上海市上海大学附属中学2024-2025学年高二下学期诊断测试数学试卷（含答案解析）

这是一份上海市上海大学附属中学2024-2025学年高二下学期诊断测试数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
1. 双曲线的焦距为_______________.
2. 已知直线：恒过定点，则定点坐标是______.
3. 已知直线，，则与的夹角大小是________．
4. 已知首项为2的等比数列的公比为，则_____．
5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．
6. 已知圆和圆交于两点，则__________.
7. 在数列中，，，且为等差数列，则________．
8. 若对于任意实数，都有，则的值为______；
9. 若，则三棱锥O—ABC的体积为___________.
10. 将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________．（结果用分数表示）
11. 已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）
12. 已知空间向量都是单位向量，且与的夹角为，若为空间任意一点，且，满足，则的最大值为__________．
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13. 点从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（ ）
14. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
15. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
16. 已知数列满足，，给出下列四个结论：
①数列每一项都满足（，n为正整数）；
②数列的前n项和，；
③数列每一项都满足成立；
④数列每一项都满足（n为正整数）．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 已知数列的前n项和满足，n为正整数．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前200项和．
18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点为中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求点到平面的距离．
19. 某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.
（i）求抽取的零件为废品的概率；
（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量，则.
20. 如图，已知椭圆的两个焦点为，，且，的双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线，的斜率之积·为定值；
(3)求的取值范围．
21. 已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
(3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.
上海市上海大学附属中学2024-2025学年高二下学期诊断测试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：平面解析几何、数列、函数与导数、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、等式与不等式、三角函数与解三角形
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．7
B．6
C．5
D．4
A．
B．
C．
D．
A．①③
B．②④
C．①③④
D．①②
质量差（单位：）
54
57
60
63
66
件数（单位：件）
5
21
46
25
3
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
5
较易
8
适中
4
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.94
求双曲线的焦距
2
0.94
直线过定点问题
3
0.85
直线的倾斜角；两条直线的到（夹）角公式
4
0.94
无穷等比数列各项的和
5
0.94
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
6
0.85
圆的弦长与中点弦；相交圆的公共弦方程
7
0.85
等差中项的应用
8
0.65
二项展开式的应用
9
0.85
点到平面距离的向量求法；锥体体积的有关计算；空间向量垂直的坐标表示
10
0.94
分组分配问题
11
0.4
求平面轨迹方程；椭圆定义及辨析；双曲线定义的理解
12
0.65
根据线性规划求最值或范围；空间向量的坐标运算
二、单选题
13
0.85
弧长的有关计算；由三角函数值求终边上的点或参数
14
0.85
抛物线定义的理解
15
0.85
用导数判断或证明已知函数的单调性；函数与导函数图象之间的关系
16
0.4
判断数列的增减性；由递推数列研究数列的有关性质；累加法求数列通项；累乘法求数列通项
三、解答题
17
0.85
裂项相消法求和；利用an与sn关系求通项或项
18
0.65
证明线面平行；点到平面距离的向量求法；求平面的法向量；空间位置关系的向量证明
19
0.65
指定区间的概率；利用全概率公式求概率；计算几个数的平均数；计算条件概率
20
0.4
求椭圆中的参数及范围；双曲线中的定值问题；根据双曲线的渐近线求标准方程；求椭圆中的弦长
21
0.4
利用导数研究不等式恒成立问题；利用导数研究方程的根；函数奇偶性的定义与判断
序号
知识点
对应题号
1
平面解析几何
1,2,3,6,11,14,20
2
数列
4,7,16,17
3
函数与导数
5,15,21
4
计数原理与概率统计
8,10,19
5
空间向量与立体几何
9,12,18
6
等式与不等式
12
7
三角函数与解三角形
13