专题18 比较线段的长短-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（北师大版2024）

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内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：7大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01 线段的性质
两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.
知识点02 线段大小比较
1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法
2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：

【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法．
知识点03 尺规作图
仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图.
【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．
（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．
知识点04 线段的和与差
如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC，
在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度.
知识点05 线段的中点
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC．
【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
【题型1 两点之间线段最短】
例题：（23-24七年级上·福建漳州·期末）在下列现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．木匠弹墨线B．打靶瞄准
C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短、两点确定一条直线
【分析】本题考查的是线段的性质：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．，根据线段的性质解答即可．
【详解】解：A、B、D依据两点确定一条直线；
C依据两点之间，线段最短．
故选：C．
【变式训练】
1.（2024·河北·模拟预测）“愚公移山”是我国著名的寓言故事，它告诉了我们坚持不懈的道理．如图，假设愚公在运输山石等杂物时（从点运输到点），有条路可行，线路：折线．线路：折线．线路：．线路：线段AB．如果仅从距离最短考虑，愚公选取的线路应是（ ）
A．线路B．线路C．线路D．线路
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短
【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据两点之间线段最短即可判断求解，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
【详解】解：∵两点之间线段最短，
∴仅从距离最短考虑，愚公选取的线路应是线路，
故选：．
2.（23-24八年级下·重庆开州·开学考试）直线是一条河，，是在同侧的两个村庄，欲在上的处修建一个水泉站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则处到，两地距离之和最短的方案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短
【分析】根据轴对称的性质，线段垂直平分线的性质及最短路径问题解答．
本题考查了轴对称的性质的应用．熟练掌握线段和最短的解法是解题的关键．
【详解】解：根据题意，符合题意的作法是
故选：D．
3.（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题
【分析】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键．
【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点，
根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短，
故选：．
【题型2 线段的应用】
例题：（23-24七年级下·山东泰安·期中）一条铁路有个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备车票（ ）种．
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】直线、线段、射线的数量问题
【分析】本题考查了线段的概念：直线上两点间的有限部分（包括两个端点），熟记概念是解题关键．
【详解】如图，线段上点到点个点代表个火车站，

图中的线段一共有：（条）
每两个车站有往返两种情况，所以，车票的种类一共：（种）
故选：C．
【变式训练】
1.（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有（ ）
A．6种B．20种C．10种D．12种
【答案】C
【知识点】直线、线段、射线的数量问题
【分析】本题考查了线段条数的问题，根据题意确定出数学模型，求出五点确定出线段的条数即可得到答案．
【详解】解：∵一共有五个站，相当于有5个点，
∴从济南西站到枣庄站这段线路的火车票张数即为5个点所能组成的线段条数，
∵2点能确定一条线段，
∴5个点一共最多能确定条线段，
∴从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有10种，
故选：C
2.（23-24七年级上·广西百色·期末）由百色站至南宁站的某趟动车，运行途中停靠的车站依次是：百色站—田阳站—田东站—平果站—隆安站—南宁站，那么铁路运营公司要为这条路线制作的往返车票有 种．
【答案】30
【知识点】直线、线段、射线的数量问题
【分析】本题考查线段、直线、射线，掌握线段条数的计算方法是解决问题的关键．将每一个车站看作一个点，铁路线为线段，求出所有线段条数的2倍即可．
【详解】解：如图：
图中线段的条数为（条），
（种），
即铁路运营公司为这条路线制作的往返车票有30种．
故答案为：30．
3.（23-24七年级上·河南许昌·期末）前段时间，一条好消息迅速在长葛人朋友圈刷屏：大长葛也有地铁了！郑许市域铁路12月26日-27日免费试乘，“双城生活模式”正式启动．图中展示了郑许市域铁路长葛市域内的五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票．

【答案】20
【知识点】直线、线段、射线的数量问题
【分析】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”．先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可．
【详解】解：5个点中线段的总条数是（种），
∵任何两站之间，往返两种车票，
∴应印制（种），
