数学七年级上册（2024）角达标测试

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知识点01角的概念
角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
图2
图1
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
【微点拨】
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
【微点拨】
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
【即学即练1】
（22-23七年级下·山东聊城·开学考试）下列说法中，正确的个数有（ ）
①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画的一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看作一个平角．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】此题考查了角的定义，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，注意不要忽略“公共端点”．还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致．
根据角的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故原说法错误；
②角的大小与边的长短无关，故原说法错误；
③角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说长或短，故原说法错误；
④有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故角的两边是两条射线，此说法正确；
⑤平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故选项错误；
以上5种说法正确的有1个，
故选：A．
知识点02 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
【微点拨】
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
【即学即练2】
（2024七年级上·全国·专题练习）已知，，，下列比较正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了角的大小的比较，掌握度分秒的换算是解题的关键．依据，，，即可得到三个角的大小关系．
【详解】解：∵，，，
∴．故选：A．
知识点03 角的比较与运算
1.角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
2.角的和、差运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
【微点拨】
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
3.角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
【微点拨】
由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
【即学即练3】
（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键．
（1）根据同单位的相加，满时向上一单位进，可得答案；
（2）根据同单位的相减，不够减时先向上一单位借转为，可得答案；
（3）根据满时向上一单位进，可得答案；
（4）根据不能整除的部分可化成下一级单位，可得答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
知识点04 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
【微点拨】
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【即学即练4】
（22-23七年级上·四川绵阳·期末）在灯塔处测到轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏东的方向，轮船A在的角平分线上，则在灯塔处观测轮船A的方向为（ ）
A．北偏东B．北偏东C．北偏东D．北偏东
【答案】A
【分析】本题主要考查了方向角及角平分线的定义，解题的关键是正确理解方向角．
利用方向角的定义及角平分线的定义求解即可．
【详解】解∶如图，
在灯塔处测到轮船位于北偏西20°的方向，
，
轮船位于南偏东50°的方向，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
则在灯塔处观测轮船A的方向为北偏东，故选∶A．
知识点05 余角和补角
余角与补角的定义：
如果两个角的和等于90°，则这两个角互余。
即若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余或∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。
如果两个角的和等180°，则这两个角互补。
即若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互补或∠1是∠2的补角或∠2是∠1的补角。
余角和补角的性质：
同角的余角相等。即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，则∠1＝∠3。
同角的补角相等。即∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠3，则∠1＝∠3。
等角的余角相等。即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，则∠3＝∠4。
等角的补角相等。即若∠1＝∠2，∠1的补角是∠3，∠2的补角是∠4，则∠3＝∠4。
一个角的补角比这个角的余角大90°。
【即学即练5】
（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若一个角的一半比它的补角小，则这个角的度数为______°．
【答案】100
【分析】此题考查了补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互补两角之和为．
设这个角是，则它的补角为，根据两个角的和等于，则这两个角互补，列方程求解即可．
【详解】解：设这个角是，则它的补角为，根据题意，得
，
解得：，
故答案为：100．
题型01 角的概念和表示
【典例1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．直线是一个平角B．周角是一条射线
C．角的两边是射线D．角的两边是直线
【答案】C
【分析】此题主要考查了角的概念．直接利用角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．进而分析得出即可．
