《初中数学•中考压轴题几何模型》讲义专题24《特殊平行四边形的存在性》

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在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形
因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题．
例题讲解
例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．经过点A的直线l：y＝ax＋a与抛物线的另一交点为C，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，那么以点A，C，P，Q为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标;若不能，请说明理由．
解：以点A，C，P，Q为都顶点的四边形能成为矩形．
令ax2－2a－3a＝ax＋a．解得x1＝－1，x2＝4，
所以点A的坐标为（－1，0），C的坐标为（4，5a）．
因为y＝ax2－2ax－3a，所以抛物线的对称轴为x＝1．则xP＝1．
①若AC是矩形的一条边，如图，
则xA＋xP＝xC＋xQ，可得xQ＝－4，从而点Q坐标为（－4，21a）．
同样yA＋yP＝yC＋yQ，可得yP＝26a，从而点P坐标为（1，26a）．
因为AC＝PQ，所以有22＋（26a）2＝82＋（16a）2，
解得，此时点P的坐标为（1，）
②若AC是矩形的一条对角线，如图．
则xA＋xC＝xP＋xQ，可得xQ＝2，从而点Q坐标为（2，－3a）．
同样yA＋yC＝yP＋yQ，可得yP＝8a，从而点P坐标为（1，8a）．
因为AC＝PQ，所以有52＋（5a）2＝12＋（11a）2，
算得，所以此时点P的坐标为（1，－4）
综上可得，以点A，C，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．
例2：如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的中心与原点重合，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．
（1）菱形ABCD的边长是_____，面积是_____，高BE的长是_____;
（2）若点P的速度为每秒1个单位．点Q的速度为每秒k个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4秒时的情形，并求出k的值．
解：（1）5，24，4．8．
（2）要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，翻折前后两个图形是全等的，所以要满足四边形是菱形只需△APQ为等腰三角形即可．当t＝4时，AP＝4．
①如图，当点Q在线段BC上时，PQ≥BE＞AP，同理，AQ＞AP，所以只存在QA＝QP的等腰三角形．
过点Q作QH⊥AP于点H，交AC于点F，则AH＝PH＝AP＝2
易证：△AFH∽△CFQ∽△ADO，
所以
可得
从而k＝
②当Q在BA上时，有两种情况的等腰三角形存在：
（i）如图1，当AP＝AQ时，此时点P，Q关于x轴对称，BQ＝PD＝1
所以，k＝
（ⅱ）如图3，当PA＝PQ时，过点P作PH⊥AB于点H．
易证△AHP∽△AEB，所以，其中AE＝
所以AH＝，AQ＝2AH＝，所以k＝．
（ⅲ）由①可得，AP的垂直平分线与BC相交，所以点Q在线段AB上时，不存在AQ＝PQ这种情况．
综上所得，满足条件的k值为，，．
例3 如图，二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．问：是否存在抛物线使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．
解：存在
易得AMBM’是菱彤，所以当AB＝MM′时，四边彤AMBM′是正方形
设点A的坐标为（x1，0），B的坐标为（x2，0）．
令
所以x1＋x2＝2，x1·x2＝2c
所以AB＝＝
点M的纵坐标为
若四边形AMBM’为正方形，
则有．
解得
又因为已知抛物线与x轴有两个交点，
所以
解得c＜，
所以c的值为．
所以存在抛物线，使得四边彤AMBM'为正方形．
进阶训练
1．已知抛物线C1： y＝－2x2＋8x－6与抛物线C关于原点对称，抛物线C2与x轴分别交于点A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧）顶点为N．
（1）求抛物线C2的表达式；
（2）若抛物线C1与抛物线C2同时以每秒1 个单位的速度沿x轴方向分别向左、向右运动，此时记A，B，C，D，M，N在某一时刻的新位置分别为A'，B'，C'，D'，M'，N'，当点A'与点D'重合时运动停止，在运动过程中，四边形B'，M'，C'，N'能否形成矩形？ 若能，求出此时运动时间t（秒）的值；若不能，请说明理由．
解：（1）抛物线C2的表达式为 （2）能．1＝
[提示]
（2）如图，由轴对称的性质可得四边形C'N'B'M'为平行四边形．
所以当∠B'M'C'＝90 或B'C'＝M'N'时．四边形为矩形，由此可列方程，从面求得t．
2．如图，抛物线与x轴的右交点为A，与y 轴的交点为B，设E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，若四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．
（1）该四边形的面积为24时，判断平行四边形OEAF是否为菱形；
（2）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？ 若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）当点E的坐标为（3，－4）时，平行四边形OAEF是菱形;
（2）不存在，理由：若平行四边形OEAF是正方形，则OA⊥EF且OA＝EF．此时的点E不在抛物线上．
3．如图，抛物线经过原点O与x轴上一点A（4，0），抛物线的顶点为E，它的对称轴x轴交于点D，直线y＝－2x－1经过抛物线上一点B（－2，m），与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度均速运动，设点M的运动时间为t 秒，是否能使以Q，A，E， M四点顶点的四边形是菱形？ 若能，请直接写出点M的运动时间；若不能，请说明理由．
解：（1）抛物线的表达式为；
（2）能，t的值为，6，或．
[提示]（2）如图，点M的运动过程中，以Q，A，E，M为顶点的四边形是菱形有以下四种情况，根据菱形的性质即可求得对应的t的值．
4．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1，0）两点，且与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x轴于点E，连结BD．
（1）P是线段BD上一点，当PE＝PC时，请求出点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G 为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F，M，N，G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
解：（1）点P的坐标为（2，2），
（2）点M的坐标为
[提示]（1）易求得抛物线的l表达式为．
所以C（0，3），D（1，4），E（1，0），从而直线BD的表达式为y＝－2x＋6．设点P的坐标为（t，－2t＋6）．若PE＝PC．则有t＋（－2t＋6－3），解得t＝2，从而得到点P的坐标为（2．2）．
（2）可设点M的坐标为（m，0），则点G的坐标为（m，）．而以F，M，N，G为顶点的四边形是正方形．所以MF＝MG，从而，解得m，或m，即得点M的坐标．