故答案为：20．
【题型3 线段的和与差】
例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）已知点C在线段上，，则 ．
【答案】4
【知识点】线段的和与差
【分析】本题主要考查了线段的和差计算，根据线段的和差关系列式求解即可．
【详解】解；∵点C在线段上，，
∴，
故答案为：．
【变式训练】
1.（23-24七年级上·全国·期末）线段AB的长为，延长AB到，使，再反向延长AB到，使，则线段CD的长为 ．
【答案】
【知识点】两点间的距离、线段的和与差
【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差关系是解答此题的关键．
根据已知分别得出的长，即可得出线段的长．
【详解】解：∵线段，延长到C，使，再反向延长到D，使，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2.（23-24七年级上·全国·单元测试）同一条直线上有三点且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为 ．
【答案】或/或
【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题考查了线段的中点，和差运算，根据题意，由点为中点，，可得的值，图形结合，分类讨论即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，
∵，
∴，
∴
∴；
故答案为：或 ．
3.（24-25九年级上·全国·课后作业）已知线段．
(1)若点是线段上一点，，则的长为 ；
(2)若点是线段的中点，则的长为 ；
(3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ．
【答案】(1)7
(2)4.5
(3)3或6
【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题考查线段的和差，线段中点、以及三等分点的特点，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．
（1）根据线段的和差计算即可；
（2）根据线段中点的特点计算即可；
（3）根据点为的三等分点分两种情况讨论：①点靠近点；②点靠近点，结合线段的和差计算即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：．
（2）解：点是线段的中点，
；
故答案为：4.5．
（3）解：点是线段的一个三等分点，
①当点靠近点时，
；
②当点靠近点时，
；
综上所述，的长为3或6．
故答案为：3或6．
【题型4 作线段（尺规作图）】
例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹），并用字母表示所作线段．
(1)作一条线段，使它等于；
(2)作一条线段，使它等于．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】作线段(尺规作图)
【分析】本题主要考查了线段的尺规作图：
（1）如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于C，最后以C为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于D，则线段即为所求；
（2）如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于E，则线段即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于C，最后以C为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于D，则线段即为所求；
（2）解：如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于E，则线段即为所求．
【变式训练】
1.（23-24七年级上·天津·期末）按要求画一画，再填空：
(1)画线段；
(2)延长线段到点C，使；
(3)延长线段到点，使；
(4)根据上述画法可知， ， ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)2；；
【知识点】画出直线、射线、线段、线段的和与差、作线段(尺规作图)
【分析】此题重点考查尺规作图、用直尺和圆规作一条线段等于已知线段、线段的中点、线段的和差等知识与方法，正确地按要求作出图形是解题的关键．
（1）作射线并在上取一点，即得到线段；
（2）在的延长线上截取，即得到所求的点；
（3）以为端点，过点作射线，在的延长线上截取，即得到所求的点；
（4）由，，得，则是线段的中点，所以；由，，得，于是得到问题的答案．
【详解】（1）解：如图1，作射线，在上取一点，
线段就是所求的线段；
（2）解：如图2，在的延长线上截取，
点就是所求的点；
（3）解：如图3，以为端点，过点作射线，在的延长线上截取，
点就是所求的点；
（4）解：，，
，
是线段的中点，
；
，，
，
，
，
故答案为：2，，．
2.（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，已知线段，其中，．
(1)作线段，使得；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若点P是（1）中所作的线段的中点，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、作线段(尺规作图)
【分析】本题考查了尺规作图—作线段，线段的中点，线段的和差．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
（1）依次按步骤尺规作图即可；
（2）先求出，然后根据线段中点定义求解即可．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求．
（2）解：，，
，
，
，
点P是线段的中点，
．
3.（23-24七年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，在平面内有三个点A，B，
(1)请利用无刻度的直尺和圆规，按下面的要求作图
（保留作图痕迹，不写画法，不写结论）：
①连接，作射线；
②在射线上作线段，使．
(2)在（1）中所作的图形中，若，，点P是线段的中点，请在图中标出点P，并求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【知识点】线段中点的有关计算、画出直线、射线、线段、作线段(尺规作图)
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段，射线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）①根据线段，射线的定义画出图形即可．②根据要求作出图形即可．
（2）利用线段和差定义以及线段的中点的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：（1）①如图，线段，射线即为所求作．
②如图，线段即为所求作．
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∴．
【题型5 线段中点的有关计算】