【详解】解：角是有公共端点的两条射线组成的图形，直线上没有顶点，则直线是一个平角、周角是一条射线以及角的两边是直线的说法都是错误的，故选项ABD不符合题意；
角的两边是射线，故选项C符合题意．
故选：C．
【变式1】（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，下列表示角的说法，错误的是（ ）
A．也可用表示B．与表示同一个角
C．表示的是D．和都不能用表示
【答案】A
【分析】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法，逐一判断即可得到答案
【详解】解：A、由于顶点处不止一个角，故不可用表示，原说法错误，符合题意；
B、与表示同一个角，原说法正确，不符合题意；
C、表示的是，原说法正确，不符合题意；
D、和都不能用表示，原说法正确，不符合题意；
故选：A．
【变式2】（19-20七年级上·山西吕梁·期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．与表示同一个角 B．表示的是
C．也可用表示 D．图中共有三个角，，
【答案】C
【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示，数形结合即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键．
【详解】解：A、与表示同一个角，正确，不符合题意；
B、表示的是，正确，不符合题意；
C、也可用表示，错误，符合题意；
D、图中共有三个角，，，正确，符合题意；
故选：C．
【变式3】（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图，在从同一点出发的七条射线组成的图形中，共有_______个锐角．
【答案】21
【分析】本题主要考查了角的规律探索．找出以为始边的角的个数，然后找出相邻的边为始边的角的个数相加即可，按照七条射线角的个数的计算方法即可得到答案．
【详解】解：以为始边的角有6个，
以为始边的角有5个，
以为始边的角有4个，
以为始边的角有3个，
以为始边的角有2个，
以为始边的角有1个，
故共有锐角：（个）．
故答案为：21．
题型02 角的分类与画特殊角
【典例2】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的有________个
①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角；④平角等于；⑤周角等于．
【答案】3
【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例．
【详解】①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误；
②等于的角是直角，说法正确；
③平角大于但不是钝角，原说法错误；
④平角等于，说法正确；
⑤周角等于，说法正确，
故正确的有3个，
故答案为：3．
【变式1】（22-23七年级上·江西南昌·期末）若为锐角，为直角，为钝角，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了角的分类，掌握各种角的取值范围是解题的关键．
根据锐角，直角，钝角的定义得出各角的范围，再根据最大值和最小值求出的范围，选择合适的可能值即可．
【详解】解：∵为锐角，为直角，为钝角，
∴，，，
∴，
即，
∴值可能是，故选B．
【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为∠A=n∠B，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（ ）
A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角
C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角
【答案】A
【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可．
【详解】解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意；
B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式3】（21-22七年级上·全国·课后作业）借助一副三角尺画出的角．
【答案】见解析
【分析】根据三角尺的度数，利用和差关系解答即可作出．
【详解】解：如图所示，45°-30°=15°，
45°+60°=105°，
90°+30°=120°，
90°+45°=135°．
【点评】本题考查了复杂作图，主要利用了角度的和差关系，根据三角尺的度数求出所求度数的和差关系是解题的关键．
题型03 钟面角
【典例3】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）经过1小时，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查的是钟面上的知识，即在钟面上，分针或时针转动一圈是360度，转动一个小格是6度，转动一个大格是30度.经过1小时，钟面上分针转过了一周，即360度，时针转过一个大格，即30度，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度之差就很容易算出来了
【详解】解：．
即：钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差．
故选：A．
【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）上午时，时针与分针的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查钟面角，根据午时，钟面上时针指向9，分针指向12，每一个大格是即可求解．
【详解】上午时，钟面上时针指向9，分针指向12，每一个大格是
9和12之间有3个大格，
∴时针与分针的夹角为
故选：D．
【变式2】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）现在是10点整，至少经过_______分钟，时针和分针的夹角第一次为直角．
【答案】
【分析】先求出时针和分针每分钟各走多少格子，两个指针成直角；当10时，分针距离时针10个格子（把圆周平均分成60个格子），只要分针超过时针5个格子，时针与分针就可以第一次垂直，把5个格子看成路程，时针和分针每分钟走的格子数看成速度，用要走的格子数除以它们的速度差即可．本题主要考查了学生根据追及问题的计算方法来解答钟面问题的能力．
【详解】解：
（分钟）
答：再过分钟，时针与分针第一次垂直．
故答案为：．
【变式3】（2023九年级·甘肃·专题练习）由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是_______．
【答案】90°
【分析】本题考查了钟面角，根据2时15分到2时30分，时钟的分针转过了3个大格（每个大格对应），即可求解．
【详解】解：由题意可知，由2时15分到2时30分，时钟的分针转过了3个大格（每个大格对应），即时钟的分针转过的角度是，
故答案为：．
题型04 角的单位与角度制
