第三章 第2节 导数与函数的单调性（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）（原卷版+解析版）

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【知识梳理】
1.函数的单调性与导数的关系★★★☆☆
2.利用导数判断函数单调性的步骤★★★☆☆
第1步,确定函数的定义域;
第2步,求出导函数f'(x)的零点;
第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
【名师点拨】
1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)0,则f(x)在定义域上一定单调递增.( )
(4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)√
【解析】(1)f(x)在(a,b)内单调递增,则有f'(x)≥0.
(3)反【典例】,f(x)=-1x,虽然f'(x)=1x2>0,但f(x)=-1x在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性.
2.(人教B选修三P95A组T1改编)已知函数f(x)的定义域为[0,2],且y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
【答案】(0,1) (1,2)
【解析】由图知,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,
当x∈(1,2)时,f'(x)0,符合题意;
对于C,f'(x)=3x2-1,f'13=-230,
当1a0,则xx2;
令f'(x)0,
所以f(x)在0,π2上单调递增,
所以fπ5b>cB.b>a>c
C.c>b>aD.c>a>b
【答案】C
【解析】易知f'(x)=ex+x2−xxex
=ex+x−122−14xex,
又x∈(0,+∞)时,ex>1,x−122-14≥-14,
所以f'(x)>0,
即f(x)在(0,+∞)上单调递增,
故f73>f(2)>f32,即c>b>a.
(3)不等式x0,
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,2),单调递增区间是(2,+∞).
2.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
【答案】D
【解析】f'(x)>0的解集对应y=f(x)的单调递增区间,f'(x)1,
所以当x∈π4,π2时,06时,f'(x)0的解集为(1,4)∪(6,+∞).
7.已知函数f(x)=(1-x)ln x+ax在(1,+∞)上不单调,则a的取值范围是( )
A.(0,+∞)B.(1,+∞)
C.[0,+∞)D.[1,+∞)
【答案】A
【解析】依题意f'(x)=-ln x+1x+a-1,
故f'(x)在(1,+∞)上有变号零点,
令g(x)=-ln x+1x+a-1,
令g(x)=0,得a=ln x-1x+1,
令z(x)=ln x-1x+1,
则z'(x)=1x+1x2,
由x>1,得z'(x)>0,z(x)在(1,+∞)上单调递增,
又由z(1)=0,得z(x)>0,故a=z(x)>0,
所以a的取值范围是(0,+∞).
8.已知f(x)=(a2-1)ex-1-12x2,若不等式f(ln x)1),
则y'=1-1x>0,
∴y=x-1-ln x在(1,+∞)上单调递增,
∴x-1-ln x>0,
∴ln x0),
令f'(x)>0,得x>3,令f'(x)bD.c>a
【答案】ACD
【解析】由f(x)=x−1xln x,
得f'(x)=1+1x2ln x+1−1x2,
当x∈(0,1)时,f'(x)0,
解得b>3或b0,
又esin x>0,∴cs xecs x≥sin xesin x.
令f(x)=xex,则f(cs x)≥f(sin x).
∵f'(x)=1−xex,
∴当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)0),判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性.
【解析】由题知,f(x)=exa-2x+2ln a,
所以f'(x)=ex−2aa,x>1,
当00,
f(x)在(ln(2a),+∞)上单调递增.
综上,当0e2时,f(x)在(1,ln(2a))上单调递减,在(ln(2a),+∞)上单调递增.
16.已知函数f(x)=ln x-12ax2-2x(a≠0).
(1)若f(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)在[1,4]上单调递减,
所以当x∈[1,4]时,f'(x)=1x-ax-2≤0恒成立,
即a≥1x2-2x恒成立.
设G(x)=1x2-2x,x∈[1,4],
所以a≥G(x)max,
而G(x)=1x−12-1,
因为x∈[1,4],所以1x∈14,1,
所以G(x)max=-716(此时x=4),
所以a≥-716,
又因为a≠0,所以实数a的取值范围是−716,0∪(0,+∞).
(2)因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,
则f'(x)1x2-2x有解,
又当x∈[1,4]时,1x2−2xmin=-1(此时x=1),
所以a>-1,又因为a≠0,
所以实数a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).学习导航站
核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点
考点1 函数的单调性与导数的关系★★★☆☆
考点2 利用导数判断函数单调性的步骤★★★☆☆
（星级越高，重要程度越高）
限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯
条件
恒有
结论
函数y=f(x)在区间(a,b)上可导
f'(x)>0
f(x)在(a,b)上单调递增
f'(x)