《初中数学•中考压轴题几何模型》讲义专题26《相似三角形的存在性》

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相似三角形的基本模型有：
1．“A”字形
已知：在△ABC中．点D在AB上，点E在AC上．DE∥BC．
结论：△ABC∽△ADE．
2．反“A”字形
（1）已知：在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠AED＝∠ABC．
结论：△ABC∽△AED．
（2）已知：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC．
结论：△ABC∽△A（：D．
3．“8”字形
已知：在△ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，DE∥BC．
结论：△ABC∽△AED．
4．反“8”字形
已知：在△ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，∠ADE＝∠ABC．
结论：△ABC∽△ADE．
5．双垂直
已知：△ABC中，∠BAC＝，AD为斜边BC上的高．
结论：△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CAD．
6．一线三等角
（1）已知Rt△ABC和Rt△CED，B，C，E三点共线，．
结论：△ABC∽△CED．
（2）已知△ABC和△CDE，B，C，E三点共线，．
结论：△ABC∽△CED．
（3）已知△ABC和△CED，B，C，E三点共线，．
结论：△ABC∽△CED．
例题讲解
例1如图，已知A（－1，0），B（4，0），C（2，6）三点，G是线段AC上的动点（不与点A，C重合）．若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标．

解：设直线AC的表达式为，
把A，C两点坐标代入可得，解得．
所以直线AC的表达式为．
设点G的坐标为（k，－2k－2），
因为点G与点C不重合， 所以△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况．
所以．
而AB＝5， ， ，
所以， 即， 解得， （舍）．
所以点G的坐标．
例2 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D． P是抛物线上一点，问：是否存在点P， 使以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：存在．
因为点A（－2，0），B（4，0），C（0，），过点D（2，）作DE⊥AB于点E，由勾股定理得．
①如图，当△∽△ABD时，， 所以． 过点作⊥AB于点，
所以， 解得．
∵，∴，∴点的坐标为（－8，），
因为此时点不在抛物线上，所以此种情况不存在．
②当△∽△BDA时，，所以．过点作⊥AB于点，
所以，解得．因为，所以，
所以点的坐标为（－4，），将x＝－4代入抛物线的表达式得，
所以点在抛物线上．
③由抛物线的对称性可知：点与点关于直线x＝1对称，
所以的坐标为（6，）．
④当点位于点C处时，两个三角形全等，所以点的坐标为（0，）．
综上所得，点P的坐标为（－4，），（6，）或（0，）时，以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似．
例3 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
解： ∵与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴ A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，3），
将A（3，0），B（0，3）代入， 得，解得，
所以抛物线的解析式为．
∴点M的坐标为（1，4），．
所以， ．
如图， 设运动时间为t秒， 则OP＝t， ．
= 1 \* GB3 ①当△BOP∽△QBM时， ， 即，整理得： ，
而，所以此种情况不存在；
= 2 \* GB3 ②当△BOP∽△MBQ时， ， 即 ，解得．
所以当时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．
进阶训练
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式和对称轴；
（2）若P是线段OA上的一点（不与点O，A重合），Q是AC上一点，且PQ＝PA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△APQ相似？如果存在，请求出点D的坐标；如不存在，请说明理由．
解：（1）抛物线的表达式为，对称轴为
（2）存在．点D的坐标为，．
[提示]（2）由题意知△APQ为等腰三角形，如果△ACD与△APQ相似，那么△ACD也是等腰三角形．
= 1 \* GB3 ①如图1，当AD为底边时，D，A关于y轴对称，此时点D的坐标为；
= 2 \* GB3 ②如图2．当AC为底边时，，所以，此时点D的坐标为．
2．如图，设抛物线与x轴交于不同的点，，与y轴交于点C，已知ACB＝90°．
（1）求m的值和抛物线的表达式；
（2）已知点在抛物线上，过点A的直线交抛物线与另一点E．若点P在x轴上，是否存在这样的点P，使得以点P，B，D为顶点的三角形与△AEB相似？
解：2．（1），抛物线的表达式为；
（2）存在．点P的坐标为或
【提示】（1）由已知条件可得OA＝1，OC＝2，易证△AOC∽△COB，从而m＝OB＝4，再将A，B两点的坐标代入表达式即可求得．
（2） 易求得点，，分别过点D，E作x轴的垂线，垂足分别为H，G．易证EAG＝DBH．
所以△PBD和△AEB相似存在两种情况： = 1 \* GB3 ①如图1，当△ABE∽△BPD时，有，得点P的坐标为
= 2 \* GB3 ②如图2，当△ABE∽△BDP时，有，得点P的坐标为．
3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧部分上运动，直线m经过B，Q两点，与y轴交于点N，与直线l交于点G．问：是否存在直线m，使得直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似（不包括全等）？若存在，求出直线m的表达式，若不存在，请说明理由．
解．存在，直线m的表达式为．
【提示】根据AGB＝GNC＋GCN．所以当△AGB∽△NGC时，只能AGB＝CGB＝90°，所以△AOC≌△NOB，所以直线m的表达式为．