【典例4】（22-23八年级下·山东聊城·阶段练习）将用度、分、秒表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了角度间的换算，先把乘以得，再乘以得，最后加上整数部分即可，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以．
【详解】解：，
，
∴用度、分、秒表示为，
故选：．
【变式1】（23-24七年级下·山东泰安·期中）已知，，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．，，互不相等
【答案】B
【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较，注意：，．
【详解】解：，
∵，
∴，
只有选项B符合．
故选：B．
【变式2】（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）把用度、分、秒可表示为_______．
【答案】
【分析】根据，计算求解即可．
本题考查了度分秒的转化计算，熟练掌握进制是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
，
故答案为：．
【变式3】（22-23七年级上·甘肃酒泉·期末）把秒化成度、分、秒：_______________．
【答案】1 3 20
【分析】本题主要考查了度分秒的换算，根据角度制的进率为60进行求解即可．
【详解】解：，
故答案为：1；3；20．
题型05 方位角
【典例5】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面图上标出各建筑物的位置．
(1)超市在百货大楼的正北方向米处；
(2)医院在百货大楼北偏西度方向米处．
【答案】见解析；
【分析】本题考查了位置与方向．熟练掌握位置与方向是解题的关键．
（1）（2）根据位置与方向作图即可．
【详解】（1）解：如图1，超市即为所作；
（2）解：如图1，医院即为所作．
【变式1】（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，的方向是（ ）
A．北偏东B．北偏东C．东偏北D．东偏北
【答案】A
【分析】本题考查了方向角．熟练掌握方向角是解题的关键．如图，由题意知，，，则，，然后作答即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴的方向是北偏东，
故选：A．
【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，则的度数为_______．
【答案】
【分析】本题考查了方向角，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，，然后利用平角定义可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：解：如图：
由题意得：，，
，
，
故答案为：．
【变式3】（22-23七年级上·江苏宿迁·开学考试）（1）海洋馆在游乐场（ ）偏（ ）（ ）°方向（ ）米处．
（2）动物园在游乐场南偏西方向1200米处，动漫影院在游乐场北偏东方向800米处，在图中表示它们的位置．
【答案】（1）北、西、40 、1600；（2）见解析
【分析】本题主要考查了方向角．熟练掌握方向角的定义，是解决问题的关键．
（1）根据题意知，海洋馆在游乐场北偏西方向的1600米处；
（2）根据动物园在游乐场南偏西方向1200米处，动漫影院在游乐场北偏东方向800米处，画图．
【详解】解：（1）∵，，
∴海洋馆在游乐场北偏西方向1600米处；
故答案为：北、西、40、1600；
（2）动物园在游乐场南偏西方向1200米处，动漫影院在游乐场北偏东方向800米处，在图中表示它们的位置如图所示：
题型06 三角板中的角度计算
【典例6】（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）将一副三角板如图摆放，若∠BAE=140°，则的度数是_______．
【答案】
【分析】本题主要考查三角板中的角度计算，熟练掌握三角板的度数是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
∵∠BAE=140°，
∴，
∴；
故答案为．
【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了角之间的关系，根据题意得，，可得，则，即可得；掌握角之间的关系是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，故选：B．
【变式2】（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在一条直线上，如果，那么_______．
【答案】
【分析】本题主要考查三角板中角度的计算．
根据题意得，把代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【变式3】（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，一副三角板的直角与的顶点O重合在一起，若，则的度数为_______．
【答案】
【分析】本题考查三角板中角的计算、解一元一次方程，设，则，根据，列方程求得，则，再利用求解即可．
【详解】解：∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
题型07 角度的四则运算
【典例7】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键．
（1）根据同单位的相加，满60时向上一单位进1，可得答案；
（2）根据同单位的相减，不够减时先向上一单位借1转为60，可得答案；
（3）根据满60时向上一单位进1，可得答案；
（4）根据不能整除的部分可化成下一级单位，可得答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）已知是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案，分别为，，，．其中，只有一个答案是正确的，正确的答案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】熟记钝角的特点是解决此题的关键．
主要利用钝角的定义，钝角都大于且小于计算．
【详解】解：因为，是两个钝角（钝角都大于且小于），
所以一定大于且小于；
则一定大于且小于，
故正确．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级上·全国·单元测试）计算：
（1）_____； （2）______；（3）______；（4）______．
【答案】；；；
【分析】本题考查角的计算，解题关键是掌握度、分、秒之间的进率及四测运算法则：进行角度的加减运算时，同单位相加减，即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减．做加法时，秒够进分，分够进度；做减法时，不够减的，从上一级借，再进行减法运算．在乘法运算中，从最低位开始乘所给的因数，够则进；除法运算中，按从高到低的顺序相除，余数乘，再加到下一级单位中进行计算．据此解答即可．
