上海大学附属中学2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份上海大学附属中学2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12小题）
1．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 .
2．若正数数列 是等比数列，则正数 .
3．已知为正整数．若，则 ．
4．计算 .
5．若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是 .
6．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有 .
① 有 2 个驻点
② 在处取得极小值
③ 有极大值，没有极小值
④ 在上严格增
7．是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 .
8．已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为
9．已知数列的前n项和为，且，，则 .
10．有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为 ．
11．已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为 .
12．已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为 ．
二、单选题（本大题共4小题）
13．如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．B．1C．2D．
14．已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ）
A．B．C．D．
15．直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（ ）
A．60 条B．66 条C．72 条D．78 条
16．在数列中，，，.对于命题：
①存在，对于任意的正整数，都有.
②对于任意和任意的正整数，都有.
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②也是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题D．①是假命题，②也是假命题
三、解答题（本大题共5小题）
17．已知函数，曲线在点处的切线与平行．
(1)求的值：
(2)求的单调增区间．
18．已知抛物线 经过点 .
(1)求 的值和抛物线 的准线方程；
(2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 .
19．在数列中， .
(1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(2)若 ，记数列的前项和，求以及.
20．如图，在平面 中， ，在四棱锥 中， 平面 为 的中点， 在 上，且 .
(1)求证: ；
(2)求点到平面的距离 ；
(3)求平面与平面所成的二面角大小；
21．已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于两点，与渐近线交于两点，与在轴的上方，与在轴的下方．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）设，分别为的面积和的面积，求的最大值．
参考答案
1．【答案】
【详解】因为直线的方程为，
所以直线的斜率1，
令直线的倾斜角为，则，
因为，
所以.
2．【答案】
【详解】由题，可得，又，
.
3．【答案】
【详解】由得,则.
4．【答案】/
【详解】由无穷等比数列的求和公式可得.
5．【答案】10
【详解】因二项式 的展开式共有 6 项，则，
则展开式第项满足：，令，则系数为.
6．【答案】①③④
【详解】观察图象知，当时，，当且仅当，当时，，且，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，无极小值，
因此①③④正确，②错误.
7．【答案】10
【详解】由，得，
，又，
所以数列为递减数列，且，
，
所以当时，取得最大值.
8．【答案】
【详解】根据题意，可得，即，
，对，
又数列是单调递减数列，则，
.
9．【答案】97
【详解】∵，，∴，
∴，∴.
故答案为：97
10．【答案】
【详解】每天从5名同学中抽取2名参加志愿者活动，一共有种方式，
恰有一人连续参加两天志愿者活动有种方式，
由古典概型的概率公式可得恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为.
11．【答案】
【详解】由，，
，
，
则，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，
所以当时，取最小值的取值范围是.
12．【答案】/
【详解】依题意，，，
因为，所以，
所以，所以，
令，则，且，
由，得，所以，
所以，
当且仅当，共线同向且，共线时等号成立.
13．【答案】A
【详解】因为，所以，
所以．
故选A．
14．【答案】D
【详解】因为等比数列的前项和为，设其公比为，
由已知，故，所以，，则，
故，所以，，故.
故选D.
15．【答案】D
【详解】因，，则公共点为：
，共12个.
若这样的直线为圆的切线，则满足题意的切线有12条；
若这样的直线不为圆的切线，则由两点确定一条直线，满足的直线有条.
则这样的直线有78 条.
故选D
16．【答案】A
【详解】对①，当时，易得，，，，，…故数列为2，2，1循环.所以对于任意的正整数，都有成立，故①正确；
对②，对于任意，有，，，，设数列中第一项满足的项为，则，此时易得，又，且由题意，恒成立，故，即数列中所有项都满足，故，因为，与矛盾，故对于任意和任意的正整数，都有.
故选A
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）函数，求导得，
由曲线在点处的切线与平行，得
即，解得，此时，点不在直线上，
所以.
（2）由（1）知，其定义域为，，
由，即，解得，
所以的单调增区间是.
18．【答案】(1).
(2).
【详解】（1）解：代入 ，
得解得，
所以准线方程是；
（2）解：由，
可得，
设方程的两根为，
则，，
所以.
19．【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）由对正整数恒成立，
是以为首项，1为公差的等差数列，
.
（2）由（1），
.
.
20．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或.
【详解】（1）由于平面，，建立如图所示的空间直角坐标系，

由，得，
则，，，，，
设点，
由，得，
解得，即，
所以，，
所以，又，所以.
（2）由（1）得，则，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，
，又，
所以点到平面的距离为.
（3）由（2）得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成的二面角大小为或.
21．【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）设双曲线的焦距为，且，
因为到直线的距离为，故，
则，故双曲线的方程为：．
（2）如图，
（ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程，
消元得，则，
因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
原点到直线的距离，
设，，联立，则，
，，，
则，
而，
令，则，
当即时取到等号．
综上所述，的最大值为．