第一章 第4节　基本不等式（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）（原卷版+解析版）

这是一份第一章 第4节　基本不等式（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）（原卷版+解析版），文件包含第4节基本不等式原卷版docx、第4节基本不等式解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共28页， 欢迎下载使用。
【知识梳理】
考点 1 基本不等式:ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
(3)其中a+b2叫做正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数.
考点2 两个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤a+b22(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
考点3 利用基本不等式求最值
(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P.
(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14S2.
【解题技巧】
1.ab≤a+b22≤a2+b22.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.
2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.
【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤a+b22与a+b2≥ab成立的条件是相同的.( )
(2)函数y=x+1x的最小值是2.( )
(3)函数y=sin x+4sinx,x∈0,π2的最小值是4.( )
(4)“x>0且y>0”是“yx+xy≥2”的充要条件.( )
2.(苏教必修一P58【典例】2改编)已知x>1,则x+1x−1的最小值为 .
3.(人教A必修一P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为 .
4.(北师大必修一P28实【典例】分析)把一段长为16 cm的细铁丝弯成一个矩形,当矩形的长为 cm,宽为 cm时,面积最大.
【考向核心题型】
考点1 利用基本不等式求最值
角度1 配凑法
【典例】1.已知a,b为正数,4a2+b2=7,则a1+b2的最大值为( )
A.7B.3
C.22D.2
【典例】2.若a>-1,则a2a+1的最小值是 .
角度2 常数代换法
【典例】3.(2025·安徽A10联盟质检)已知m,n∈(0,+∞),1m+n=4,则m+9n的最小值为( )
A.3B.4
C.5D.6
角度3 消元法
【典例】4.已知正数a,b满足a2-2ab+4=0,则b-a4的最小值为( )
A.1B.2
C.2D.22
【变式训练】1.(2025·金华调考)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为( )
A.6B.9
C.4D.8
【变式训练】2.已知x0,不等式x2+3x+1x≥a恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[5,+∞)B.(5,+∞)
C.(-∞,5]D.(-∞,5)
【变式训练】3.设a>0,若关于x的不等式x+ax≥6对x∈(0,+∞)恒成立,则a的最小值是( )
A.1B.4
C.9D.16
【变式训练】4.已知x>0,y>0,且2x+1y=1,若2x+y18
C.00,y>0,且x+2y=1,则3x+9y的最小值为( )
A.23B.32
C.33D.22
5.(2025·石家庄质检)已知a>0,b>0,则a+2b+4a+2b+1的最小值为( )
A.6B.5
C.4D.3
6.已知正实数x,y满足2x+3y-xy=0,若3x+2y≥t恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.(-∞,25]B.(-∞,25)
C.(-∞,24]D.[24,+∞)
7.已知p:a>b>0,q:a2+b22>a+b22,则p是q成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.(2025·四川名校大联考)已知实数x,y满足5x>y>0,则y5x−y+xy的最小值为( )
A.5+15B.5+25
C.25+15D.25+25
二、多选题
9.已知正实数x,y满足x+y=4,则下列选项正确的是( )
A.ex+ey的最小值为2e2
B.lg x+lg y的最大值为lg 4
C.x2+y2的最小值为8
D.x(y+4)的最大值为16
10.(2025·长沙模拟)设正实数a,b满足a+b=1,则( )
A.ab≥14B.a+b≤2
C.a2+b2≥12D.1a+1+1b+1≥43
11.(2024·青岛模拟)已知正实数a,b,c,且a>b>c,x,y,z为自然数,则满足xa−b+yb−c+zc−a>0恒成立的x,y,z可以是( )
A.x=1,y=1,z=4B.x=1,y=2,z=5
C.x=2,y=2,z=7D.x=1,y=3,z=9
三、填空题
12.已知00,y>0,x+2y+xy=30,求:
(1)xy的最大值;
(2)2x+y的最小值.
16.第19届亚运会于2023年9月在杭州举办,某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会,并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查,当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时,销售量可达到(15-0.1x)万套.为配合这个活动,生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为50元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比【典例】系数为10.约定不计其他成本,即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格.
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时,能获得的总利润是多少万元?
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时,单套的利润最大?最大值是多少元?
学习导航站
核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点
考点1 基本不等式:ab≤a+b2★★☆☆☆
考点2 两个重要的不等式★★★☆☆
考点3 利用基本不等式求最值★★★☆☆
（星级越高，重要程度越高）
限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