【详解】解：（1）
，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：；
（3）
，
故答案为：；
（4）
，
故答案为：．
【变式3】（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）度、分、秒的计算已知，，求：
(1)；(2)．
【答案】(1)90°；(2)
【分析】（）根据加法运算法则进行计算即可求解；
（）根据减法运算法则进行计算即可求解；
本题考查了角度的计算，掌握度、分、秒之间的单位换算是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
，
；
（2）解：∵，，
∴，
，
．
题型08 角的平分线与n等分线的有关计算
【典例8】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，平分，三等分，已知，求的度数．
【答案】90°
【分析】本题考查了角平分线及三等分线的定义，角的和差，由角平分线及三等分线的定义可得，，进而得，据此即可求解，掌握角平分线及三等分线的定义是解题的关键．
【详解】解：平分，
∴，
又∵三等分，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（23-24六年级下·全国·单元测试）如下图，，平分，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由已知条件得到，则．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，若，平分，则________．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，由题意得，进一步可得，求出即可求解；
【详解】解：由题意得：，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【变式3】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知内部有三条射线，平分，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数（写出求解过程）；
(3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）先求得的度数，然后，再依据角平分线的定义求得、的度数，最后，再依据求解即可；
（2）按照（1）的思路先求得的度数，然后再求得、的度数，最后，再依据求解即可；
（3）先求得的度数，然后，依据题意求得、的度数，最后，再依据求解即可．
本题主要考查的是角的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键．
【详解】（1）解：∵∠AOB=90°，，
；
平分，平分，
，，
．
（2）解：∵，平分，平分，
．
（3）解：∵，，，
．
题型09 余角与补角
【典例9】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）若，则的余角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要余角的概念和计算，根据余角的概念“和为90°的两个角，互为余角”即可求解．
【详解】解：的余角．
故选：．
【变式1】（23-24七年级上·湖南永州·期末）已知是锐角，与互补，与互余，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据与互补，得到，结合与互余，得，则，解答即可．
本题考查了互余，互补，熟练掌握互余，互补的意义，学会用表示其余的两个角是解题的关键．
【详解】解：根据与互补，得到，
又与互余，得，
则．故选C．
【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）一个角的补角是，则这个角的余角是______．
【答案】
【分析】本题考查了求一个角的补角与余角．设这个角为度，先根据补角的度数求得这个角，再求得这个角的余角即可．
【详解】解：设这个角为度，则，
解得，
则这个角的余角是，
故答案为：．
【变式3】（23-24六年级下·全国·单元测试）如果的补角是，那么_______度．
【答案】60
【分析】本题考查了补角的知识，属于基础题，注意掌握互补的两角之和为．
根据互补的两个角之和为，即可得出答案．
【详解】解：∵的补角是，
∴，
故答案为：60．
题型10 同（等）角的余（补）角相等
【典例10】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，两个三角板的直角顶点重合，，求的大小．
【答案】
【分析】此题主要考查了三角板中角的计算．熟练掌握同角的余角相等，余角之间的关系，是解题关键．
根据同角的余角相等可得．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴
【变式1】（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，点O在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】B
【分析】本题考查同角的余角相等，根据同角的余角相等，找到相等的角即可，掌握同角的余角相等，找到相等的角是关键．
【详解】解：由图可知：，
，，
故图中除了直角外，一定相等的角有2对，
故选：B．
【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是_____________．
【答案】
【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角．
由，得到，即得．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，．
(1)图中除外，还有哪些角是直角？
(2)图中有哪些相等的角？
(3)指出图中与互余的角、与互补的角．
【答案】(1)；(2)；；(3)与互余的角有：；与互补的角有：
【分析】本题考查了角的余角、补角的概念，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键．
（1）根据直角的定义即可求解；
（2）根据直角都相等，等角的余角相等即可求解；
（3）根据余角和补角的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴图中除外，还有是直角；
（2）解：；
；
（3）解：∵，
∴与互余的角有：；
∵，
又，
∴，
∴与互补的角有：．
1．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）下列图形中所标识的角，能同时用，，三种方法表示的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了角的表示，掌握角的表示方法是解题的关键．
根据角的表示逐项判断即可．
【详解】解：A、以O为顶点的角不止一个，不能用表示，故A选项错误；
B、以O为顶点的角不止一个，不能用表示，故B选项错误；
C、以O为顶点的角不止一个，不能用表示，故C选项错误；
D、能用，，三种方法表示同一个角，故D选项正确．.
