2024-2025学年江苏省无锡第六高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡第六高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一个小球从5米的高处自由下落，其运动方程为y(t)=−4.9t2，则t=1秒时小球的瞬时速度为( )
A. −9.8米/秒B. −4.9米/秒C. 9.8米/秒D. 4.9米/秒
2.函数f(x)=x3−3x+1在闭区间[−2,32]上的最大值是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则不同的邀请方法有( )
A. 84种B. 98种C. 112种D. 140种
4.在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是( )
A. 128B. 110C. 19D. 27
5.若3An3−6An2=4Cn+1n−1，则n=( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
6.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则下列说法一定正确的是( )
A. x∈[0,a]时，f(x)的值为常数
B. x∈[a,c]时，f(x)单调递减
C. x=d时，f(x)取得极小值
D. x=c时，f(x)取得最小值
7.(x+2x2)9的展开式中常数项为( )
A. 672B. 684C. 84D. 72
8.已知f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)(x−1)f(x2−1)的解集是( )
A. (0,1)B. (1,+∞)C. (1,2)D. (2,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导正确的是( )
A. [(3x+5)3]′=9(3x+5)2B. (x3lnx)′=3x2lnx+x2
C. (2sinxx2)′=2xcsx+4sinxx3D. (2x+csx)′=2xln2−sinx
10.若(2x+1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a10(x+1)10，x∈R，则( )
A. a0=1
B. ar=C10r210−r(−1)r，r=0，1，2，⋯，10
C. a1+a2+⋯+a10=1
D. (a0+a2+⋯+a10)2−(a1+a3+⋯+a9)2=310
11.已知函数g(x)=ax2−6ax−lnx，则g(x)在(2,4)上不单调的一个充分不必要条件有( )
A. a∈(−∞,−14)B. a∈(−∞,−13)C. a∈(16,+∞)D. a∈(−13,13)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的导数为f′(x)，且f(x)=2f′(2)x+x3，则f(x)= ______．
13.学校有a，b两个餐厅，小明同学的早餐和午餐一定在其中某个餐厅用餐．如果小明同学早餐在a餐厅用餐，那么他午餐也在a餐厅用餐的概率是34；如果小明同学早餐在b餐厅用餐，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是14.若小明同学早餐在a餐厅用餐的概率是34，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是______．
14.设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则E(Y)= ；D(Y)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某旅行团要从8个景点中选2个景点作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？
(1)甲、乙2个景点至少选1个；
(2)甲、乙2个景点至多选1个；
(3)甲、乙2个景点必须选1个且只能选1个．
16.(本小题15分)
设函数f(x)=x3+x2−x−2．
(1)求f(x)在x=−2处的切线方程；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)求f(x)的极值．
17.(本小题15分)
已知(x2+23x)n的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的系数之比为76．
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)将展开式中的各项重新随机排列，求有理项互不相邻的概率．
18.(本小题17分)
随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A、B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A旅游景点的问卷100份，关于B旅游景点的问卷80份.问卷中，对景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如表：
假设用频率估计概率，且游客对A，B两个旅游景点的满意度评价相互独立．
(1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有(人数足够多)在B旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；
(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A、B哪个旅游景点？说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(x+m)⋅ex．
(1)若f(x)在(−∞,1]上是减函数，求实数m的取值范围；
(2)当m=0时，若对任意的x≥0，不等式ax⋅f(x)≤e2x恒成立，求实数a的取值范围．
答案解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查导数的计算，涉及导数的几何意义，属于基础题．
根据题意，求出y(t)的导数，将x=1代入计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，小球的运动方程为y(t)=−4.9t2，则y′(t)=−9.8t，
则有y′(1)=−9.8，
