的值域为
【例2】求函数的值域。
【答案】
【详解】设，则，函数可化为，对称轴为，所以函数在上单调递减，所以当时，，所以原函数的值域为
【例3】求函数的值域．
【答案】
【分析】令，换元可得（），转化为二次函数在给定区间的值域问题，利用二次函数的性质即得解
【详解】令，则，由及，得，所以，
则（），为开口向下的二次函数，对称轴为，故在单调递增
因此当时，；当时，故函数的值域为．
【例4】函数的最大值为（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】先求解函数定义域，然后分析等式发现：，由此可通过换元法令来构造二次函数求解最大值，注意取等号条件.
【详解】因为，所以，即定义域为；设且，又因为，所以，所以，当且仅当时有最大值，当时，，所以满足；故选B.
【题型专练】
1.函数，的值域为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则，函数可化为，对称轴为，所以当时，函数，当时，，所以原函数的值域为
2.函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，转化为二次函数在定区间的值域，即得解
【详解】由题意，函数的定义域为令
故，由于为开口向下的二次函数，对称轴为，故当时，，无最小值，故函数的值域是故选：C
3．若函数的值域是，函数的值域是，则__________．
【答案】
【分析】先求出集合,再求得解.
【详解】由题得，所以函数的值域为.
对于函数，函数的定义域为，设，所以，所以，函数的对称轴为，所以函数的值域为.
所以.故答案为：
4.函数的值域为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题通过换元法求值域，先令，将函数转化成二次函数进行求解.
【详解】函数的定义域是，令，则， ，所以，因为，所以，所以原函数的值域为．故选：D.
5．已知函数，其中m为实数．
(1)求f（x）的定义域；
(2)当时，求f（x）的值域；
(3)求f（x）的最小值．
【答案】(1)，(2)[2，2]
(3)当时，f（x）的最小值为2；当时，f（x）的最小值为
【分析】（1）根据函数的解析式列出相应的不等式组，即可求得函数定义域；
（2）令，采用两边平方的方法，即可求得答案；
（3）仿（2），令，可得，从而将
变为关于t的二次函数，然后根据在给定区间上的二次函数的最值问题求解方法，分类讨论求得答案.
(1)由解得．所以f（x）的定义域为．
(2)当时，．设，则．
．当时，取得最大值8；当或时，取得最小值4．
所以的取值范围是[4，8]．所以f（x）的值城为[2，2]．
(3)设，由（2）知，，且，
则．
令，,若，，此时的最小值为；
若，．
当时，在[2，2上单调递增，此时的最小值为；
当，即时，，此时的最小值为；
当，即时，，此时的最小值为
所以，当时，f（x）的最小值为2；当时，f（x）的最小值为
题型四：分离常数法 反解法（利用函数有界性）
分离常数法：
将形如()的函数分离常数，变形过程为：
，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
【例1】求函数的值域
【答案】
【详解】方法一：分离常数法：设，因为，所以，所以原函数的值域为
方法二：反解法：由，可得，所以当时，所以原函数的值域为
【例2】求函数的值域
【答案】
【详解】方法一：分离常数法：，
因为，所以原函数的值域为
方法二：反解法：由，可得，
所以，因为，所以，解得，所以原函数的值域为
【例3】求函数 的值域
【答案】
【详解】方法一：分离常数法：，
因为，所以原函数的值域为
方法二：反解法：由，可得，
所以，因为，所以，解得，所以原函数的值域为
【题型专练】
1.求函数的值域
【答案】
【详解】由题意，函数可化为，可得定义域为，所以，可得，所以值域为.
2．设，函数表示不超过的最大整数，例如，，若函数，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】可得，分、、、根据定义可得答案.
【详解】，因为，所以，
所以，当时，；
当时，；当时，；
当时，，所以函数的值域为，故选：C.
题型五：判别式法（适用于函数）
【例1】函数的值域为______.
【答案】
【详解】方法一：分离常数法：，当时，，当时，，当时，所以，当时，所以，原函数的值域为
方法二：判别式法：设，可得，因为函数的定义域为，当时，即时，得，满足题意，当当时，
，解得，所以原函数的值域为
【例2】若函数的定义域为，值域为，求的值.
【答案】
【详解】判别式法：设，得，
因为函数的定义域为，所以，即，由知，关于的一元二次方程的两个根分别为和，由根与系数的关系得，解得.
【题型专练】
1.函数的最大值与最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，可得，可知关于的方程有解，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得的取值范围，即可得解.
【详解】设，则有，当时，代入原式，解得．
当时，，由，解得，于是的最大值为，最小值为，所以函数的最大值与最小值的和为．故选：B.
2.求下列函数的值域：
（1）； （2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）将分式函数等价变形为一元二次方程，然后通过判别式法即可求得本题答案；
（2）把平方得，通过求函数在的值域，即可得到本题答案.
【详解】（1）由题，得，整理，得，
当时，；当时， 方程有实根，，
即，解得，或， 综上，所以值域为：.
（2）易知，且.
又，
当时，有最大值，当或时，有最小值0，
所以当时，易得，故的值域为.
3．函数的值域是___________.
【答案】
【分析】利用判别式法即可求出函数的值域.
【详解】解：，因为所以函数的定义域为
令，整理得方程：当时，方程无解；
当时，，不等式整理得：，解得：
所以函数的值域为.故答案为：
题型六：图像法（画出函数的图像，直接求出定义域）
【例1】函数的值域为_____.
【答案】
【详解】原函数化为，
其图象如图，原函数值域为
【例2】定义为中的最小值，设，则的最大值是_____．
【答案】 2
【详解】本题若利用的定义将转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点，即，所以．
【题型专练】
1.对任意，函数，则的最小值为( )
A. 2B. 3 C. 4D. 5
【答案】A
【详解】画出图像可知：在处取最小值，因为，所以
2.函数的值域为_____.
答案：
【详解】
由图可知：的值域为
3.若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中，与是“同象函数”的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ACD
【分析】先求出在时的值域，再分别求出四个选项中的的值域，ABC选项可以用函数单调性来求解值域，D选项可以画出函数图象，结合图象求出值域.。
【详解】当时，单调递增，所以，即
当时，单调递减，所以，即，所以A选项正确；
当时，单调递减，此时，所以，B选项错误；
当时,的图象如图所示，
在单调递减，在单调递增，所以在处取得最小值，，因为，，所以在处取得最大值，故，C选项正确；
当时，，画出图象，如图
显然，，故D选项正确，故选：ACD
4. 已知函数，函数的最大值为________．最小值为________．
【答案】 2 －eq \f(1,4)
【详解】作出f(x)的图象如图．
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝eq \f(1,2)时，f(x)取最小值为－eq \f(1,4)．所以f(x)的最大值为2，最小值为－eq \f(1,4)．
5.对，记，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
【答案】 eq \f(3,2)
【详解】由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2．所以x≥eq \f(1,2)．所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|x＋1|，x≥\f(1,2)，,|x－2|，x