故选D．
2．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图，货船A与港口B相距40海里，港口B相对货船A的位置可描述为（ ）
A．南偏西方向，相距40海里处B．北偏西方向，相距40海里处
C．北偏东方向，相距40海里处D．北偏东方向，相距40海里处
【答案】A
【分析】本题主要考查的是方向角的概念．根据方向角的概念即可解答．
【详解】解：由图形可知：港口B相对货船A的位置可描述为南偏西方向，相距40海里处．
故选：A．
3．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）时针和分针所夹的较小角为（ ）
A．平角B．钝角C．直角D．锐角
【答案】D
【分析】本题主要考查角的概念及分类．解答时可以根据时整的时候，时针和分针重合，都在上，当分针指到分时，分针在上，此时时针和分针所夹的较小角为锐角．
【详解】解：因为时整的时候，时针和分针重合，当分针到达分时，分针在上，
所以时针和分针所夹的较小角为锐角．故选：D．
4．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个10倍的放大镜看一个30度的角，仍然是30度，放大镜放大的只是两边的长短．
【详解】解：用一个10倍的放大镜看一个30度的角，那么看到的仍然是30度的角，故选：A．
5．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知，，，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了度分秒之间的换算，属于基础题，注意两者之间的进位关系．将各角的单位统一，继而可得出答案．
【详解】解：，
，
，
∴，故选B．
6．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列各角中，是钝角的是（ ）
A．周角B．平角C．2锐角D．直角
【答案】B
【分析】根据周角、平角、直角的度数计算出各角，再根据钝角定义判定即可．
【详解】解：A、周角是直角，故此选项不符合题意；
B、平角是钝角，故此选项符合题意；
C、∵锐角，当锐角时，2锐角，2锐角是锐角；当锐角时，2锐角，2锐角是直角；当锐角时，2锐角，2锐角是钝角；故此选项不符合题意；
D、∵直角是锐角，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查角的分类，熟练掌握大于90度且小于180度的角叫钝角是解题的关键．
7．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（ ）
A．1个B．2个C．4个D．6个
【答案】B
【分析】此题考查了余角的定义，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握余角的定义．余角：如果两个角相加等于，那么这两个角互为余角．根据余角的定义求解即可．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，
又∵，即，
∴，，
∴与互余的角共有2个．
故选：B．
8．（22-23七年级下·山东聊城·开学考试）在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（ ）
A．9个B．10个C．11个D．12个
【答案】B
【分析】本题考查角的概念，在数角的个数时要从一个边开始把它上的角数完后再换另一条射线，这样可使数的角不重不漏．有公共顶点的射线：两条射线构成1个角；三条射线构成个角；四条射线构成个角；…条射线构成个角．
【详解】解：根据题意可知，角的顶点处有条射线，共有个角．
故选B．
9．（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75°B．105°C．110°D．135°
【答案】C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．
【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；
110°角用一副三角板不能画出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。
故选：C．
【点评】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．
10．（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）下列说法中，正确的是（ ）
A．大于直角而小于周角的角是钝角
B．互补的两个角必定一个是锐角，一个是钝角
C．两个锐角不能互为补角
D．如果，，，那么、、互为补角
【答案】C
【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．性质：等角的补角相等，等角的余角相等．
根据钝角的定义对A进行判断；根据的补角为可对B进行判断；根据补角的定义对C、D进行判断．
【详解】解：A、大于直角而小于平角的角是钝角，所以A选项错误；
B、互补的角可都为，所以B选项错误；
C、两个锐角的和不可能等于，所以C选项正确；
D、如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，所以D选项错误．
故选：C．
11．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图所示，给出下列说法：
①的方向是东北方向， ②的方向是北偏西，③的方向是南偏西， ④的方向是南偏东，其中不正确说法的序号有_________．
【答案】④
【分析】此题考查了方位角．结合图形进行判断即可．
【详解】解：①的方向是东北方向，选项正确；
②的方向是北偏西，选项正确；
③的方向是南偏西，选项正确；
④的方向是南偏东，选项错误．
故答案为：④．
12．（23-24六年级下·全国·单元测试）如果一个角是，那么这个角的补角是_______度．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个角的补角度数，根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可．
【详解】解：∵一个角是，
∴这个角的补角是，
故答案为：．
13．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知平分平分．则的度数为______．
