贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷（解析版）

这是一份贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷（解析版），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】因为集合，，
所以，即集合中有2个元素.
故选：B.
2. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A. 零向量是任意直线的方向向量
B. 方向相同的两个向量是相等向量
C. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
【答案】D
【解析】A选项，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，A错误；
B选项，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误；
C选项，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，C错误；
D选项，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，D正确.
故选：D.
3. 已知一组数据为，则该组数据的方差为（ ）
A. B. C. 6D. 7
【答案】A
【解析】的平均数为：，
且，
故这组数据的方差为：.
故选：A.
4. 已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意知直线的斜率，即，
当时，；当时，，
故直线的倾斜角的取值范围是，
故选：C.
5. 如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】取分别为的中点，连接，
因，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，同理可得平面，
所以向量在平面上的投影向量为，且.故选：.
6. 已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，高为3，且该圆台的体积为，则该圆台的母线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，
设圆台较大的底面半径为，较小的底面半径为，
则，解得，
过点作垂直于点，则母线长，
故选：C.
7. 在空间四边形中，，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知在空间四边形中，，，，
且，，

则
，
故选：D.
8. 把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是 ，则 后该物体的温度满足 . 将温度分别为和的两块物体放入温度为的空气中，要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过（ ）
(取: )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】的物体经过后的温度为，
的物体经过后的温度为，
由题可得，，
即，解得，
所以要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过，
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】因为在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，
，F是棱的中点，，
所以，，，，
所以A，D正确，B，C错误.
故选：AD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为
B. 的值域为
C. 是偶函数
D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】对于选项A，由对数函数的基本性质可得，
函数的定义域即为的解集，
解得，所以选项A正确；
对于选项B，当时，，
于是根据对数函数的性质，故选项B错误；
对于选项C，由于函数定义域为，
又，满足偶函数的定义，所以选项C正确；
对于选项D，当时，由于为复合函数，
设内层函数，在上递增，
而外层函数也为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可得，
在上为增函数，故选项D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小正周期为
C. 曲线关于直线轴对称
D. 当时，函数有个零点
【答案】BC
【解析】，
当时，取得最大值，且最大值为，A选项错误；
因为，的最小正周期均为，所以的最小正周期为，B选项正确；
因为，所以曲线y=fx关于直线轴对称，C选项正确；
令，得，则，
结合函数的图象，可知方程在上有个不同的实根，D选项错误；
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数，则的实部为______.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以的实部为.
13. 《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑，现将乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，则乾､坤相邻的概率为__________.
【答案】
【解析】将乾､坤､巽排成一排有：
（乾,坤,巽），（乾,巽,坤），（坤,乾,巽），
（坤,巽,乾），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾）,共6种可能.
乾､坤相邻的有：（乾,坤,巽），（坤,乾,巽），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾），共4种.
所以乾､坤相邻的概率为.
14. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为______.
【答案】
【解析】由题意，，
则在方向上的投影向量的模为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上；
（2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直.
解：（1）因为A0,3，B4,0，，
所以，又直线均过点，
所以点三点在同一条直线上；
（2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
因为直线经过，两点，
所以，
所以，所以与互相垂直.
16. 已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求.
解：（1）因为，
由正弦定理可得，
且，则，可得，
即，所以.
（2）因，即，
由余弦定理可得，即，
整理可得，，
所以.
17. 如图，在棱长均为1的四棱柱中，
，设．
（1）试用表示；
（2）求的长度；
（3）求直线与直线所成角的余弦值．
解：（1）
．
（2）棱长均为1的四棱柱中，，
，
所以．
（3），
因为，
所以直线与直线所成角的余弦值为．
18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.
（1）判断直线与是否垂直，并说明理由；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
解：（1）和不垂直，理由如下：
设，则，
在中，，所以为等边三角形，所以，
因为，，所以，从而，
所以在直角中，，，
又因为，所以，所以在中，满足，
故为直角三角形，则；
又因为，，所以平面；
因为，所以，
所以，
故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，；
所以，，，，，
所以，，所以，
所以不成立，故和不垂直.
（2）由（1）可知，，，所以平面，
故为平面的一个法向量；
又，，设平面法向量，
所以，即，取，则，，故，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
19. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.
（1）是否存在点，使得平面？
（2）求的取值范围.
（3）求点到直线的距离的最小值.
解：（1）如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，
，，
设平面的法向量为，
则，可取，
设， 所以，
又，所以，
即，所以，
设存在点，使得平面，
则，解得，则，
则，所以存在点，使得平面
（2）由（1）知，
所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，所以，
所以的取值范围是.
（3）由（1）知点满足，
取中点，则点轨迹为线段，
所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，
，，，，，
设，，
则，可取，
又，
点到直线的距离的最小值.