【数学】山东省菏泽市牡丹区2024-2025学年九年级下学期4月期中考试试题（解析版）

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列计算结果为2的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选A．
2. 中国载人航天工程办公室透露，神舟飞船是由专门为其研制的“长征二号”火箭发射升空，火箭的起飞质量为497000千克，数据497000．用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A．，原式计算正确，故本选项符合题意；
B．，原式计算错误，故本选项不符合题意；
C．，原式计算错误，故本选项不符合题意；
D．，原式计算错误，故本选项不符合题意；故选：A．
4. 一副三角板按如图所示放置，，，，过点的直线与过点的直线相互平行，设，，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故选C．
5. 如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】列表如下：

共有6种等可能的结果，其中他选择从口进入，从口离开的结果有∶．共1种．
他选择从口进入，从口离开的概率为，
故选：A．
6. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹祥的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
7. 若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A. -1B. -2C. -3D. 0
【答案】B
【解析】由题意，得
，即
，即
∴，即
，解得
有非负整数解，即
∴a≥-2且a≠2
∴且
∴符合条件的所有整数a的数有：-2，-1,0,1
又∵为非负整数解，
∴符合条件的所有整数a的数有：-2,0
∴其和为
故选：B.
8. 如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在反比例函数（为常数，）的图象上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在该函数图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
故选：A．
9. 如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵切于点C，
∴，
∴，
故选A．
10. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵抛物线开口方向向下
∴a＜0，
∵抛物线对称轴
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴
∴c＞0
∴的图像过二、一、四象限，的图象在二、四象限
∴D选项满足题意．
故选D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了综合提取公因式和公式法进行因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式平方差公式．
12. 如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点处用一根细绳挂在支架上，在点的左侧固定位置处悬挂重物，在点的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点的距离（单位：cm），观察弹簧测力计的示数（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下：
其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是________．
【答案】25
【解析】观察表格数据知，与成反比例函数关系，设，则
当时，
故其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是25．
故答案为：25．
13. 如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在处，若，则的度数是_________．
【答案】111°##111度
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∴∠DCA=∠BAC，
根据折叠，可得，
∴，
∵，
又∵∠1=∠2=46°，
∴，
∴∠BAC=23°，
∴∠B=180°-46°-23°=111°，
∴．
故答案为：111°．
14. 如图，菱形中，，面积为60，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为E，连接，则________．
【答案】
【解析】∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴（负值已舍去），
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去）．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴。
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，为矩形内一动点，且．
（）当为等边三角形时，______．
（）的最小值为______．
【答案】（） （2）
【解析】（）如图，在的垂直平分线上取点，使得，以点为圆心，为半径画圆，在圆上任取一点，均有，当为等边三角形时，圆与垂直平分线上在矩形内的交点即为点，过点作于，则，
∴四边形为矩形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）连接，与圆交于点，此时，的值最小，过点作于，则，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】∵点的坐标为，点的坐标为，
∴建立坐标系如下：
∴点B的坐标为．
故答案为：
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）
（1）解：
；
（2）解：
．
18. 某商店经销一种销售成本为每千克40元产品，根据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，针对这种情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，销售量为 ，月销售利润为 元；
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
（1）解：当销售单价定为每千克55元时，
月销售量：（千克），
利润：（元）；
（2）解：由题意产品进货不超过，
设定价为元，
则，
解得：，，
当时，进货，符合题意，
当时，进货，舍去．
答：销售单价应为80元．
19. 如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以15海里/时速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，4小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若、两岛相距100海里，问乙船的航速是多少？
解：通过两船的航线角度可知，∠CAB=90°，则△ABC为直角三角形，又AC为甲船航行的路程，则AC=15×4=60（海里），
由，可知：
（海里），
所以乙船的航速为80÷4=20（海里/时）．
20. 为进一步增强学生的自我保护意识，某校组织七、八年级学生开展“校园安全知识竞赛”．本次竞赛满分为10分，所有学生的成绩均为整数分，9分及以上为优秀等级．在两个年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计整理，获得如下统计图表．
七年级抽取学生的竞赛成绩统计表
七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______．
（2）该校七、八年级共有学生1000名，估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数．
（3）你认为哪个年级的学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好？请说明理由．
解：（1）依题意，观察八年级的统计图，得出第10和11名的成绩分别为7和8分
∴；
观察七年级抽取学生的竞赛成绩统计表，
得出成绩为8的个数有6个，其他成绩的个数比6要少，
∴；
（2）（人）
∴估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数为250人；
（3）七年级学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好．
理由如下：
从平均数来看，两年级相同，从“中位数”“众数”这两个统计量来看，七年级均高于八年级，
从而说明七年级学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好．
21. 设函数，函数（，，b是常数，；
（1）若函数和函数的图象交于，两点．
①求函数，的表达式．
②当时，比较与的大小（直接写出结果）．
（2）若点在函数的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移6个单位，得到点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值．
解：（1）①把点代入，
，
解得：，
∴函数表达式为，
把点代入，解得，
把点，点代入，
，
解得，
∴函数的表达式为；
②如图，
由图知，当时，；
（2）由平移，可得点D坐标为，
∴，
解得：
22. 综合与实践
问题情境：在数学综合实践课上，李老师要求同学们以正方形的折叠与某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长与的延长线交于点，沿所在直线折叠使点与点重合，点在上．
探究实践：
（1）如图1，的度数不变，请你求出该角的度数；
探究发现：
（2）如图2，连接，发现三条线段，，之间存在一定的数量关系，请证明你的发现；
探究拓广：
（3）如图3，连接，，若正方形的边长，请直接写出面积的最大值．
（1）解：把 沿 所在直线折叠，点 落在点处，
四边形 是正方形，
，

沿 所在直线折叠使点 与点重合，
，

的度数不变且为
（2）解：
理由如下：如图，过点 作，交 的延长线于点

在正方形 中，，

由（）可知，，，

在中，

在 和中，


在中，
（3）解：∵折叠，
∴
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当在上时，的面积最大，此时
∵
∴，
∴
∴面积的最大值为
23. 如图1，平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段的最大值；
（3）如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似？若存在，求M点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：把点代入，得：
，解得：
抛物线的表达式为；
（2）解：设，则，
∵抛物线与轴相交于点，
∴．
设直线解析式为，
∵直线经过点，，
∴，解得 ．
∴直线的解析式为，
∴，
又∵，
∴；
∴当时，取得最大值；
（3）解：存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下：
设，
由（2）得：，
如图，过点F作轴于点G，则，
由（1）可得：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点．
①当时，，
即，
解得：或（舍去），
∴；
②当时，，即
解得：或（舍去）
∴．
综上所述，或．
24. 在中，．

（1）如图1，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接．求证：；
（2）如图2，为外一点，且，仍将线段绕点逆时针旋转得到，连接．若，求的长．
（1）证明：由旋转的性质得，，
，即，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由旋转的性质得，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
x（cm）
…
10
15
20
25
30
…
y（N）
…
30
20
15
15
10
…
成绩（分）
4
6
7
8
9
10
人数
2
4
3
6
3
2
年级
统计量
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
8
众数
7