【答案】
【分析】本题考查了有关角平分线的计算，求出，再根据角平分线的定义分别求出和的度数，由角的和差关系可得答案．
【详解】解：，，
，
平分，平分．
，，
，
故答案为：．
14．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）已知，且，则______．
【答案】
【分析】本题主要考查了角度的计算．根据，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴．故答案为：
15．（23-24七年级上·吉林四平·期末）已知点A在点O的北偏西方向，点B在点O的西南方向，则与的夹角是______．
【答案】
【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及补角的定义是解决问题的关键．
根据方向角的定义以及互为余角、互为补角的定义进行计算即可．
【详解】解：如图，
∵A在点O的北偏西方向，点B在点O的西南方向，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
16．（23-24七年级下·四川自贡·开学考试）若一个角的余角为，则这个角的补角的度数为________．
【答案】
【分析】本题考查了补角和余角的有关计算，先根据两个互余的角度之和为求出这个角，再利用根据两个互补的角度之和为求出这个角的补角即可．
【详解】解：这个角为：，
这个角的补角的度数为：，
故答案为∶．
17．（22-23七年级下·辽宁本溪·开学考试）在10点10分时，钟表上时针和分针所夹钝角为______度．
【答案】115
【分析】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】解：从数字10到数字2，分针绕钟表中心旋转的度数为，
从10点到10点10分时，时针绕钟表中心旋转的度数为
钟面上时针和分针的夹角为，故答案为：115．
18．（23-24六年级下·全国·单元测试）已知的余角等于，那么______度．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个角的余角度数，根据度数之和为90度的两个角互余进行求解即可．
【详解】解：∵的余角等于，
∴=90°-=29°30′=29.5°，故答案为：．
19．（24-25七年级上·全国·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕． ，则＝________度．
【答案】
【分析】此题考查了角的计算，翻折的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据翻折的性质可知，，，再根据平角的度数是，即可求出．
【详解】解：根据翻折的性质可知，，，
又∵，
∴，
又∵，
∴．故答案为．
20．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）若一个角的余角的2倍比这个角的补角小，则这个角大小为________．
【答案】
【分析】本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，余角和补角的概念，是基础题，设出这个角并表示出它的余角和补角直接的关系是解题的关键．设这个角大小为，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角大小为，
根据题意可得：，
解得：，
故答案为：．
21．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】（1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度；
（2）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减；
（3）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与5相乘，然后依次进位；
（4）一个度数除以一个数，则从度位开始除起，余数变为分，分的余数变为秒．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
【点评】本题考查了角的加减乘除运算，遇到加法时，先加再进位；遇到减法时，先借位再减；遇到乘法时，先乘再进位；遇到除法时，先借位再除．
22．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线．
(1)求和的度数；
(2)是的平分线吗？为什么？
【答案】(1)，
(2)是的平分线，理由见详解
【分析】本题考查了角的和差，补角的定义，角平分线的定义；
（1）由角的和差得，由角的平分线及角的和差得，即可求解；
（2）由补角的定义得，由角平分线的定义即可求解；
理解补角的定义，角平分线的定义，能用角的和差表示出所求的角是解题的关键．
【详解】（1）解：，，
；
是的平分线，
，
；
（2）解：是的平分线；
理由如下：
，
，
，
，
是的平分线．
23．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，点A、O、B在同一直线上，，平分，平分．
(1)求的度数；
(2)判断与是否互余，并说明理由．
【答案】(1)；(2)是，理由见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的计算：
（1）角平分线求出，平角求出即可；
（2）求出与的度数，根据余角的定义，进行判断即可．
【详解】（1）解：∵，平分，
∴，
∴；
（2）是，理由如下：
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴与互余．
24．（15-16七年级上·山东日照·期末）如图，是的平分线，是的平分线．
(1)如图1，当是直角，时，的度数是多少？
(2)如图2，当，时，猜想与α的数量关系；
(3)如图3，当，时，猜想：与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)与α有关，与β无关，，理用见解析
【分析】本题考查了角度的运算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，，从而根据求得的度数；
（2）同理（1），，，，从而求得的度数；
（3）同理（1），，，，从而求得的度数；
【详解】（1）解：是直角，，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