例题：（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，线设，点C是线段的中点，点D是线段的中点．
(1)如图①，求线段的长；
(2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键．
（1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可；
（2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：点C是线段的中点，
，
又点D是线段的中点，，
；
（2）解：，
，
∴
．
【变式训练】
1.（24-25七年级上·全国·课后作业）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点为这条折线的“折中点”．已知点D是图中折线的“折中点”，请解答以下问题：
(1)①若，点D在线段______（填“”或“”）上；
②若，则的长度为______．
(2)若E为线段的中点，，求的长度．
【答案】(1)①，②2或14
(2)的长度是4或28
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义：
（1）①根据“折中点”的定义进行求解即可；②分当点D在上时，当点D在上时，两种情况画出对应的示意图，进行讨论求解即可；
（2）先根据线段中点的定义得到的长，再同分当点D在上时，当点D在上时，两种情况画出对应的示意图，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，点D是图中折线的“折中点”，
∴点D在线段上，
故答案为：；
②如图所示，当点D在上时，
∵，
∴，
∵，
∴
如图所示，当点D在上时，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的长为2或14；
（2）解：E为线段中点，，
∴．
①点D在线段上时，如图所示，
∵，
∴．
∵D为折中点，
∴．
∴；
②点D在线段上时，如图所示，
∴，
∴．
∴．
∴．
综上所述，的长度是4或28．
2.（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，为线段AB上一点，分别为的中点．
(1)若，求的长；
(2)若，求的值．
【答案】(1)4
(2)
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查线段中点，线段和差的计算，
（1）根据题意，，由此即可求解；
（2）由（1）可得，，由此可得，，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵点分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）可得，，，
∵，
∴，
∴．
3.（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点．

(1)如果，，，则的长为________；
(2)如果，，则的长为_________；
(3)如果，，求的长，并说明理由．
【答案】(1)
(2)14
(3)，理由见解析
【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离
【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出的长，利用线段中点的性质，得出，．
（1）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案；
（2）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案；
（3）根据（2）的解题过程，即可解答．
【详解】（1）解：，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
故答案为：；
（2）解：，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
故答案为：14；
（3）解：，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
，
．
【题型6 线段n等分点的有关计算】
例题：（2023七年级上·全国·专题练习）二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分．
即：如图，若点P是线段的中点，则或
三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推．
【答案】 中点 相等 相等
【知识点】线段之间的数量关系、线段n等分点的有关计算
【分析】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，正确理解定义是解题的关键．
【详解】二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分．
即：如图，若点P是线段AB的中点，

则或
三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推．
故答案为：中点；相等；相等．
【变式训练】
1.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ．
【答案】40或80
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算
【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可．
【详解】解：∵，，N是线段的中点，
∴，，
①若，如图1所示：
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵M是线段的中点，N是线段的中点，
∴，，
∴；
②若，如图：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵M是线段的中点，N是线段的中点，
∴，，
∴；
故答案为：40或80．
2.（23-24七年级上·河南商丘·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，已知．
(1)求的长；
(2)若点是线段上靠近点A的三等分点，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据线段的和差，求得的长，再根据线段中点的性质，可求出的长；
（2）先求得的长，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】（1）解：因为，
所以，
因为点为的中点，
所以；
（2）解：因为，点是线段上靠近点A的三等分点，
所以，
则．
所以．
3.（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）．
(1)若M，N分别是的中点，求的长度；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算
【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键．
（1）由中点的定义可得，，然后根据求解即可；
（2）由，可得，，然后根据求解即可；
（3）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可．
