江苏省苏州市张家港市2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省苏州市张家港市2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 空间四边形OABC中，，，，点M，N分别为OA，BC中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】为BC中点，，
为OA的中点，，
.
故选：B.
2. 若直线l沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率是（ ）
A. B. C. 2D. -2
【答案】B
【解析】设直线l的方程为，
现直线l沿x轴向左平移4个单位长度得，
再沿y轴向上平移2个单位长度得，
因为回到原来位置，所以，故
故选：B.
3. 已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设Mx,y，由题可知
故选：D.
4. 经过点作直线l，若直线l与连接两点线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，设直线l的倾斜角为，
则
直线与连接的线段总有公共点，
或，即或，
又，则有.
故选：C.
5. 若两直线平行，则实数的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得且，解得.
故选：B.
6. 已知圆C的圆心在直线上，并且圆 C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆与圆的交点为
联立两圆方程，得，解得，或
不妨记，，
于是的中点为，
从而可得AB的垂直平分线方程为，即，
联立与，得，解得，
即圆心坐标为.
故选：D.
7. 过点有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点P平分，则三条直线围成的三角形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设直线 l 夹在直线 之间的线段是 AB 在 上， B 在 上)，
设，因为 AB 被点 P 平分，
所以 ，于是 ，
由于 A 在 上， B 在 上，
所以 ，解得 ，即，
而 ，则，
联立，即与交于点
则，
又点A到直线的距离为，
则三条直线围成的三角形面积为
故选：B.
8. 已知矩形ABCD，，， M为边DC上一点且， AM与BD交于点Q，将沿着AM折起，使得点D折到点P的位置，则的最大值是（ ）
A. B. C. 23D.
【答案】A
【解析】在矩形，，，，
由可得
由可得，
则，即，
可知折起后，必有，，平面，
故平面，
因为是确定的直线，
故对任意点P， 都在同一个确定的平面内，
因为，可知点P在以点Q为圆心，半径为的圆上（如图），
由图知，当且仅当PB与该圆相切时，取到最大值，则也取到最大值，
此时,，则的最大值为
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知棱长为3的正方体，则（ ）
A.
B. 与所成角的大小为
C. 平面与平面的距离为3
D. 平面与平面ABCD所成角的大小为
【答案】AC
【解析】以D为坐标原点，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.
正方体棱长为3，
则，
对于选项A，因为，，
所以，故A正确；
对于选项，
，
所以与所成角的大小为，故B不正确；
对于选项C，平面与平面平行，
两平面的距离可转化为点到平面的距离，则，
即，解得，故 C正确；
对于选项D，设平面的法向量，
，
则，取，
易知平面ABCD的一个法向量为，
，
所以平面与平面ABCD所成角的大小不为，故D不正确.
故选：AC.
10. 已知直线，圆，则（ ）
A. 直线始终与圆相交
B. 直线被圆截得的弦长最大值为4
C. 若直线与圆相交于A，B两点，且，则
D. 若圆上有且只有四个点到直线的距离为，则
【答案】BCD
【解析】对于A，直线，即，则直线恒过定点，
注意到在圆的外部，故直线与圆不一定相交，故选项A错误；
对于B，显然当直线经过圆心时，此时，直线被圆截得的弦长最大，
最大值，故选项B正确；
对于C，若直线与圆相交于两点，且，圆的半径是，
在等腰直角三角形中，则圆心到直线的距离，
即，解得，故C正确;
对于D，若圆上有且只有四个点到直线的距离为，
则圆心到直线的距离，解得，故选项D正确；
故选：BCD.
11. 已知空间四面体OABC，则（ ）
A. 当，则点P在平面ABC内
B. 若该四面体的棱长都为a，则异面直线OA，BC间的距离为
C. 若M为AB中点，则直线OC上存在点N，使得
D. 若，，则
【答案】ABD
【解析】对于A：若，且，
所以四点共面，即点P在平面ABC内，故A正确；
对于B：若该四面体的棱长都为a，可知四面体OABC为正四面体，
将其嵌套在正方体内，如图所示：可知正方体的棱长为，异面直线OA，BC间的距离即为正方体的棱长，故B正确；
对于C：因为点N在直线OC上，
若点N与点O重合，则，不满足；
若点N与点O不重合，则平面OBC，平面，，
可知为异面直线，不满足；
综上所述：直线OC上不存在点N，使得，故C错误；
对于D：若，，
则 即
， 即
∴，
可得，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间直角坐标系中，A2,0,0，，，则三棱锥的体积是______.
【答案】4
【解析】由题意作出图形，如图所示：
则OA，OB，OC两两互相垂直，且，，，
所以三棱锥的体积是：.
13. 圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线：__________.
【答案】答案不唯一)
【解析】设关于直线对称点的坐标为，
则，解得，
圆C的方程是，其圆心坐标为，半径为1，
两圆的圆心距，
所以两圆外离，且，
设与OC平行的公切线方程为，即，
则由O到直线的距离，可得，解得，
所以两圆的一条公切线为或，
另外，根据对称性可知，x=1，也为两圆的公切线.
故答案为：答案不唯一).
14. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是__________;②圆E恒过的两个定点是__________.
【答案】
【解析】①当时，
二次函数的图象与两坐标轴交于点，，，
的外接圆为圆E，
设所求圆的一般方程为，，
令，得，由题意可得，这与是同一个方程，
故，
令x=0，得，由题意可得，
此方程有一个根为，代入此方程得出，
所以圆E的一般方程为；
②设所求圆的一般方程为，，
令，得，由题意可得，这与是同一个方程，
故，
令x=0，得，由题意可得，此方程有一个根为，
代入此方程得出，所以圆E的一般方程为，
当x=0时，或，
故圆E恒过定点.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直三棱柱，F为BC中点，，与交于点
（1）求证：平面
（2）若是等边三角形且，求证：平面
证明：（1）连接，且，
又在中，，
，
又平面，平面，
平面
（2）因为直三棱柱，平面ABC，
又平面ABC，，
又是等边三角形，F为BC中点，
，又，BC，平面，
平面，又平面，
在中，，，
在中，，，
，
，即，
又，，，平面，
平面
16. 已知的三个顶点是，求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）边上的高所在直线的方程；
（3）的角平分线所在直线的方程.
解：（1）首先求BC中点坐标，已知，
根据中点坐标公式，BC中点，
已知中线过和两点，根据两点式，
即，化简得，整理得.
（2）先求BC边的斜率，已知，
根据斜率公式，
因为高与BC垂直，设高的斜率为，则，解得，
又因为高过点，根据点斜式，整理得.
（3）先求AB边的斜率，BC边的斜率，
设角平分线斜率为，根据夹角公式得，化简
交叉相乘得，
继续化简，即或，
继续化简（舍去），或，即，
因为角平分线的斜率应该在和之间，所以，
又因为角平分线过点，根据点斜式，整理得.
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且，

