人教版高考数学第二轮专项练习专题07 经典超越不等式（原卷版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题07 经典超越不等式（原卷版），共5页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三等内容，欢迎下载使用。
(1)对数形式:,当且仅当时,等号成立.
(2)指数形式:,当且仅当时,等号成立.
进一步可得到一组不等式链：（且）
上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：
；
；
截取片段：
，当且仅当时,等号成立；
进而：当且仅当时,等号成立
二、典型例题
1．（2022·江苏苏州·高三期末）已知 则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
取，则，故A选项错误；
取，，，则B选项错误；
取，，则，，即，
故D选项错误；
关于C选项，先证明一个不等式：，令，，
于是时，递增；时，递减；
所以时，有极小值，也是最小值，
于是，当且仅当取得等号，
由，当时，同时取对数可得，，
再用替换，得到，当且仅当取得等号，
由于，得到，，，即，
C选项正确.
故选：C.
【反思】对于指数形式:,当且仅当时,等号成立，该不等式是可以变形使用的：
注意使用时的取值范围；
同样的还可以如下处理：两边同时取对数：，同样可以变形使用：
；
注意使用时的取值范围.
2．（2021·安徽·高三阶段练习（文））已知函数.
(1)若对，都有，求实数a的取值范围；
(2)若a、，且，求证：对任意，都有：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)由时：
又：,
①若时，由，故，
所以对任意，都有：
此时函数在上单调递增，故对任意，都有：满足条件.
②若时，由，故：
故可得：
故函数在上单调递减，在上单调递增,
故：不满足条件，都有,
综上，实数a的取值范围为.
(2)由（1）可知，当时，对任意，都有：,
故对任意，都有：,
又a、，故对任意，都有：，
又，故：
故对任意，都有：.
【反思】注意在解答题中不能直接使用，需要证明后才可以使用，才可以进一步变形得到有利于解题的不等式.
三、针对训练 举一反三
一、单选题
1．（2022·广东韶关·一模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·山西运城·（理））已知命题：，；命题：，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·广东肇庆·）下列不等式中，不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·安徽·东至县第二中学（理））下列不等式正确的个数有（ ）个.
①；②；③
A．0B．1C．2D．3
5．（2020·黑龙江哈尔滨·（理））下列四个命题中的假命题为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．（2019·湖北·（文））下列不等式中正确的是
①；②；③.
A．①③B．①②③C．②D．①②
7．（2020·全国·（理））已知命题：，，命题：，，则下列命题正确的是
A．B．C．D．
8．（2021·安徽·毛坦厂中学高三阶段练习（理））设，，，（其中自然对数的底数）则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
10．（2020·广东·高三阶段练习）已知函数的反函数为，若实数m、n满足，则 ____．
11．（2020·北京·中关村中学）已知函数，，其中，e为自然对数的底数，若，使，则实数a的取值范围是___________．
三、解答题
12．（2022·浙江·高三专题练习）证明以下不等式：
(1)；
(2)；
(3).
13．（2022·全国·高三专题练习）已知.
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；
(3)证明不等式：.
x
-
0
+
极小值