【详解】（1）∵M，N分别是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
当点G在线段上时，；
当点G在线段的延长线上时，．
综上可知，的长度为或．
【题型7 与线段有关的动点问题】
例题：（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段AB上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点．
(1)求线段的长度；
(2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度；
(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时：
①点P恰好为线段的中点？
②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外）
【答案】(1)厘米
(2)
(3)① ②或
【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算
【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
（1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案；
②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点,
厘米， 厘米，
厘米；
（2）∵点, 分别是的中点,
，
；
（3）解：①当 时，为线段的中点，，
解得；
②当时，是线段的中点，得
解得
当 时，为线段的中点，
解得
当时，为线段的中点，
解得(舍) ,
综上所述：或
【变式训练】
1.（2023七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动．
(1)若点，的速度分别是，．
①若，当动点，运动了时，求的值；
②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求；
(2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度．
【答案】(1)；；
(2)．
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、与线段有关的动点问题
【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可；
（）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解；
本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：，，
；
∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为，
则：，，
；
（2）解：设运动时间为，则，，
，
，
．
2.（2023七年级上·全国·专题练习）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）
(1)若，当点C、D运动了，求的值．
(2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________．
(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或1
【知识点】与线段有关的动点问题、线段的和与差
【分析】（1）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据题意算出，，再由，即可解题．
（2）本题考查线段的和与差，以及动点问题，设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题．
（3）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题．
【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，，
，，，
．
（2）解：设运动时间为t，
则，，
，，
又，
，
即，
，
，
，
故答案为：．
（3）解：当点N在线段上时，如图
，
又，
，
，即．
当点N在线段的延长线上时，如图：
，
又，
，即．综上所述的值为或．
3.（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）
(1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空）
(2)当点C、D运动了，求的值；
(3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空）
(4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)或1
【知识点】与线段有关的动点问题、线段之间的数量关系、线段的和与差
【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
（1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得；
（2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得；
（3）根据已知得，然后根据，代入即可求解；
（4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得．
【详解】（1）解：根据题意知，，，
∵，，
∴，
∴，，
故答案为：；．
（2）解：当点C、D运动了时，，，
∵，
∴；
故答案为：；
（3）解：根据C、D的运动速度知：，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）解：①当点N在线段上时，如图1，

∵，
又∵
∴，
∴
∴；
②当点N在线段的延长线上时，如图2，

∵，
又∵，
∴，
∴；
综上所述：或1．
一、单选题
1．（2025·河南驻马店·二模）如图，修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短
【分析】本题考查线段的性质，两点之间线段最短，由此可解．
【详解】解：修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短，
故选B．
2．（24-25七年级下·山东威海·期中）平面上有三个点A，B，C，如果，则（ ）
A．点C在线段上B．点C在线段的延长线上
C．点C在线段的延长线上D．不能确定
【答案】C
【知识点】画出直线、射线、线段、线段的和与差
【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据A，B，C之间的距离画出图形，即可确定位置关系．
【详解】解：，，，
，
如图，点在线段的延长线上，
故选：C．
3．（24-25九年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，点在线段上，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查的是线段的和差，线段的中点的含义，根据线段的和差关系可判断A，D，根据线段的中点的含义可判定B，C.
