江苏省苏州市2024-2025学年高二下学期期中调研数学试题（解析版）

这是一份江苏省苏州市2024-2025学年高二下学期期中调研数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若函数，则当自变量由1变化到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A. 2B. 2.1C. 2.2D. 2.3
【答案】B
【解析】当自变量由1变化到1.1时，，
，则，则平均变化率是.故选：B
2. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该弹簧振子在时的瞬时速度是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，当时，
，所以该弹簧振子在时的瞬时速度是.故选：A.
3. 某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】每个同学报名都有4种方式可选，共有5个同学，则有种报名方法.故选：D.
4. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数，
且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大在变小，
结合选项，可得选项D复合题意.
故选：D.
5. 要从5名高二学生中选出3名同学分别到两个社区做志愿者，每个社区至少一人，则不同安排的种数是（ ）
A. 20B. 40C. 60D. 80
【答案】C
【解析】从5名高二学生中取出1人组和2人组的取法数为，再把两组人分配到两个社区有种方法，所以不同安排的种数是.
故选：C
6. 的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（ ）
A. B. 75C. 135D. 165
【答案】D
【解析】展开式的通项，
则，
的展开式中的项为，则，
所以.
故选：D
7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以，即，
令，则即可，
，所以在上单调递减，
故，所以.
故选：A
8. 用半径为4的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆形半径为，圆锥底面半径为，
则扇形的弧长为，圆锥底面周长为，
则，即，
则圆锥的高为，
则圆锥的体积为
设，则，
由得；得，
则在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取最大值，即时，圆锥的体积取最大值，
此时.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 到了毕业季，某科技创新兴趣小组内5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（ ）
A. 所有不同的排法种数为120种
B. 如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种
C. 如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种
D. 如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种
【答案】ABD
【解析】对于A，5名同学排一排共有种不同排法，故A正确；
对于B，相邻问题捆绑法，共有种排法，故B正确；
对于C，先排甲，有3个位置可选，再排另外4人有种，共有种排法，故C错误；
对于D，先将除了甲丙之外的三人排好有种，再插空甲丙有种，共有种排法，故D正确.
故选：ABD.
10. 若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A. 在与处的瞬时增长率相同
B. 在上不单调
C. 可能为奇函数
D.
【答案】ACD
【解析】对于A，由函数的导函数为偶函数，得，
因此在与处的瞬时增长率相同，A正确；
对于B，当时，，因此在上单调递减，B错误；
对于C，函数的导函数符合给定图象，函数是奇函数，C正确；
对于D，当时，且函数在上单调递增，则函数在上为凹函数，
因此，即，D正确.
如图，在凹函数定义域内，观察图象得.
故选：ACD
11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）

A. 在“杨辉三角”第6行中，从左到右第3个数是20
B. 在“杨辉三角”中，第10行的所有的数字之和为1024
C. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则
D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
【答案】BCD
【解析】对于A中，在杨辉三角中，第6行第3个数是，所以A错误.
对于B中，第10行的所有的数字之和为，所以B正确.
对于C中，第行的第个数为，所以
即，所以C正确.
对于D中，用数学符号语言可表示为：，
证明如下：
对应相乘，恰好得到这一项的系数为，
而是二项式的展开式中第项的二项式系数（即的系数），
故，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】，，
在点处的切线的斜率，
则切线方程为，即.
故答案为：.
13. 在展开式中，含项的系数为_______．（用数字作答）
【答案】330
【解析】展开式中含有项的系数为
，
故答案为：330.
14. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如212，324等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是________，其中能被3整除的“凹数”的个数是________.
【答案】30；10
【解析】依题意，十位数字是1的“凹数”个数为；十位数字是2的“凹数”个数为；
十位数字是3的“凹数”个数为；十位数字是4的“凹数”个数为1，
所以所求“凹数”的个数是；
1，2，3，4，5除以3的余数依次为1，2，0，1，2，
因此能被3整除的“凹数”含有数字3时，另两个数字除以3的余数不同，
其中十位数字是1，另两个数字分别为2，3和3，5；十位数字是2，另两个数字为3，4；
十位数字是3，另两个数字分别为4，5；共有个；
不含数字3时，三个数字除以3的余数相同，十位数字是1，另两个数字分别为4，4；
十位数字是2，另两个数字为5，5，共2个，
所以能被3整除的“凹数”的个数是10个.
故答案为：30；10
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求值：①；
②.
（2）求证：；
解：（1）①.
②由二项式系数和的特点，.
（2）
.
16. 已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187.
（1）求和的值；
（2）求展开式中按的降幂排列的第3项；
（3）求展开式中项系数最大的项.
解：（1）由题意得，即，解得，
令，则各项系数和为，解得.
所以，.
（2）由（1），展开式的通项为，
所以展开式中按降幂排列的第3项为，
（3）由（2）知，展开式的第项系数为，，
设第项系数最大，则，
解得，又，所以，
所以展开式中项的系数最大的项为第6项.
17. 已知函数.
（1）求函数的单调区间：
（2）若函数在上存在最大值，求实数的范围；
（3）过点可作曲线的三条切线，求实数的范围.
解：（1）函数的定义域为R，
求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间为，递减区间为.
（2）由（1）知，函数在处取得极大值，在处取得极小值，
函数有唯一极大值点，要函数在上存在最大值，则，
当时，恒有，当时，，当时，，
由，得，整理得，解得，
因此，解得，
所以实数的范围是.
（3）设切点坐标为，则，
切线方程为，由切线过点，
得，整理得，
令，求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极小值，在处取得极大值，
由过点可作曲线的三条切线，得方程有3个不同实数解，
则直线与函数的图象有3个交点，于是，
所以数的范围是.
18. 已知函数，.
（1）若函数的一个极值点是，求实数的值；
（2）若函数在内不单调，求实数的取值范围：
（3）当时，，求实数的取值范围.
解：（1）由得则.
检验：当时，函数
当时，单调递减，当时单调增.则在时取得极小值值，符合题意.
（2）
其中在内有零点，
则.则.
（3）
令则.
令则在上单调递减，则
则，则在时恒成立，
则单调递减，则时,
则以上.
19. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值；
（2）若方程有两个不同的解，且，
①求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由；
②证明：.
解：（1），曲线在处的切线斜率为，
所以曲线在处的切线方程为．
由于切线与曲线只有一个公共点，
得有且只有一解，
所以，
解得．
（2）①令，
因为方程有两个不同的解，
所以有两个不同的零点．
，当时，；
当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，所以．
一方面因为，
另一方面因为，
令，所以．
综上：．
判断：
下证：等价于．
因为，所以，所以，
要证：即证，即证：，因为，即证：
，令，
设，则，
所以，所以．
②由①可知：当时，，
令，所以．
所以，
将以上个不等式进行累加，所以．