即t=1秒时小球的瞬时速度为−9.8米/秒；
故选：A．
2.【答案】D
【解析】解：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，
令f′(x)=0得，x=−1或1，
当x∈[−2,−1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈[−1,1]时，f′(x)0，f(x)单调递增，
所以函数f(x)的极大值为f(−1)=3，极小值为f(1)=−1，
又因为f(−2)=−1，f(32)=−18，
所以函数f(x)=x3−3x+1在闭区间[−2,32]上的最大值是3，
故选：D．
先求出函数的导函数，然后确定函数的极值，再与端点值比较大小，即可求出函数在闭区间[−2,32]上的最大值．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
3.【答案】D
【解析】解：若甲、乙两位教师都不参加，则有C86=C82=28 种不同方法；
若甲、乙两位教师只有一人参加，则有C21C85=112种不同方法，
综上，所有的不同的邀请方法有28+112=140种，
故选 D．
分甲、乙两位教师都不参加，甲、乙两位教师只有一人参加，两种情况来解．
本题考查两个基本原理，组合数公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意得：在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是A3217A31A=27．
故选：D．
根据古典概型可解决此题．
本题考查古典概型应用，考查数学运算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意知，3n(n−1)(n−2)−6n(n−1)=4×(n+1)n2×1，
化简整理解得n=5．
故选：D．
用排列数、组合数公式化简整理，解方程可得结果．
本题考查排列数、组合数公式，属于一般基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用导函数图象判断原函数的单调性问题，考查数形结合思想，属于基础题．
结合图像求出函数f(x)的单调区间，根据函数的单调性判断答案即可．
【解答】
解：结合图像：x∈[0,a]时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，则A错误，
x∈[a,c]时，结合f′(x)图象可得，x∈[a,b]时，f(x)单调递增，x∈(b,c]时，f(x)单调递减，则B错误；
x∈(c,d)时，f′(x)0，f(x)单调递增，
所以x=d时，f(x)取得极小值，则C正确、D错误，
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：∵(x+2x2)9的展开式的通项公式为Tr+1=C9r⋅2r⋅x9−3r，令9−3r=0，可得r=3，
故展开式中常数项为C93⋅23=672，
故选：A．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性对不等式进行判断．
由题意构造函数g(x)=xf(x)，再由导函数的符号判断出函数g(x)的单调性，不等式f(x+1)>(x−1)f(x2−1)，构造为g(x+1)>g(x2−1)，问题得以解决．
【解答】
解：设g(x)=xf(x)，
则g′(x)=[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)(x−1)f(x2−1)，
∴(x+1)f(x+1)>(x+1)(x−1)f(x2−1)，
∴(x+1)f(x+1)>(x2−1)f(x2−1)，
即g(x+1)>g(x2−1)，
∴x+10x2−1>0,
解得x>2．
故选：D．
9.【答案】ABD
【解析】解：[(3x+5)3]′=3(3x+5)2⋅(3x+5)′=9(3x+5)2，A正确；
(x3lnx)′=3x2lnx+x3⋅1x=3x2lnx+x2，B正确；
(2sinxx2)′=2csx⋅x2−4x⋅sinxx4=2xcsx−4sinxx3，C错误；
(2x+csx)′=2xln2−sinx，D正确．
故选：ABD．
结合函数的求导公式及求导法则检验各选项即可求解．
本题主要考查了函数求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：设x+1=t，则2x+1=2t−1，
结合(2x+1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a10(x+1)10，可得(2t−1)10=a0+a1t+a2t2+a3t3+…+a10t10，
对于A，取t=0，可得a0=(−1)10=1，所以A项正确；
对于B，在(2t−1)10的展开式中，第r+1项为Tr+1=C10r(2t)10−r(−1)r，r=0、1、2、…、10，
用10−r代换r，可得T11−r=C1010−r(2t)r(−1)10−r=(−1)10−rC10r(2t)r，
可得ar=(−1)10−rC10r⋅2r，所以B项不正确；
对于C，在(2t−1)10中取t=1，可得a0+a1+a2+a3+…+a10=(2−1)10=1，
所以a1+a2+a3+…+a10=1−a0=0，可知C项不正确；
对于D，在(2t−1)10中，取t=1，可得a0+a1+a2+a3+…+a10=1，
取t=−1，可得a0−a1+a2−a3+…+a10=(−2−1)10=310，
所以a0+a2+…+a10=12(1+310)，a1+a3+…+a9=12(1−310)，
可得(a0+a2+…+a10)2−(a1+a3+…+a9)2=14(1+310)2−14(1−310)2=310，故D项正确．
故选：AD．
由题意设x+1=t，题中等式可化为(2t−1)10=a0+a1t+a2t2+a3t3+…+a10t10，然后采用赋值法，结合整式乘法公式对A、C、D三项作出判断，利用二项式展开式的通项公式对B项作出判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查二项式定理及其应用、运用赋值法求系数和等知识，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：因为g(x)=ax2−6ax−lnx，
所以g′(x)=2ax−6a−1x=2ax2−6ax−1x，
由题意知，a≠0，设f(x)=2ax2−6ax−1，对称轴为x=32；
则f(x)在(2,4)上是单调函数，
由题意，令f(2)f(4)