【详解】解：由题意可得：，，
∴A不符合题意，D符合题意；
∵不一定是的中点，
∴，不一定正确，
故B，C不符合题意；
故选：D
4．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，点D是的中点，点B是的三等分点，若，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】A
【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系、线段的和与差
【分析】本题主要考查了线段和与差计算、有关线段中点的计算等知识，理解题意，弄清各线段之间的关系是解题关键．由点B是的三等分点求出，由点D是的中点求出，进而可求出的长．
【详解】解：∵点B是的三等分点，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴．
故选A．
5．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【知识点】与线段有关的动点问题
【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．
点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可．
【详解】解：根据题意可知：
当点P经过任意一条线段中点时会发出红光，
∵图中共有线段、、、、、，
∵四点之中相邻两点之间的距离相等
∵和中点是同一个，
∴光点P发出红光的次数为5．
故选：C．
6．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算
【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵数轴上两点的距离为，
∴点表示的数为，
表示的数为，
表示的数为，
表示的数为，
表示的数为，
，
表示的数为，
∴经过这样次跳动后的点表示的数为，
∵点表示的数为，表示的数为，
的中点表示的数为，
∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为：
，
故选：B．
二、填空题
7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有 条线段．
【答案】6
【知识点】直线、线段、射线的数量问题
【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是按照顺序，做到不重不漏．
根据线段有两个端点，写出所有的线段即可得到数量．
【详解】解：如图，
则图中线段有：线段、线段、线段、线段、线段、线段共6条．
故答案为：6．
8．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得．如果点O是线段的中点，那么线段的长度为 cm．
【答案】7
【知识点】线段中点的有关计算
【分析】本题考查两点间的距离，线段的和差，正确理解题意、正确理解线段中点的性质是解题的关键．
首先求出，然后根据线段中点的性质求解即可．
【详解】解：由题意得，
∵点O是线段的中点，
∴．
故答案为：7．
9．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，点C是线段延长线上一点，点M为线段的中点，在线段上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得则的值为 ．
【答案】
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键．
根据，M为线段的中点，找准线段之间的数量关系，化简即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故．
故答案为：2．
10．（24-25七年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的是 ．（填写正确的序号）
【答案】①③④
【知识点】线段中点的有关计算
【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
①设，，则，，，进而得，，则，据此可对①进行判断；
②根据，可对②进行判断；
③根据，可对③进行判断；
④根据，可对④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①设，，
为的中点，
，
，，
为的中点，为的中点，
，，
，
，
故①正确；
②，
又，
，
故②不正确；
③，
又，
，
故③正确；
④，
又，
，
故④正确，
综上所述：正确的是①③④．
故答案为：①③④．
11．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ．
【答案】或
【知识点】与线段有关的动点问题
【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点A右侧，据此讨论求解即可．
【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为，
当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为；
综上所述，点N的速度为或，
故答案为：或．
12．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，
（1） ；
（2）连续这样操作4次，则 ．
【答案】 32 4
【知识点】线段中点的有关计算
【分析】本题考查与线段中点有关的计算：
（1）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可；
（2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）∵的中点是，的中点是，
∴，．
∵，
∴．
故答案为：32；
（2）同理可得，，．
故答案为：4．
三、解答题
13．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）补全解题过程：
已知：如图，点在线段上，且，点和点分别是线段、的中点，，求线段的长．
解：点是线段的中点，，
．
，
．
．
点是线段的中点，
．
【答案】，3，，8，16
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差，线段中点的定义计算．解题的关键是掌握线段的和差，线段中点的定义．
【详解】解：点是线段的中点，，
，
，
，
，
点是线段的中点，
．
故答案为：，3，，8，16．
14．（23-24七年级上·广西河池·期末）如图，点B是线段上一点，且．
(1)图中共有 条线段；
(2)试求出线段的长；
(3)如果点O是线段的中点，请求线段的长．
