北师大版（2024）八年级上册（2024）*5 三元一次方程组优秀同步达标检测题

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知识点1 三元一次方程组的概念
1.下列方程组中，是三元一次方程组的是（ C ）
A.x＋z=2，xy＋x=4，z－x=1B.x－3y=4，x＋z=6，y－2z=7
C.x=9，x－y=4，z－y=5D.x＋y=8，y－m=3，z－x=5
知识点2 三元一次方程组的解法
2.解方程组2x－y+3z=1，3x＋y－7z=2，5x－y+3=3时，要使运算最简便，应先消去（ B ）
A.xB.yC.zD.常数项
3.解三元一次方程组：x＋y＋z=15， ①2x+3y－z=9， ②5x－4y－z=0. ③
解：①＋②，得3x＋4y＝24.④
①＋③，得6x－3y＝15，即2x－y＝5.⑤
④＋⑤×4，得11x＝44，解得x＝4.
将x＝4代入⑤，得8－y＝5，解得y＝3.
将x＝4，y＝3代入①，得4＋3＋z＝15，
解得z＝8.
所以原方程组的解是x=4，y=3，z=8.
知识点3 三元一次方程组的简单应用
4.一个三位数的三个数字的和是 17，其中百位数字与十位数字的和比个位数字大3.如果把个位数字与百位数字对调，那么得到的新三位数比原来的三位数大495，求原来的三位数.
解：设原来的三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z.
根据题意，得
x＋y＋z=17，x＋y－z=3，（100z+10y＋x)−(100x+10y＋z）=495.
解得x=2，y=8，z=7.
答：原来的三位数是287.
@中档提分训练
5.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a＋2，－a＋2b＋4，b＋3c＋9.若接收方收到密文9，13，23，则解密得到的明文为（ B ）
A.8，2，7B.7，8，2C.8，7，2D.7，2，8
6.有甲、乙、丙三种商品，如果购买3件甲商品、2件乙商品、1件丙商品共420元钱，购买1件甲商品、2件乙商品、3件丙商品共380元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（ A ）
A.200元B.300元C.350元D.400元
7.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
若该农场计划投入设备资金67万元，应怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷.由题意，得
x＋y+2z=67，4x+8y+5z=300，x＋y＋z=51，解得x=15，y=20，z=16.
答：应安排种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷.
问题解决策略：逐步确定
1.今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩四，问物几何？你知道物品最少有多少个吗？
解：因为这个数除以5余3，
所以这个数个位上的数字为3或8，
所以满足的数为：3，8，13，18，23，28，33，38…，
去掉3和7的倍数，剩下的数是：8，13，23，38，43，53，58，68…，
去掉除以3余1的数，剩下的数是：8，23，38，53，68，…，
其中除以7余4的数是：53，…，
答：物品最少有53个.
2.若四位数9a8a能被15整除，则a代表的数字是多少？
解：（1）确定能被5整除的条件，由于15是3和5的倍数，所以9a8a既能被3整除，也能被5整除.能被5整除的数的个位上的数字是0或5，因此a的可能值为0或5.
（2）确定能被3整除的条件，能被3整除的数的各个数位上的数字之和是3的倍数。因此，9＋a＋8＋a＝17＋2a必须是3的倍数.
（3）验证a的可能值
当a＝0时，17＋2a＝17，不是3的倍数.
当a＝5时，17＋2a＝27，是3的倍数.
因此，a代表的数字是5.
3.在3□2□的方框中填入适当的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？
解：能被15整除就是同时能被3和5整除，所以个位是0或5，
设百位是x，则当个位是0时，3＋x＋2＋0能被3整除，此时x最大为7，此时这个数为3 720；
当个位为5时，3＋x＋2＋5能被3整除，此时x最大为8，此时这个数为3 825；
因为3 825＞3 720，
所以这个四位数最大为3 825.
4.小刚要从A地赶往C地去参加科技夏令营，他拿出一张地图，图上有A，B，C三地，但地图被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A的南偏西55°，在B地的北偏西70°，如图所示.请帮助小明确定C地的位置.
解：如图所示.
5.如图，已知线段a，c，∠α，求作△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
（1）作法的合理顺序为 ③①② ；
①在射线BE上截取线段BC＝a，在射线BD上截取线段BA＝c；
②连接AC.△ABC就是所求作的三角形；
③作∠DBE＝∠α.
（2）请用尺规作图作出△ABC（不写作法，保留作图痕迹）.
解：（2）如图，△ABC即为所求.
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入设备资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元