（1）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值;
（2）求点B到平面PCD的距离;
（3）若点M为平面PBC内的一动点，若平面PBC，求CM与平面ABCD所成角的正弦值.
解：（1）平面ABCD，平面，，，
又，所以AB，AD，AP两两垂直，
以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

则，，，，
平面PAB的一个法向量为，
设平面PCD的法向量为，
又，，
，，取，所以，
，
设平面PAB与平面PCD的夹角为，，
所以.
（2），设点B到平面PCD的距离为d，，
点B到平面PCD的距离为.
（3）平面PBC内一动点，设，
设，又，，，
代入得，解得点，
，又平面PBC，
且，所以且，
所以，则，
所以，又平面ABCD的一个法向量为，
，
与平面ABCD所成角的正弦值为
18. 如图，在平行六面体中，，，，
（1）当时，求证：平面
（2）当时，
①求四边形的面积;
②求与平面所成角的余弦值.
（1）证明：设，，，则，
所以，，
所以，
所以，即
同理，
又，，平面，所以平面
（2）解：①因为且，，
所以，，又，
，
，即，
所以，
所以
②连接，交于点H，连接，AH
菱形，，
又，所以
又，，平面，
所以平面
为与平面所成的角，
又，
，
，
又，，
，所以，
所以与平面所成角的余弦值为
19. 已知圆内有一点，倾斜角为直线过点且与圆交于两点.
（1）当时，求的长；
（2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；
（3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
（1）解：因为，所以，直线的方程为，
设圆心到直线的距离为，则，
所以
（2）解：取的中点为，如图，

假设存在弦被点三等分，设，，则，
，解得，
当斜率不存在时，，故斜率存在，
设斜率为，则：，
，解得，
即存在弦被点三等分，直线的斜率为.
（3）证明：由题意知，,
当直线斜率不存在时，，，
不妨取，
则，此时
直线斜率存在时，设方程为，
代入圆的方程可得，
设，则，
又，
所以
综上，为定值.