【答案】(1)6
(2)26
(3)7
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查了线段的识别与计算，解题关键是准确识图，明确线段之间的和差关系，正确进行计算；
（1）数出所有线段即可；
（2）根据求解即可，
（3）先求出，再根据线段和差求解即可．
【详解】（1）解：图中共有六条线段，
故答案为：6．
（2）解：∵，
∴．
（3）解：∵点O是的中点，
∴，
∴．
15．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）四点位置如图所示，请用直尺和圆规按要求完成下列画图并回答问题．
(1)连结，延长到，使；
(2)分别画直线，射线；
(3)在射线上找一点，使最小，画出点，此画图的依据是_______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析；两点之间线段最短
【知识点】画出直线、射线、线段、两点之间线段最短、作线段(尺规作图)
【分析】本题考查作直线、射线、线段、线段：两点之间线段最短、两点间的距离，掌握直线、射线、线段、线段的定义是解题的关键；
（1）以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则即为所求．
（2）根据直线、射线的定义画图即可．
（3）根据两点之间线段最短，连接交射线于点，则点即为所求，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则即为所求．
（2）如图，直线、射线即为所求．
（3）如图，连接交射线于点，则点即为所求．
此画图的依据是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
16．（24-25七年级下·云南昆明·开学考试）如图，点C在线段上，点M、N分别是线段的中点．
(1)若，求线段的长度；
(2)若，其他条件不变，请猜想线段的长度，并说明理由；
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查的是线段的和差，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．
（1）由中点的性质得，，根据可得答案；
（2）由中点的性质得，，根据可得答案．
【详解】（1）解：，
，
点，分别是，的中点，
，，
；
（2）解：，理由如下：
、分别是、的中点，
，，
，
．
17．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，在数轴上的点M表示的数为﹣2，在点M的右侧依次描有点A，B，C，D，N五个点，其中，且m、n满足，点A，C分别是线段的中点．
(1)求数轴上点B、D、N所表示的数；
(2)求线段的长．
【答案】(1)数轴上点B、D、N所表示的数分别是0，6，8
(2)3
【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算、有理数加法运算、有理数的减法运算
【分析】本题考查了数轴，非负数，解题的关键是掌握数轴知识和非负数的性质．
（1）利用数轴知识和非负数的性质解答
（2）利用数轴和有理数的运算法则解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
，
∴，
∵点M表示的数为，
∴，
∴点N表示的数为8，点D表示的数是6，
∴，点B表示的数是0，
答：数轴上点B、D、N所表示的数分别是0，6，8；
（2）由（1）得，
∵点A，C分别是线段的中点，点M表示的数为，点B表示的数是0，
∴，
∴点C表示的数为2，点A表示的数是，
∴，
答：线段的长是3．
18．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知线段是线段上任意一点（不与点，重合）．
(1)如图1，若，分别是，的中点，求的长度；
(2)如图2，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查与线段中点有关的计算，线段的和与差：
（1）根据中点平分线段以及线段之间的和差关系，求出，即可；
（2）根据线段之间的数量关系与和差关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
19．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？
方法应用
（2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________；
②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长．
【答案】（1），；（2）2；（3）
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差．
（1）根据线段的和差得出，再求出，即可得解；
（2）①先求出线段的长，再根据线段中点计算即可得解；
②由线段的中点可得，再由线段的和差计算即可得解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴；
（2）①∵，，
∴，
∵是的中点，
∴；
故答案为：2；
②∵是的中点，是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了次取线段中点实验：如图，该线段．第次，取的中点；第次，取的中点；第次，取的中点，第次，取的中点；…
(1)请完成下列表格数据．
(2)小明对线段的表达式进行了如下化简：
因为，
所以．
两式相加，得．
所以．
请你参考小明的化简方法，化简的表达式．
(3)类比猜想：________，________，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是________．
【答案】(1)，
(2)
(3)，，
【知识点】数字类规律探索、线段中点的有关计算
【分析】本题考查规律型：图形的变化类，找出规律是解答本题的关键．
（1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案；
（2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式；
（3）根据类比猜想可得答案．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：因为，
所以，
两式相加，得，
所以；
（3）解：，，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是，
故答案为：，，．
次数
线段的长
第次
第次
第次
第次
第次
________
________
…
…
…