；
（2）解：同理（1），，
，，
；
（3）解：与α有关，与β无关，，理由如下：
同理（1），，
，，
．
25．（23-24七年级上·安徽六安·期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线．
(1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数；
(2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)；(2)，理由见解析．
【分析】（）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可；
（）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解；
本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
【详解】（1）∵，，分别是的角平分线，
∴，，
∴；
（2），理由如下，
∵，
∴设，则，
设，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴．
26．（17-18七年级·吉林延边·期末）直角三角尺的直角顶点在直线上，平分．
(1)在图中，若，求的度数；
(2)在图中，若，直接写出的度数（用含的式子表示）；
(3)将图中的三角尺绕顶点旋转至图的位置，写出与之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)；理由见详解
【分析】本题考查了角平分线的性质以及角的计算．
（1）先求出和的度数，再根据求解即可；
（2）先用表示出和，再根据求解即可；
（3）先求出，再根据求解即可．
【详解】（1）解：，，
，，
又平分，
，
；
（2）解：，，
，
，
又平分，
，
；
（3）解：．理由如下：
点在直线上，
，
平分，
，
，
．
27．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转．
(1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°．
(2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；
(3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)90；(2)，理由见解析；(3)的度数是一个定值，理由见解析
【分析】本题考查了三角板中角度计算，与角平分线的有关的角的计算，掌握角平分线的定义是解答本题的关键．
（1）由平角的性质可求解；
（2）由补角和余角的性质可求解；
（3）由角平分线的定义和平角的性质可求解．
【详解】（1）解： ，
；
故答案为90；
（2）解：，
理由如下：，，
；
（3）解：的度数是一个定值，
理由如下：射线、分别是、的角平分线，
，，
．
28．（23-24七年级上·天津津南·期末）与互为补角，分别平分与（题目中的涉及的角均指小于平角的角）．
(1)如图1，当点B、O、C三点在一条直线上，
①请找出图中与相等的一个角，并说明理由；
②若的度数比的度数的一半小，求的度数．
(2)如图2，当点B、O、C三点不在一条直线上，求∠EOF的度数．
【答案】(1)①，理由见解析；②；(2)．
【分析】题目主要考查角度的计算，一元一次方程的应用，角平分线的计算，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）①根据等角的补角相等即可得出结果；②设，则，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据角平分线得出，结合图形进行等量代换求解即可．
【详解】（1）解：①，
∵，
∴；
②设，则，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵分别平分与，
∴，
∴．
29．（23-24六年级下·全国·单元测试）已知，与互为余角，与互为补角，是的平分线．
(1)画出符合条件的所有可能的图形；
(2)从得到的图形中选择一个图形求出的度数，其余直接写出的度数．
【答案】见解析
【分析】此题考查了补角的概念、余角的概念、角平分线的定义．
(1)根据题意，画出符合题意的图形；
(2)求的度数，根据“和为的两个角互为补角”、“和为的两个角互为余角”及平角的定义和角平分线的定义进行求解．
【详解】（1）解：符合条件的图形有四个．
（2）解：如图1：，与互为余角，
，
与互为补角，
，
，
是的平分线，
；
图2：；
，与互为余角，
，
与互为补角，
，
，
是的平分线，
；
图3：；
，与互为余角，
，
与互为补角，
，
，
，
是的平分线，
；
图4：．
，与互为余角，
，
与互为补角，
，
，
，
是的平分线，
．
30．（23-24六年级下·山东淄博·期中）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．
（1）判断与的大小关系，并说明理由；
（2）探索与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】
（3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析．
【分析】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．
（1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案；
（2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系；
（3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系．
【详解】解：（1），理由如下：
依题意得：，，
，，
．
（2）与之间的数量关系：，理由如下：
，，
，，
，
，
又，
；
（3）与之间的数量关系是：，理由如下：
，，
又，
，
即：，
．
课程标准
学习目标
①角的认识
②角的单位与换算
③角的度量与大小比较
④角的计算
⑤余角和补角
掌握角的定义及其表示方法，能够熟练的表示角，判断角。
掌握角单位及其换算，能够熟练的进行换算。
掌握角的度量方法，并能够正确的进行大小比较。
掌握角的计算，并能够熟练的进行有关计算。
掌握余角与补角的概念及其性质，并能够熟练的对其应用。